圆内接四边形与四点共圆

本文格式为Word版，下载可任意编辑——圆内接四边形与四点共圆《圆内接四边形与四点共圆（选学）》教案设计

引言：圆内接四边形和四点共圆之间有着十分密切的联系,?这是由于顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形。实际上,在大量题目的已知条件中，并没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论。

确定四点共圆的方法有哪些呢？

思路一：用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。?若连在四边形的三边的中垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。（这三边的中垂线的交点就是圆心）。

产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。基本模型：

AO=BO=CO=DO?A、B、C、D四点共圆（O为圆心）

思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。?要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。

思路三：运用有关性质和定理：

①对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的对角互补。基本模型：

?A??D?180（或?B??D?180）?A、B、C、D四点共圆

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②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。

产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。

方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可确定这四点共圆。

?CAB??CDB?A、B、C、D四点共圆

③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。产生原因：直径所对的圆周角是直角。

?C??D?900?A、B、C、D四点共圆

④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。基本模型：

?ECD??B?A、B、C、D四点共圆

⑤用相交弦定理或切割线定理的逆定理：

把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可确定这四点共圆。（相交弦定理的逆定理）

产生原因：相交弦定理。基本模型：

AE?BE?CE?DE?A、B、C、D四点共圆

把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可确定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）

产生原因：割线定理。基本模型：

EA?EB?ED?EC?A、B、C、D四点共圆

二、新课探究

例1、如图，AD、BE、CF是锐角?ABC的三条高，H为垂心。（1）图中共有多少组四点共圆？（2）求证：?ADF??ADE。

分析：

练习：锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中，能组成四点共圆的组数是（）

A、4组B、5组C、6组D、7组分析：

例2、已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么

分析：2理由：

BD的值等于________。CF

教师小结：在四点共圆的题目的已知条件中，寻常没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把存在的圆找出来，然后再借助圆的性质进行相应的推导。

练习：（2023湖北武汉中考题改编）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，则四边形BCDG