2019-2020年高考数学试卷题含答案

XX上海市学业水平考试

暨春季高考数学试卷（有答案）

一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.

复数（为虚数单位）的实部是.2.若，则

.3.直线与直线的夹角为

.4.函数的定义域为

135

0405..三阶行列式中，元素

的代数余子式的值为

211

6.函数的反函数的图像经过点，则实数.7.

_______________.在中，若，，，则

8..(结果用数值表示)个人排成一

排照相，不同排列方式的种数为9..无穷等

比数列的首项为，公比为，则的各项的和为10.若(为虚数

单位)是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则

.11..函数在区间上

的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是12.在平面直角

坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，则的最小值为

分)36题，每题3分，共二.选择题(本大题共12

13.满足且的角属于()

(C)第三象限)第二象限(A)第一象限(D)第四象限

(B

14.半径为的球的表面积为()

()(AC)(D)(B)

15.在的二项展开式中，项的系数为()

(C(B))(A)(D)

16.幕函数的大致图像是()

17.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为()(DOO)

BA()(

18.设直线与平面平行，直线在平面上，那么()(A)直

线平行于直线(B)直线与直线异面

)直线与直线没有公共点C((D)直线与直线不垂直

2

+++++=+++

++++++++=+++

19.2nIn2n23L在用数学归纳法证明等式的第步中,

假设时原等式成立，那

么在时需要证明的等式为()

22123L2k2(k1)2kk2(kl)(k1)

(A)

22k2(k1)2(kl)123L(k1))(B

22123L2k2k12(k1)2kk2(k

l)(k1)(C)

21)12(kl)2k2k12(kl)2(k3L)(D

20.)关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是(

)焦距相等，渐近线不相同)焦距相等，渐近线相同(B(A

)焦距不相等，渐近线不相同(D(C)焦距不相等，渐近线

相同

21.)设函数的定义域为，则””是“为奇函数”的(

)必要不充分条件BA)充分不必要条件((

)既不充分也不必要条件)充要条件(D(C

22.)下列关于实数的不等式中，不恒成立的是(

)(A)(B

)(D(C)

OO

23.关于以若，则.2若，则；设单位向量与既不平行也不垂直，

对非零向量、有结论：1

)上两个结论，正确的判断是(

OOOO

1)1(A)(B成立成立，不成立不成立，22

OOOO

1)(C1)(D不成立成立，成立不成立，22

22yx

：C对于椭圆a224.bb）1（a,b0,a在平面直角.若点满足.

则称该点在椭圆内，（a,b）2

）（坐标系中，若点在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件

的点构成的图形为

CBA（）三角形及其内部（）矩形及其内部（）

圆及其内部（）椭圆及其内部D

题，共58+8+8+12+12=48分）解答题（本大题共.三

25.分）如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为，求异面

直线与所成的角的8（本题满分.大-

26.（本题满分8分）已知函数，求的最小正周期及最大值，

并指出取得最大值时的值.

27.分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一

部分，灯口所在的（本题满分8

圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口

直径是，灯深，求灯泡与反射镜.的顶点的距离

28.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4

分，第2小题满分8分.

.已知数列是公差为的等差数列

若成等比数列，求的值；（1）

.2（）设，数列的前项和为数列满足，

记，求数列的最小项（即对任意成立）.--

29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5

分，第2小题满分7分.

对于函数，记集合.

）设，，求；（1

.2）设，，，如果（

求实数的取值范围.

2019-2020年高考数学试卷题含答案

一.选择题：(9分)

1.若函数(则的一个值是，是偶函数)

(D)(A)(B)(C)

2.在复平面上，满足的复数的所对应的轨迹是0

两条直线一条线段(C)(B)一个圆两个点(D)(A)

A(l,2),B(2,1),C(3,2),D(4,1),E(5,2),若直线与的图像,

其中，如图已知函数的图像是折线3.

