高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 抛物线教案(含解析)-高三全册数学教案

第八节抛物线

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；

(3)定点不在定直线上．

2．抛物线的标准方程和几何性质

y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py(p＞

标准方程(p＞0)(p＞0)(p＞0)0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点O(0,0)

对称轴y＝0x＝0

pppp

焦点F，0F－，0F0，F0，－

2222

离心率e＝1

pppp

准线方程x＝－x＝y＝－y＝

2222

范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R

开口方向向右向左向上向下

焦半径|PF|＝

ppp

(其中|PF|＝x＋p|PF|＝y＋|PF|＝－y＋

02－x＋0202

P(x，y))02

00

[小题体验]

1．(2018·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝

1

－，则其焦点坐标为________，实数a的值为________．

4

1

解析：由题意得焦点坐标为0，，抛物线C的方程可化为x2

4

111

＝y，由题意得－＝－，解得a＝1.

a4a4

1

答案：0，1

4

2．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为

________．

答案：y2＝－4x或x2＝－8y

3．(教材习题改编)抛物线y＝4x2的焦点坐标为__________；

准线方程为____________．

11

解析：抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标为0，，

416

1

准线方程为y＝－.

16

11

答案：0，y＝－

1616

1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，

当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．

2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p＞0才能证明其几

何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．

3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或

准线方程时，要注意标准形式的确定．

[小题纠偏]

1．平面内到点(1,1)与到直线x＋2y－3＝0的距离相等的点的

轨迹是()

A．椭圆B．双曲线

C．抛物线D．一条直线

答案：D

2．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．

1

解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－y.

8

111

∴2p＝，p＝，∴焦点为0，－.

81632

1

答案：0，－

32

考点一抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1

1．(2019·温州十校联考)设抛物线C：y＝x2的焦点为F，直

4

线l交抛物线C于A，B两点，|AF|＝3，线段AB的中点到抛物线

C的准线的距离为4，则|BF|＝()

7

A.B．5

2

C．4D．3

解析：选B抛物线C的方程可化为x2＝4y，由线段AB的中

点到抛物线C的准线的距离为4，可得|AF|＋|BF|＝8，又|AF|＝3，

所以|BF|＝5.

2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：

(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是()

A．4B．5

C．6D．7

解析：选B依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝

－1引垂线，垂足为M(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM|，结

11

合图形可知|MA|＋|MM|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距

1

离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值

是5，故选B.

[由题悟法]

应用抛物线定义的2个关键点

(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相

互转化．

(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|

pp

＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.

22

[即时应用]

1．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上

有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴

上，则△BCF与△ACF的面积之比是()

|BF|－1|BF|2－1

A.B.

|AF|－1|AF|2－1

|BF|＋1|BF|2＋1

C.D.

|AF|＋1|AF|2＋1

解析：选A由图形可知，△BCF与△ACF有公

共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与

|BC|

△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知其

|AC|

焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物

线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，

且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|

|BC||BM||BF|－1

＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.

|AC||AN||AF|－1

2．已知直线l：4x－3y＋6＝0和直线l：x＝－1，抛物线y2

12

＝4x上一动点P到直线l和直线l的距离之和的最小值是()

12

35

A.B．2

5

11

C.D．3

5

解析：选B由题可知l：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，

2

设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l的距离等于|PF|，则动

2

点P到直线l和直线l的距离之和的最小值，即焦点F到直线l：

121

|4－0＋6|

4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.

5

考点二抛物线的标准方程与几何性质

题点多变型考点——多角探明

[锁定考向]

抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题

形式出现．

常见的命题角度有：

(1)求抛物线方程；

(2)抛物线的对称性．

[题点全练]

角度一：求抛物线方程

1．(2019·台州重点校联考)已知直线l过抛物线y2＝－2px(p

＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB

的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()

A．y2＝－12xB．y2＝－8x

C．y2＝－6xD．y2＝－4x

解析：选B过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别

为A，B，由抛物线定义知|AF|＝|AA|，|BF|＝|BB|，则|AA|＋

11111

p

|BB|＝22＋＝8，解得p＝4，所以此抛物线的方程是y2＝－8x.

