经典高等数学课件无穷小与无穷大四则运算法则

1第1页，共25页，2023年，2月20日，星期二第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大2第2页，共25页，2023年，2月20日，星期二一、无穷小

1.定义1.

如：注意：(1)无穷小是函数(变量),要求①有极限，②极限为0.(2)零是可以作为无穷小的唯一的常数.

(3)一个函数是否为无穷小,依赖于极限过程,即如：是当时的无穷小.除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!自变量的变化趋势.3第3页，共25页，2023年，2月20日，星期二2.无穷小与函数极限的关系定理1：证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证.作用：1)把一般的极限问题转化为特殊极限(无穷小)的问题;2)给出有极限的函数P42T4(1):4第4页，共25页，2023年，2月20日，星期二3.无穷小的运算性质:在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质1：证:

考虑两个无穷小的和.设说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(P56题4(2))5第5页，共25页，2023年，2月20日，星期二有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质2：证:

设推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小.例1.

求解:

无穷小的性质法6第6页，共25页，2023年，2月20日，星期二精确定义：若任给

M>0,满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大.使对一切若在定义中将①式改为①则记作:(正数X),记作:二、无穷大定义2：绝对值无限增大的变量称为无穷大.正无穷大，负无穷大．精确定义：例如：7第7页，共25页，2023年，2月20日，星期二注意:(1)无穷大是函数(变量),是反映变量的变化趋势,(2)无穷大依赖于自变量的变化趋势.(3)函数为无穷大,必定无界.但反之不真!因此任何常量都不是无穷大.例如,函数无界但不是无穷大!描述函数的一种状态.不能与很大的常数混淆;P42T68第8页，共25页，2023年，2月20日，星期二例1.

证明证:

任给正数

M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则称直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:9第9页，共25页，2023年，2月20日，星期二三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.

在自变量的同一变化过程中,意义：想一想：无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？不是无穷大.而无穷大－无穷大=0吗？不一定等零.10第10页，共25页，2023年，2月20日，星期二第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则11第11页，共25页，2023年，2月20日，星期二一、无穷小运算法则在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质2：推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小.思考：无穷小的商是无穷小吗？12第12页，共25页，2023年，2月20日，星期二二、极限的四则运算法则则有定理3.

若(B≠0)推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)常数因子可以提到极限记号外面.注意:

1.条件;2.极限过程要一致;3.可推广到有限个.13第13页，共25页，2023年，2月20日，星期二为无穷小证明(3)：

若且B≠0,则有证:

因有其中设无穷小有界由极限与无穷小关系定理,得因此为无穷小,

推论2.14第14页，共25页，2023年，2月20日，星期二数列也有类似的四则法则.定理4.则定理5.证：由保序性因为数列是一种特殊的函数,15第15页，共25页，2023年，2月20日，星期二则有定理3.

若(B≠0)注意:(1)公式的成立是有条件的.且条件是充分而非必要的.(2)法则的结论有1)和差积商的极限存在;2)极限值.存在+存在=存在存在+不存在=不存在不存在+不存在=不一定存在答:不存在.否则由可推出矛盾

.存在×存在=存在存在×不存在=不一定存在16第16页，共25页，2023年，2月20日，星期二例1.

设

n次多项式试证证:多项式,证:

例2.

设有理分式函数不能直接用商的运算法则.17第17页，共25页，2023年，2月20日，星期二解:但因例3.

求所以商的法则不能用（无穷小与无穷大的关系法）由无穷小与无穷大的关系,得18第18页，共25页，2023年，2月20日，星期二分析：说明:无穷小与无穷小的商不一定是无穷小.约去零因式法方法是:先约去不为零的无穷小因子(x-3)后再求极限.解:19第19页，共25页，2023年，2月20日，星期二小结20第20页，共25页，2023年，2月20日，星期二例5.分析：先用x3去除分子及分母，然后取极限：(无穷小因子分出法)解：例6.解：21第21页，共25页，2023年，2月20日，星期二注意：以分母中自变量的最高次幂项中的xn分别除无穷小因子分出法:分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限的方法.一般有如下结果：“抓大头”当公式用22第22页，共25页，2023年，2月20日，星期二例7.(通分法)解：解：先变形再求极限.例8.(化无限为有限法)23第23页，共25页，2023年，2月20日，星期二意义：