，则的取值范围是(恰有四个不同的公共点)

(A)(B)(C)(D)

二.填空题：(9分)

4.椭圆的长半轴的长为

10,母线与轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为5.已知圆锥的母线

长为___________________

，方法为：当第天下过雨时，记，当第天xxl2月份31小明用数

列记录某地区6.天中每天是否下过雨

，方法为：当预报第天有雨时，没下过雨时，记，他用数列记录

该地区该月每天气象台预报是否有雨

ababLab25ba那么，小明计算出，记记录完

毕后，当预报第天没有雨时，记3133113122

该月气象台预报准确的总天数为

三.解答题：(12分)

对于数列与，若对数列的每一项，均有或，则称数

列是与的一个“并数列"O

（1）设数列与的前三项分别为，若是与一个3,b2,

b5,a,b13al,a331212

“并数列”求所有可能的有序数组；

（2）已知数列均为等差数列，的公差为1,首

项为正整数；的前10项和为-30,,前20项的

和为-260,若存在唯一的数列，使得是与的一个“并

数列”，求的

值所构成的集合。

XX上海市学业水平考试暨春季高考数

学试卷（答案）

一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）

3.1.复数（为虚数单位）的实部是

2.若，则7.

3.直线与直线的夹角为

4.函数的定义域为.

135

0

04

8.中，元素的代数余子式的值为三阶行列式5.

121

6.函数的反函数的图像经过点，则实数1.

.在中，若,，,则7.

（结果用数值表示）8.个人排成一排照相，不同排列方式的种数

为24.

3.无穷等比数列的首项为，公比为，则的各项的和为

9.

-4.10.若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次

方程的一个虚根，则

.11.函数在区间上的最小值为，最大值为,

则实数的取值范围是

在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，则的最

小值为12.2..二分，共3分)3612

题，每题选择题(本大题共

)13.满足且的角属于(B

)第四象限D()第三象限CA()第一象限()第二象限B(

)D14.半径为的球的表面积为(

))(A)(B(C)(D

)C在的二项展开式中，项的系数为(15.)D)((A)(B)

(C

)C幕函数的大致图像是(16.

已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（17.）A

））（D（C）（（A）B

）设直线与平面平行，直线在平面上，那么（C18.

）直线与直线异面（（A）直线平行于直线B

）直线与直线不垂直）直线与直线没有公共点（C（D

22nn23LI2n在用数学归纳法证明等式19•的第步中，假设

时原等式成立，那

）么在时需要证明的等式为（D

22123L2k2(k1)2kk2(kl)(k1)

(A)

22k2(k1)2(kl)123L(k1))(B

22123L2k2k12(k1)2kk2(k

l)(k1))C(

2(k1)123L2k2k12(k1)2(k

1))(D

)关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是(20.B)

焦距相等，渐近线相同A()焦距相等，渐近线不相同B(

)焦距不相等，渐近线相同C()焦距不相等，渐近线不相同(D

21.设函数的定义域为，则“”是“为奇函数”的(B)

)充分不必要条件A((B)必要不充分条件

)充要条件(C(D)既不充分也不必要条件

22.下列关于实数的不等式中，不恒成立的是(D))B(A)

(

)D(C)(

OO

1若，贝IJ;设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结

论：若，则.关于以上23.2

A两个结论，正确的判断是()

oooo

(A)1(B)1不成立，成立成立，不成立22

OOOO

((D)IC)1成立，不成立成立不成立，22

X22：C25.对于椭圆yb)1(a,b0,a

-----+------=

==------XX=yf"

=+T

=7T=

(a,b)则称该点在椭圆内，在平面直角若点满足..22ba

B)坐标系中，若点在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足

条件的点构成的图形为(

(A)三角形及其内部(B)矩形及其内部(C)圆及

其内部(D)椭圆及其内部

分)题，共三.解答题(本大题共58+8+8+12+12=48

26.(本题满分8分)如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长

为，求异面直线与所成的角的大小.

23Vshh933:简解

4

，/是异面直线与所成的角

在中，

Z

27.(本题满分8分)已知函数，求的最小正周期及最大值，并

指出取得最大值时的值.

f(x)sinx3cosx2sin(x)：简解，

3

T2,y2,x2k,kZmax

6

28(本题满分8分)如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是

抛物线的一部分，灯口所在的

圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口

直径是，灯深，求灯泡与反射镜的顶点的距离.

24ck

+

+X<

简解：建立坐标系，设抛物线方程为，将点代入得

=所求距离

29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分,

第2小题满分8分.