12

角度二：抛物线的对称性

x2y2

2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线

a2b2

y2＝2px(p＞0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的

离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝()

3

A．1B.

2

C．2D．3

b

yx

解析：选B双曲线的渐近线方程为＝±a，

因为双曲线的离心率为2，

b2by＝3x，

所以1＋＝2，＝3.由

a2a

y2＝2px，

2p

x＝，

3

x＝0，

解得或

y＝023p

y＝.

3

由曲线的对称性及△AOB的面积得，

123p2p

2×××＝3，

233

933

解得p2＝，即p＝p＝－舍去.

422

[通法在握]

求抛物线方程的3个注意点

(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种

类型中的哪一种；

(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间

的对应关系；

(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的

几何意义来解决问题．

[演练冲关]

1．(2019·宁波质检)已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上

一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为()

A．1B．2

C．3D．4

p

解析：选D抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，0，设

2

y2py2

M1，y，由中点坐标公式可知＋1＝2×2，y＋0＝2×2，解得

2p122p1

p＝4.

2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直

线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线准线交于M，且FM＝3FP，

则|FP|＝()

32

A.B.

23

43

C.D.

34

解析：选C设直线l的倾斜角为θ，如图所示，

过点P作PN垂直准线于点N，由抛物线定义知|PN|

＝|PF|.∵FM＝3FP，∴|FM|＝3|FP|，即|PM|＝2|PN|.

11

在Rt△MNP中，cos∠MPN＝，∵PN∥x轴，∴cosθ＝，由抛物

22

p244

线焦半径的性质可得|PF|＝＝＝，即|FP|＝.

1＋cosθ133

1＋

2

考点三直线与抛物线的位置关系

重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

(2018·长兴中学模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点

1

为F，P为C上一点，|PF|＝4，点P到y轴的距离等于3.

1

(1)求抛物线C的标准方程；

1

(2)设A，B为抛物线C上的两个动点，且使得线段AB的中点

1

D在直线y＝x上，P(0,2)为定点，求△PAB面积的最大值．

p

解：(1)由题意，＋3＝4，∴p＝2，

2

所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.

1

(2)设直线AB：x＝ty＋b，A(x，y)，B(x，y)．

1122

x＝ty＋b，

联立方程

y2＝4x

消元化简得y2－4ty－4b＝0，

Δ＝16t2＋16b＞0.

且y＋y＝4t，x＋x＝t(y＋y)＋2b＝4t2＋2b，

121212

所以D(2t2＋b,2t)，2t2＋b＝2t.

由Δ＞0得0＜t＜2.

|－2t－b||2t2－4t|

所以点P到直线AB的距离d＝＝，

1＋t21＋t2

所以|AB|＝1＋t216t2＋16b＝41＋t22t－t2，

11|2t2－4t|

所以S＝|AB|d＝×41＋t22t－t2＝

△ABP221＋t2

22t－t2·|2t2－4t|.

令m＝2t－t2，

则m∈(0,1]，且S＝4m3.

△ABP

由函数单调性可知，(S)＝4.

△ABPmax

[由题悟法]

解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法

(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关

系类似，一般要用到根与系数的关系．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线

的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x＋x＋p，若

12

不过焦点，则必须用弦长公式．

[即时应用]

如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直

线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．

(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l

的方程；

(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．

解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)．

因为线段AB的中点在直线y＝2上，

所以直线l的斜率存在，

设直线l的斜率为k，A(x，y)，B(x，y)，AB的中点M(x，

11220

y2＝4x，

11

y)，由得(y＋y)(y－y)＝4(x－x)，

0y2＝4x，121212

22

所以2yk＝4.

0

又y＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.

