教学设计：裂项相消求和法

裂项相消求和法对裂项相消求和法的考查主要有三种形式：1.直接对公式111，11(11)的考查；n(n1)nn1n(nk)knnk2.在等差数列中，对公式1111的考查；anan1danan1对于非等差数列的形式，能够进行裂项求和，主要是对裂项求和方法的考查；一．定义裂项相消求和法是把数列的通项拆开（一般拆成两项之差），正负相消，剩下首尾若干项，再求和。二．常用公式公式1：11)11，n(nnn1例1：计算111122399100解：1111111111991223991001223991001100100公式2：1k)1(11)；n(nknnk例2.计算115991133101解：115111111111339910121335991011(11)502101101注：例1，例2是小学数学中常考的题目，非常简单，其中蕴含着裂项相消求和法的基本思想，有助于我们直观感受裂项相消求和法。公式:3：1111（其中数列an为等差数列，d为公差）；anan1danan1例3.等差数列an，an3n2，bn1，求数列bn的前n项anan1和Tn.解：bn11(11)，anan13anan1Tnb1b2bn1(111111)1(11)n.3a1a2a2a3anan133n13n11注：裂项相消求和法最基本的应用就是对数列 bn 进行求和，anan1要深刻理解公式1111的本质，能够灵活应用。anan1danan1三．高考试题例1：（2017年全国二卷理科15题）等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则n1=.k1Sk解：由条件得：a3a12d3，解得a11，d1，S44a16d10所以ana1(n1)dn，则Snn(n1)，121)211，2Snn(nnn1所以n111121111112n.k1SkS1S2Sn1223nn1n1小结：数列an12，可直接运用n的前n项和的倒数n(n1)Sn11进行裂项，再相消求和.n(n 1) n n 1例2：（2015年江苏卷理科11题）设数列an满足a11，且an1ann1（nN*），则数列1的an前10项和为.解：ananan1an1an2(a2a1)a1nn121n(n1)，2所以121)21n1，ann(nn11则数列 的前10项和为1112(111111)20.a1a2a101223101111小结：通过叠加法求出数列an12的通项公式，其倒数，ann(n1)可直接运用111进行裂项，再相消求和.n(n1)nn1注：例1，例2直接考查11)11的运用.n(nnn1例3：（2017年全国3卷文科17题）设数列an满足a13a2(2n1)an2n.（1）求an的通项公式；（2）求数列an的前n项和.2n1解：（1）a1 3a2 (2n 3)an1 (2n 1)an 2n ①a13a2(2n3)an12(n1)②①-②得：(2n1)an2，所以an2，2n1（2）an211，(2n1)(2n1)2n12n2n11则数列an的前n项和为：2n1a1a2an1111111112n.352n13352n2n2n1例4：（2013年全国1卷文科17题）已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.（1）求an的通项公式；（2）求数列1的前n项和.a2n1a2n1解：（1）由条件得：S33a13d0，解得：a1S55a110d5所以n1(n1)dn2，aa（2）11(11)，a2n1a2n12a2n1a2n1则数列1的前n项和为：a2n1a2n11111(1111a1a3a3a5a2n1a2n12a1a3a3a411)n.(12n22n11小结：考查1111.danan1anan1例5：（2015年全国1卷理科17题）Sn为数列an的前n项和.已知an0，an22an4Sn

1，d 1，1 1)a2n1 a2n1.（1）求an的通项公式；（2）设bn1，求数列bn的前n项和.anan1解：（1）令n1，则a122a14a13，即a122a130，所以a13，当n2时，an22an4Sn3①an212an14Sn13②①-②得：an2an212an2an14an，(anan1)(anan1)2(anan1)，因为an0，所以anan10，所以anan12，故数列an为等差数列，其首项a13，公差d2，所以n1(n1)d2n1，aa（2）bn11(11)，anan12anan1数列bn的前n项和为b1b2bn1(111111)1(11)n2a1a2a2a3anan1232n36n9小结：先证明等差数列，在利用1111裂项相消.anan1danan1例6：（2014大纲全国卷理科18题）等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.（1）求an的通项公式；（2）设bn1，求数列bn的前n项和Tn.anan1解：（1）因为a2为整数，所以公差d为整数，dn(n1)ddda1Snna1n2(a12，22)n，其对称轴为nd2d1010，所以d因为SnS4，所以3.524.5，2.5d3，d3所以ana1(n1)d13n，3（2）bn11(11)anan13anan1数列bn的前n项和Tn为b1b2bn1(111111)3a1a2a2a3anan11(113n)n3n).3101010(10小结：考查1111.danan1anan1注：例4，例5，例6都是以等差数列为背景，运用1111anan1danan1进行裂项相消求和。例7：（2015年安徽卷文科18题）已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn为数列an的前n项和，bnan1，求数列bn的前n项SnSn1和Tn.解：（1）a1a4a2a38，所以a1，a4是方程x29x80的两个根，解得：a11，a48，a4q38，q2，所以ana1qn12n1，a1（2）Sn12n2n1，则bn(2n2n1)2n11，121)(2n112n11则Tnb1b2bn1111112112212212312n12n1112n1212n11.2n11小结：运用裂项的思想.例8：（2011年全国卷理科17题）等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a32（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog3a1log3a2log3an，求数列29a2a62，所以a4221，所以解：（1）a39a4a32q92a13a1q2a1a13a11，则a11，所以an3（2）bnlog3a1log3a2log3an(12122(1n1)，bnn(n1)n1所以数列1的前n项和为bn1112(111111)b1b2bn1223nn1小结：等比转化为等差，在裂项相消求和 .例9：（2014年山东卷理科19题）

9a2a6.的前n项和.bn1，3na1qn11，3n)n(n1)22n.n 1已知等差数列 an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）令nn14n，求数列bn的前n项和Tn.b(1)anan1解：（1）S1a1，S22a1d，S44a16d，因为S1，S2，S4成等比数列，所以S1S4S22，即：a1(4a16d)(2a1d)2，4a126a1d4a124a1dd2，2a1dd2d(2a1d)0，所以a11，ana1(n1)d2n1；（2）bn(1)n14n(1)n14n(1)n1111，anan1(2n