已知数列是公差为的等差数列

成等比数列，求的值；（1）

⑵设，数列的前项和为.数列满足,

记，求数列的最小项（即对任意成立）.

简解：(1).,

Q)

bb(bb)(bb)L(bb)n11223nnl

21n1

111LI222

nl1nI

21221

2

2?1)nS20nn(n19n,n

2

nin22n21S2)nbn20n2cl(220nnnnni

12

C22n220n2cl)(nl)l(n20(nl)nmin

显然，上式大于零，即，

是关于的增函数22,进一步4n3

QnnQ24+2=2419,Q23+2=1419,

CCCCLcCCLc,53910124n

30.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5

分，第2小题满分7分.

对于函数，记集合.

）设，，求；（1

.）设，，，如果2（

求实数的取值范围.

<

>-

得，D1或x3xxf：（l）解由；gDxxllOxx（2）,f

hl1xDxX

a310,由hf13

DR,或D=,m）,（其中ml）-fhf22%则在R

上恒成立，

令,,）2y1tlt（tO1,2

42

时成立.

对于D=-,m）,（其中ml）h

f2

以下只讨论的情况

x20,ttta01

3对于，令，

ta14a14a,（或0）Itl

22

又又以

xtllll4a14a即

223

1114al4a

loglog,mlx=n2233

综上所述：

D：或XX（2）10xX1,fih

XIDxX

a310由，f2h3

D=或DR,,m),(其中m1)-fh

f22h.显然恒成立，即

时，，在上恒成立

1x2令11It,t,a,

33

)2

+-

11,ty(tt21

42

，所以

:综上所述

上海市春季高考数学试卷XX二卷

)选择题一.:(9分

1.若函数(B,是偶函数则的一个值是)

(D)(A)(C)(B)

满足的复数的所对应的轨迹是在复平面上,2.)(D

两条直线(C)一条线段(B)一个圆两个点(D)(A)

若直线与的图像，3已知函数的图像是折线如图其中,

A(1,2),B(2,1),C(3,2),D(4,1),E(5,2)

(则的取值范围是，恰有四个不同的公共点)B

(D)(B)(A)(C)

分填空题.二:(9)

椭圆4.5的长半轴的长为

5.已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为，则该圆锥的侧面

积为_________

xxl2月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第天下过雨

时，6.小明用数列记录某地区记，当第天

，方法为：当预报第天有雨时，没下过雨时，记，他用数列记录

该地区该月每天气象台预报是否有雨

++

abababLab25那么，，记记录完毕后，小

明计算出当预报第天没有雨时记,3113133122

该月气象台预报准确的总天数为28

三.解答题：（12分）

7.对于数列与，若对数列的每一项，均有或，则称

数列是与的一个“并数列"O

⑴设数列与的前三项分别为，若是与一个“并2,b

l,b3,a5,bal,a3331122

数列”求所有可能的有序数组；

⑵已知数列均为等差数列，的公差为1,首项为

正整数；的前10项和为-30,前，

20项的和为-260,若存在唯一的数列，使得是与

的一个“并数列”，求的值所构成

的集合。

答案：

(1,2,3),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,5);

(1)

9

⑵

的前10项和为，设

,得，所以;

**,kNkl,t93k

a当c时,82ktNkk

kl,t

6或；k2t,3

所以

数列唯一，所以只要唯一确定即可。

显然，时，不唯一，

2019-2020年高考数学问题2.2函数中的存在

性与恒成立问题提分练习

一、考情分析

函数内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个

热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的

,它主要涉及到一次函数、二综合素质的考察，恒成立与存在性

问题便是一个考察学生综合素质的很好途径

次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性

质及不等式等知识，渗透着换元、化归、数

形结合、函数与方程等思想方法故备受高考的青，在培养思维的

灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，

睐，成为高考能力型试题的首选.

二、经验分享

2bxf(x)

axc(aO)设⑴.)上恒成立(,2(1)上恒成立；

UU

><

(2)对于一次函数有：

f(m)Of(m)0恒成立恒成立,f(x)Of(x)0

f(n)Of(n)0

(3)根据方程有解求参数范围，若参数能够分离出来，可

把求参数范围转化为求函数值域.

