统计数据的特征描述

统计数据的特征描述第1页，共35页，2023年，2月20日，星期二§3.1集中趋势的描述集中趋势(centraltendency):指一组数据向某一中心值靠拢或集中的程度用途：为了表示社会经济现象总体各单位某一标志在一定时间、地点和条件下达到的一般水平，经常被作为评价事物和决策的数量标准或参考。主要测度值：平均数、众数、中位数、分位数第2页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.1.1平均数平均数:全部数据的算术平均，常用来表示。是数据集中趋势的最主要测度值。适用条件：数值型数据常用形式：简单平均数加权平均数第3页，共35页，2023年，2月20日，星期二1．算术平均数(mean)1)简单算术平均数简单算术平均数:全部数据的算术平均适用条件：未经分组整理的原始数据资料。计算公式：

式中，是一组样本数据的观测值，n为样本容量。第4页，共35页，2023年，2月20日，星期二【例3.1】某班级20名学生的期末数学成绩是67、78、49、56、98、87、62、100、73、45、70、44、96、80、49、61、60、88、93、60(分)，求该班学生的数学成绩的平均数。解：由公式(3.1)

该班学生的数学平均成绩是70.8分。第5页，共35页，2023年，2月20日，星期二2)加权算术平均数加权算术平均数:各组标志值与各组频数相乘的总和除以各组频数之和。适用:已经分组整理并编制出频数分布的数据资料。计算公式:式中，是单项式分组形式下第i组的变量值或组距式分组形式下第i组的组中值；是第i组的频数；n为组数。第6页，共35页，2023年，2月20日，星期二=0.027+0.298+1.236+0.848+0.610+0.468=3.487

即职工的平均家庭人口数是3.487人第7页，共35页，2023年，2月20日，星期二例3.3(已整理的组距式分组数据平均数算例)根据第2章中的表2-7中的数据资料计算某单位某种产品平均销售量的近似值。（见课本P43）2．调和平均数(harmonicmean)简单调和平均数简单调和平均数:各观测值倒数的算术平均数的倒数适用条件：未分组资料且各标志值对应的标志总量相等计算公式：

第8页，共35页，2023年，2月20日，星期二2)加权调和平均数适用条件:分组资料且各标志值对应的标志总量不等计算公式:

mi表示第i个单位或第i组标志值对应的标志总量,当各组标志总量相等，即m1=m2=…=mn=m时，即例题见课本P44第9页，共35页，2023年，2月20日，星期二3．几何平均数(geometricmean)适用条件：用于时间上有联系或有先后顺序关系的比率求平均。1)简单几何平均数计算公式：

2)加权几何平均数计算公式：例题见P46第10页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.1.2众数众数(mode):数据中出现次数最多的那个观测值，一般用M0表示。适用条件：分类数据、顺序数据以及数值型数据。1．根据品质型和单项式分组数据计算众数2．根据组距式分组数据计算众数要确定众数所在组，即众数组。通过下面的下限公式或上限公式来计算众数。

第11页，共35页，2023年，2月20日，星期二式中：L、U分别为众数组的下限和上限。是众数组与其前一组的频数之差；d是众数组的组距。是众数组与其后一组的频数之差；例：P49页－例3.11第12页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.1.3中位数中位数(median):将一组数据按一定顺序排列后，处于中间位置上的变量值，一般用Me表示。适用条件:顺序数据和数值型数据1．根据未分组数据计算中位数

中位数位置=奇数：对应中位数位置的那个数值偶数：对应于中位数位置左右相邻的两个数值的平均值第13页，共35页，2023年，2月20日，星期二例1：4，4，3，2，2，2，1，3，1排序：1，1，2，2，2，3，3，4，4中位数：2例2：年收入（in$000)：

$80，90，100，110，120，500中位数：第14页，共35页，2023年，2月20日，星期二2．根据分组数据计算中位数中位数位置=见【例3.13】【例3.14】

对于组距式分组数据下限公式：上限公式：第15页，共35页，2023年，2月20日，星期二LMe表示中位数所在组的下限；UMe表示中位数所在组的上限；SMe-1表示向上累计至中位数所在组前一组的频数；SMe+1表示向下累计至中位数所在组后一组的频数；fMe表示中位数所在组的频数；dMe表示中位数所在组的组距；n表示各组频数之和注：见P53－【例3.15】

第16页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.1.4分位数四分位数(quartile):一组数据排序后处于25%和75%位置上的值，也称之为四分位点。分位数:衡量数据位置的测定指标1．根据未分组数据计算四分位数