(4)利用分离参数法来确定不等式，(，为实参数)恒成立

中参数的取值范围的基本步骤：

①将参数与变量分离，即化为(或)恒成立的形式；

②求在上的最大(或最小)值；.),或(得的取值范围③解不

等式

(5)对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解.

利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知

条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关

系，得出答案或列出条件，求

.出参数的范围

(6)某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者

即使能容易分离出参数与变量，但函数

.即把主元与参数换个位置，往往会取得出奇制再结合其它知识可

考虑变换思维角度,，的最值却难以求出时

胜的效果.

三、知识拓展

(1)恒成立问题

XDfxAfxA；)，则£,均有>()>(恒成立①.？min

xDfxAfxA；<(())<恒成立，②.？则£,均有max

xDfxgxFxfxgxFx)>0(；()>(,)恒成立则)>0,

(；•)二(.?③金，均有()-而n

xDfxgxFxfxgxFx)<0；()-()<0,(D.?£均有，/.

()〈(恒成立)，则(尸(max

xDxfxgxfxgx)；>则恒成立)〉均有£.?⑤邑?E,

((),()(max1212min-------

xDxfxgxfxgx).()<)恒成立⑥.？，金贝I),?£E，均

有(()<(min2121max

(2)存在性问题

xDfxAfxA；>()>)成立，①.？则£，使得(maxoo

xDfxAfxA；<()成立②.？，£，使得则()<

minOO

xDfxgxFxfxgxFx)>0；)-((()成立，设()，③.？)二

e，使得I.(()>maxOOO

xDfxgxFxfxgxFx)<0((；成立，设),()=④.？；.£(,

使得()V)-()minOOO

DEfxgxfxgxxx；成立)⑤.,£),£)，则使

得>(()>((??minl2max2lDEfXgXfXgXXX),均使得则()<

@.(e,(e)成立)？？v(.

maxmin1221

(3)相等问题

fx的值域分别为若)(AB则,，

xDxEfxgx)成立，使得((①.？贝I；£,?)二£,

22nxDxEfxgx)成立，(则尸e.,?£(,使得②？2山

(4)恒成立与存在性的综合性问题

xDxfxgxfxgx)；)(>)成立，则①？e,?£E,使得

(()>(minl221minXDxfxgxfxgx)((成立？)e?,,eE,

使得(则)<②).<(

max12max!2

四、题型分析

解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①

函数性质法；②分离参数法；③主参换位

法；④数形结合法等.

(一)函数性质法

32xfxfxxaxa的成立，求实数01【例】已知函

数=内至少存在一个实数一+10,若在区间[1,2],使得()<0

取值范围.

【分析】本题实质是存在性问题

t解析】解法一；加）=婚-2«=341-劲（1比2\

当多W即W寸/（XROg浓.21±为地函数，

当1号aen|<x3时莒1夕号5»劭当全但/。）*.

所以a=|a时｛x）取最小值.

因此有痣，<0,即当”触+10=-/5+10<0.解得<X>3、^这与|<a<3矛质，

当沁即小时/&）%）在口2±为胭数.所以网“=<2）=18-也所以18-解得尾这符合<fe3.

综上所述q的取值范围为a*.

()=(-)-+

()=(-)()=-

3X1010+

XXx,+=a解法二：由已知得：>22

2010

XXxggxxx,=W设W()2),='(+1)—(132

xgxgx)在[1,2]上是减函数.2,.•.('()<0,1•・•W所以

W

9im解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，

讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用【点评】

axxx232£[l,4],,>而无需要分类讨论.+10的参数分离，由于

中所以可以进行参数分离

X山西大学附中第二次模拟】设函数XX【牛刀小试】【aaxf

xex

21,其中，若存在唯一的整数，

使得，则的取值范围是()

.A…DBC

【答案】D

xxeagax2xl,hx由题意知存在唯一整数【解析】令

使得在直线的下方.，当时，函数单调

递减，当，函数单调递增，当时，函数取得最小值为.当

时，，当时，，直线过定点，斜率为，故且，解得.

(二)分离参数法

【例2】已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线的

斜率为.

(1)求实数的值；

(2)若对任意成立，求实数的取值范围.

【分析】(1)由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为，可

知，可建立关于的方程：，从而解得；(2)要

使对任意恒成立，只需即可，而由(1)可知，，问题即等价

于求函数的最大值，可以通过导数研究函数的单调

lx(llnx)

Inxxg'(x).•.在上是.•.在上是增函数；当时”性，从

而求得其最值：，当时，，，令，解得22XX

减函数，因此在处取得最大值，，即为所求.

【解析】⑴♦・•，，，

又•・•的图象在点处的切线的斜率为，.♦.，

即，•••;

(2)由(1)知，,

•••对任意成立对任意成立，

则问题转化为求的最大值令，，

1x(1Inx)InXx

g'(x),解得令，，2XX2

当时，,・•.在上是增函数；

,，当时.••在上是减函数.

故在处取得最大值，，即为所求.

【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当

其中的参数(或关于参数的代数式)能够与

,常用分离参其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一

边的函数(或代数式)的最值或范围可求时

,单独放在不等式的一侧数法.此类问题可把要求的参变量分

离出来，将另一侧看成新函数，于是将问题转化

成新函数的最值问题.

利用分离参数法来确定不等式，(为实参数)恒成立中参数的取

值范围的基本步骤：

(1)将参数与变量分离，即化为(或)恒成立的形式；

⑵求在上的最大(或最小)值；

(3)解不等式(或)，得的取值范围.

【牛刀小试】【xx湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】

已知函数,，其中且，.

(1)若，且时，的最小值是一2,求实数的值；

(2)若，且时，有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】⑴；(2).

(解析］(I)*-'2=4,F(x)=j?(x)-/(x)=2log(2x+2)-logx=log

dadx

=log4＜x+-+2)

ax

易证A(x)=4＜x+」+2)在［；刀上单调递减.在［1.2］上单调递增.且版3＞以2),

x44

A(x)„=贝)=16.A(x)„,=限J=25.

4

.当。＞1时，尸3g=105016,由108。16=-2,解得。=?(舍去)

当0＜。＜1时,尸(力2=logd25,由logd25=-2,解得。=，

综上失映数。的值是

士+-

xlog(2x21ogt2)，即(2)•.•恒成立,恒成立aa

1Xlog(2xlog2)ta.a

2

又•・•

，，恒成立

1(X),2］)171［,y2xxx22(令2

448故实数的取值范围为

主参换位法）（三

,(1)【例3函数是区间上的减函数，】已知函数是实数集上的奇

函数求的值；(2)若上恒成立，求的取值范围.

那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是，【分析】

在第二小题所给条件中出现了两个字母：及

而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量另一个作为常

数.，一个变量则上述问题即可转化为在内关，

问题即可求解恒成立的问题0,于的一次函数大于等于.

⑴【解析】

,，知：(1)由⑵

在上单调递减，

，在上恒成立

只需，

(其中)恒成立，

(X)=+入+++之入4一

t(-)=--+v

f由上述②结论：可令,2)Isinl10((t1)t

，则

而恒成立

,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与

变量【点评】某些函数存在性与恒成立问题中，

,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置，再结合其它

知识，往往会取得但函数的最值却难以求出时

出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,

从而因计算繁，易把它看成关于的不等式讨论

,把待求的x为参数,,再来求解以为变量，构造新的关于参

数的函数琐出错或者中途夭折；若转换一下思路

参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.

X的取值范围.【牛刀小试】若不等式对任意恒成立，求实数

【答案】

212x10mmxf则是关于,m,设的一

次型函数，要使恒成立，只需【解析】可转化为

2X2xOlf，解得.

2x22xfOl

（四）数形结合法

［例4］已知函数，在恒有，求实数的取值范围.

【分析】为了使题中的条件在恒成立，应能想到构造出一个新的

函数，则可把原题转化成所构造新的函数在

区间时恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进行分

类讨论，即可使问题得到圆满解决.

【解析】令/•(*)・/(*卜士・"一出+2-t,

则对“[Ty)恒成立,而>(*)是开口向上的抛物缘

当图象与X轴无交点满足A<0赭JA-底-斗-同<0.