Qi位置＝i=1时，即为下四分位数QL(LowerQuartile)i=2时，即为中位数i=3时，即为上四分位数QU(UpperQuartile)第17页，共35页，2023年，2月20日，星期二例:第一组数据：2300、3500、2900、4500、7000、3000、8100、3200(万元),计算两组数据的四分位数。解：按从小到大顺序的排列结果为2300、2900、3000、3200、3500、4500、7000、8100QL位置＝=(8+1)/4=2.25=3(8+1)/4=6.75QU位置=QL＝[2900+0.25×(3000-2900)]万元=2925万元

QU=[4500+0.75×(7000-4500)]万元=6375万元

第18页，共35页，2023年，2月20日，星期二2．根据分组数据计算四分位数QL组位置＝QU组位置＝确定四分位数所在组根据各组的累积频数确定四分位数的具体值。(1)对单项式分组数据，该组的变量值就是四分位数。(2)对于组距式分组数据，通过下面的公式来计算：第19页，共35页，2023年，2月20日，星期二L1和L3表示下四分位数和上四分位数所在组的下限；SM1-1和SM3-1分别表示下和上四分位数所在组以下各组的向上累计频数；fQ1和fQ3分别表示下四分位数和上四分位数所在组的频数；d表示下四分位数和上四分位数所在组的组距；n表示各组频数之和例见P55【例3.17】

第20页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.1.5集中趋势各测定指标之间的区别与关系

区别指标样本利用度稳健性适用数据众数位置特征数好分类，顺序，数值中位数位置特征数好顺序数据数值数据均值100%较差数值数据第21页，共35页，2023年，2月20日，星期二关系分布形态常态图形对称正态分布右偏分布左偏分布=M0=Me

>Me>M0

<Me<M0

第22页，共35页，2023年，2月20日，星期二§3.2离散程度的描述数据的离散程度:反映各变量值远离其集中趋势测度值的程度。数据的离散程度越大，集中趋势测度值对该组数据的代表性就越差；离散程度越小，其代表性就越好。相关应用：投资的风险度常用指标：1极差和四分位差

2方差和标准差

3变异系数和异众比率第23页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.2.1极差和四分位差极差:一组数据的最大值与最小值之差，未分组或单项式分组数据:R=max(xi)－min(xi)

组距式分组数据:R=末组上限值－首组下限值四分位差:

Qd=QU-QL

注:反映中间50%数据的离散程度，不受极端值影响注：受极端值的影响。第24页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.2.2方差和标准差方差(variance)与标准差(standarddeviation):测定一组数据离散程度的最常用的测度值，它反映了每个数据与其平均数相比平均相差的数值。未分组数据资料计算公式：第25页，共35页，2023年，2月20日，星期二分组数据资料计算公式：第26页，共35页，2023年，2月20日，星期二注：方差和标准差是根据全部数据计算的，它能比较准确地反映出全部数据的离散程度。标准差有计量单位的且与变量值相同，因此其实际意义要比方差清楚。在对社会经济现象进行分析时，更多地使用标准差作为离散程度的度量值。方差与标准差都不是系数，因此对不同数据不能通过比较它们的大小得出离散程度的大小。见P59—【例3.18】

第27页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.2.3变异系数和异众比率变异系数(coefficientofvariation)：

注：变异系数是一个无量纲的量，它适合比较不同现象或具有不同水平数据的离散程度。异众比率(variationratio)

：一组数据的非众数的频数与全部数据个数的比率。注：异众比率也是一个无量纲的量第28页，共35页，2023年，2月20日，星期二计算公式：fm：众数所在组的频数fi：各分组的频数第29页，共35页，2023年，2月20日，星期二§3.3分布形态的描述数据分布的形态:指数据分布的形状是否对称，偏斜的程度以及分布的扁平程度等。刻画数据分布形态的测度值:偏度和峰度。第30页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.3.1偏度偏度(skewness):一组数据分布的偏斜方向和程度。计算公式：Sk＝0Sk>0Sk<0第31页，共35页，2023年，2月20日，星期二对称分布右偏分布左偏分布(1)分布对称时，偏度值等于零。(2)分布右（正）偏时，Sk>0

。且Sk值越大，偏斜的程度就越大(3)分布左（负）偏时，Sk<0

。且Sk值越小，偏斜的程度就越大第32页，共35页，2023年，2月20日，星期二3.3.2峰度峰度(kurtosis):一组数据分布的陡缓程度，它是与标准正态分布相比较而言的。其计算公式为:正态分布尖峰态分布平峰态分布

normalleptokurticplatykurtic第33页，共35页，2023年，2月20日，星期二(1)当数据分布与标准正态分布的陡缓程度相同时，则峰度值等于零。(2)当数据分布的形状比标准正态分布更尖时，则峰度值Ku>0，称为尖峰态分布。尖峰分布表明集中趋势显著