解得-2<±<1.

当图蒙与X轴有交点.且在“HE时尸⑶少

则由二炮数根与系数的分布知识及图象可得：

AN0

户（-1户0

解得-34上4-2.

故由①©iqtsc

()=——===€=0

<

=5=e

A-<

【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时，

往往可通过图象、图形的位置关系建立不等

,选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下式从而求得参数

范围.解决此类问题经常要结合函数的图象

位置关系来确定参数的范围.，准确做出函数的图象利用数形结

合解决不等式问题关键是构造函数常见的.

有两类函数：若二次函数大于0恒成立，则有，同理，若二次

函数小于0恒成立，则有.若是二次函数在指定区

间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布

知识求解.

【牛刀小试】【XX河北省武邑上学期第三次调研考试】已知

定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意

实数恒成立，则实数的取值范围是()

.A.B

D.C.

【答案】A

33(XR)f(X)Xfxf(X)

xf(x),【解析】当时在上是增函数

对任意实数恒成立对任意实数恒成立，结合二次函数图象可得

mOm,故选A.

28ml60

（五）存在性之常用模型及方法

laX2aInxxf］设函数5【例

()=+-----

,（-）[（-）-]

()=+'

(-V-

J-)[(-)-]

(())

(())==卜

-)

(-V--)U(y

bx.,•且曲线在点处的切线的斜率为

2

（1）求的值;

（2）若存在，使得，求的取值范围.

【分析】（1）根据条件曲线在点处的切线的斜率为，可以将其

转化为关于，的方程，进而求得的值：，；（2）

根据题意分析可得若存在，使得不等式成立，只需即可，因此

可通过探求的单调性进而求得的最小值进而得，

xllaxafXXIa到关于的不等式即可，而由

（1）可知fxalnxx则,，因此需2

x2

21,211,.,从而可以解得的取值范围是对的取值范围进行分类讨

论并判断的单调性

，【解析】（1），由曲线在点处的切线的斜率为，得

XaxlaInx,2fx,分（2）由（1）可得4即,；

2

2x1aaxalaxaxlfxax11,xxx

令，得,，而，①当时，，

1aa1为增函数在上,,,,1fxfImin22

令,即,解得.

②当时，，

极小值

2fXaaaaa

alllf,min

1a21aa1a11a

不合题意，无解，10分

③当时，显然有，，.•.不等式恒成立符合题意，，

21,211,.综上，的取值范围是

【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同

上面所讲恒成立；二是间接法，先求其否定

(恒成立)，再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命

题为的否定为；原命题为的否定为“•处理的原

则就是：不熟系问题转化为熟悉问题.

【牛刀小试】已知,，

(1)若存在，使得，求实数的取值范围；

(2)若存在，使得，求实数的取值范围

【解析】/(x),g(x)在似2]上都是塔函轨所以的值域/=[0用,式”)的值域为=["43-4

(1)若存在％E[02],使得/(^)>以巧),则/00B.>式《)a司4》一。.所以。>-4

(2席存在小电使得/QWgG),则小[3工0二・一。,且由3-。之0,・・・实数。的取值国是[~4.103]

川-)*

=——=(-)+2

五、迁移运用

1.[XX届江西省上高县高三上学期第四次月考】若不等式对任

意恒成立，则实数的取值范围为()

A.[B.C.D.

A【答案】

22X<0对任意恒成立，(x)=-logf(X)=3xx„g,不等式【解

析】构造函数-10g3xaa

/.f()Wg(A3?-WO.0<a<1且a2.,.实数a的

取值范围为[,故选A

3x31al2x

lnln3x1,12月联考】若不等式对任意的恒成立届广西

贵港市高三上学期2.1xx3

则的取值范围是()

A.B.C.D.

D【答案】

x2xx3al133in

,由对数函数的单调性有：，整理【解析】由题意结合对数的运

算法则有：In

33

X2xxl32y31当且仅当时等号成立，其中.即时，

函数取得最小可得：，由恒成立的条件有：，

x33

值.

综上可得：.本题选择D选项.

3.【xx届福建省闽侯高三12月月考】已知函数，若关于

的不等式恰有个整数解，则实数的最大值是()

A.B.C.D.

D【答案】

【解析】函数〃x)的图象如图所示.关于x的不等式[r(切+/X)<0.

当。>。时.-a</(x)<0,由于关于x的不等式[/2壮)]+叭工)<0恰有1个整数解.

因此其整数解为3.又/(3)=-9+6=-3,所以-。<-3<。,一。N/(4)=-8,

则8N。>3，所以实数a的最大值为8.故选D.

()一()=(-)

4.[xx届甘肃省高台高三上学期第五次模拟】已知函数，若对

任意，恒成立，则实数的取值范围是()

A.B.C.D.

【答案】B

1

xxR,hX；在同一坐标恒成立；设【解析】函数对任意，恒

成立，，恒成立，即e

Ca1xgx,x

,如图所示；系内画出两个函数的图象

hxgx,()则满足不等式恒成立的是(,)图象下方的图象在

求的导数

,且该切线方程过原点且过图象上点的切线方程为(0,0),

则，即，解得；•••切线斜率为，，应满足ea,-1>-

aeaaaeB.(1->1-；又故选-1?1,.•.实数

的取值范围是即

fxInxa2x2a4(a0)月联考】已知函数.[5xxl2届广东

省五校高三若有且只有两个整，

数，使得，且，则的取值范围是()

A.B.C.D.

【答案】C

♦(一)-+>(>)

()=--()=-

(卢()4-

［解析］利用彳除去当a=0时.〃x)=；Xs./(x)=/N0曲数在定义域上单调递增.

|/(xi)-/(x2)|5/(l)-/(0)=Asl;有足题意.除CD选项3°=竽时，/(x)=；?_g

/'(x)=X2-g<0嬲在定义域上单调递底,在)-7(^)1</(0)-=

满足题意由滁B运页，

故选A

6+->

【解析】

Inxa2x2a40,aOax2a2xInx4a0,由题意可知，，

设，即

gx2xInx4,hxax2a在上为减函数，在上为增函

数，,，的图象恒过点由，，在同一坐标可知

，使得，且，则系中作出的图象如下:若有且只有两个整数aOOa

,解得，故选C.

{2ag1{hl即,

a21n33gh3

6.[xx届陕西省西安高三上学期期中】已知函数，若对于任意

的，都有成立，则实数的取值范围是()

A.B.

D.

C.

【答案】A

f(msin)f(lm)0不等式若当时,7【xx宁夏育才中学上

学期第二次月考】设函数，则实恒成立，

数的取值范围是()

C.D.A.B.

【答案】D

23xf(x)Olf(x)又在上是增函数,，【解析】易得是奇函数

11Ilf(msin)mf(ml)msinmm1,0sinD.,故选

sin11sin

8.[xx河北省武邑中学2高三上学期第三次调研】若对，不等

式，恒成立，则实数的最大值是()

.A..BDC.

【答案】D

eeexx2x2e4ax2e2e22222【解析】设,恒成立x

y2xy2xy2y2©X2x2x21)(xl)exe(ellx

2x222xxh(x)(xl)eg(x)lxh'(x)g'(x),再设

x2,h'(x)0h(2)0h(x)，令当当

仅有一解，且，故选D.

2b)(xlnx

(bR)f(x)则实数若存在使得,,，山西省孝义市高三

上学期二轮模考】已知函数9.[xxX

的取值范围是()

.A..DBC.

【答案】C

22b)b)f(x)(xll2x(xb)lnx(x2x(xb)lnx【解析】

由题意，得=.若存在，，则=一

2XX

使得，则，所以.设，则，当时，；当时，，所以在上单调递

减，在上单调递增，所以当，函数取最大值，最大值为，

.故选C所以，

10.[XX届江苏南通市高三第二次阶段测试】若不等式在实数

集R上恒成立，则正整数的最大值是.

][参考数据：

【答案】

【解析】

不等式在实数集R上恒成立，等价于的图象恒在

,设与的图象相切时切点坐标为，则，切线方程为，将点上方，

与的图象相切时斜率最大代入切线方程可

xx1150gx2e

)二(->

X一

()=+-+()=)=--+-+=-+.

()=-+

()=+

<-4<4

，在上递增，，，，的图象恒在上方，所以，,所以正整数的最

大值得oOO

是，故答案为.

11.[XX届河南省潦河高三上学期第四次模拟】已知（，为常数）

和是定义在上的函数，对于任意的，存在使

得，，且，则在上的最大值为.

【答案】5

1XX12gllxl【解析】•・，(当且仅当x=2时，等号成

立),

x44x

XX11b,fxf221Ibcg2bbe22

x22x22

A,Vf(x)在x=2处有最小值，,，即b=8,故c=-5,

X31Xf85,f'x8x故,故f(x)在［1,2］上是减函数，在［2,4］

上是增函数,2

2XX2

71f而5558241f(x)故，5•的最大值为，f8

22

fxaxxxfxAByfxAB,,(,设函数(的图象上存在不同的

两点)=在点+sin使得曲线+cos).若函数=()12.

a的取值范围为则实数，.处的切线互相垂直

【答案】

f(x)acosxsinxa2cos(x),【解析】因为

4

2cos(x2cos(xl(a))(a)).成立则存在实数，使得21

44不妨设k2],则k2cos(x2cos(x)[a)

(0,aaa2,0).i221

44

222,a(k)2a,12a因此0kl,1a1.21

13.[xx山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数,，其中，

为自然对数的底数.

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时一

,(3)确定的所有可能取值使得在区间内恒成立.

2(X0)12ax.f'(x)2axl得【解析】(1)由，

XX

当时，在成立，则为上的减函数；

当时，由，得,

...当时，，当时，.

则在上为减函数，在上为增函数.

综上，当时，为上的减函数；当时，在上为减函数，在上为增

函数.

(2)证明：要证，即，即证，也就是证.

令,则，..・在上单调递增,则，

;••・当时，即当时，，

2axe(3)由，得0laInx.i

____+—>

=__—+->

=--+----=+------2

X

ezaxOt(x)lainx.设,,由题意知在内恒成立ix

x

eieOt'Cx)xl2ax2axll.在内恒成立，有v,ix

x22XXX

ee2a2a'（x）21x2则，令“xix

323XXX

当时”

函数在上单调递增，,•••..令

又,,,,

综上所述，,，在区间单调递增，

即在区间单调递增，.・・・

14.【xx四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数（其

中）.

,求的取值范围；I）当时，若在其定义域内为单调函数（

（II）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如

果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其

中是自然对数的底数，=2.71828?）.

2ax4x4a44）a（1（x）f22

,，【解析】（I）由题xxx.

①当时，知，则是单调递减函数；

②当时，只有对于，不等式恒成立，才能使为单调函数，只

需,解之得，此时.

2xbxbbb，其中（的取值范围是.II）,综上所述，

门（x）.22XXX

(i)当时”于是在上为减函数，则在上也为减函数，

l)bef(e)bef(x)知0恒成立，不合题意，舍

去.(ii)当时，由得.列表得(lbmax

ee

(0,)(,)

—1-0

极大值/、

①若，即，则在上单调递减，

2e2elbll

【解析】(1)/3=萩-亚=双斯-。)

当。40时,e*-。>0,二工6(r,0)时,/<幻<0,/@)单调递；咸

xe(0.+ao)Bt/f<x)>0J(x)单倜递增

当0<aV1时，令/\x)=。得x=0°5x=Ina.

(i)当Ova<1时,Ina<0,故：

Xes,ln。)吐了'(x>>0,“幻单调递解

xe(ln«.O)Bt/f(x)<0,/@)单调递减，

xe<0,-+w)Bt/'(x)>0J(x)单调递增；

f(x)知(iWe,而(10,(lf(e)e))bebe)bmax

eleeeeel

于是恒成立，不合题意，舍去.②若，即,

，上为减函数则在(,)上为增函数，在(,)

则必有，要使在恒有恒成立

24ee,,b

beOb2332232eee由于所以则10(2ee3el)ee

Ie,则，所以.4b,e20e2b22

2ee.bl

15.[xx湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数当

时，求的单调区间；

当时，的图象恒在的图象上方，求的取值范围.

()(l),,(ii)当时xxaxxexfxe恒成立，