0

(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得

x＝my＋1，

消去x，得y2－4my－4＝0，

y2＝4x，

所以y＋y＝4m，yy＝－4，Δ＝16(m2＋1)＞0.

1212

|AB|＝m2＋1|y－y|

12

＝m2＋1·y＋y2－4yy

1212

＝m2＋1·4m2－4×－4

＝4(m2＋1)．

所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，

所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2019·湖州质检)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4,0)，

过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，

若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是

()

A．y2＝4xB．y2＝－4x

C．y2＝8xD．y2＝－8x

解析：选D∵AB⊥x轴，且AB过点F，∴AB是焦点弦，∴|AB|

1p

＝2p，∴S＝×2p×＋4＝24，解得p＝4或p＝－12(舍去)，

△CAB22

∴直线AB的方程为x＝2，∴以直线AB为准线的抛物线的标准方

程是y2＝－8x，故选D.

2．(2018·江山质检)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，横坐标为4

的点到焦点的距离为5，则p的值为()

1

A.B．1

2

C．2D．3

p

解析：选C由抛物线的定义可知，4＋＝5，解得p＝2.

2

3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为

l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|

＝4，则直线AF的倾斜角等于()

7π2π

A.B.

123

3π5π

C.D.

46

解析：选B由抛物线y2＝4x知焦点F(1,0)，准线l的方程

为x＝－1，由抛物线定义知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为

23－0

(3,23)，因此点A的坐标为(－1,23)，所以k＝＝－3，

AF－1－1

2π

所以直线AF的倾斜角为.

3

4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C：y2＝23x，过焦点F

且斜率为3的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上

的投影分别为M，N两点，则S＝()

△MFN

A．8B．23

C．43D．83

3

解析：选B法一：由题意可得p＝3，F，0.不妨设点P

2

在x轴上方，由抛物线定义可知|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|，设直线

π

PQ的倾斜角为θ，则tanθ＝3，∴θ＝，由抛物线焦半径的

3

p3p

性质可知，|PF|＝＝＝23，|QF|＝

1－cosθπ1＋cosθ

1－cos

3

323π

＝＝，∴|MN|＝|PQ|sinθ＝(|PF|＋|QF|)·sin＝

π33

1＋cos

3

83311

×＝4，∴S＝|MN|·p＝×4×3＝23.

32△MFN22

3

法二：由题意可得F，0，直线PQ的方程为

2

33

y＝3x－＝3x－，与抛物线方程y2＝23x

22

39

联立，得3x－2＝23x，即3x2－53x＋＝0，设P(x，y)，

2411

535383

Q(x，y)，则x＋x＝，∴|PQ|＝x＋x＋p＝＋3＝，

221231233

π

∵直线PQ的斜率为3，∴直线PQ的倾斜角为.∴|MN|＝|PQ|sin

3

π8331

＝×＝4，∴S＝×4×3＝23.

332△MFN2

5．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到

1

焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为________．

2

解析：设点P的坐标为(x，y)，抛物线y2＝4x的准线方程为

PP

x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的

x1

距离，故P＝，

x－－12

P

解得x＝1，

P

所以y2＝4，所以|y|＝2.

PP

答案：2

二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y＝－1相切，

则动圆圆心的轨迹方程为()

A．y＝0B．x2＋y2＝1

C．x2＝4yD．y2＝4x

解析：选C设动圆圆心M(x，y)，则x2＋y－12＝|y＋

1|，解得x2＝4y.

2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线

y＝3(x－1)与抛物线C交于A，B两点(A在x轴上方)．若AF＝

mFB，则m的值为()

3

A.3B.

2

C．2D．3

343

解析：选D直线方程为x＝y＋1，代入y2＝4x可得y2－

33

23

y－4＝0，则y＝23，y＝－，所以|y|＝3|y|，因为AF＝mFB，

AB3AB

所以m＝3.

3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x2＝4y，过焦点F的直

线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角

|AF|

为30°，则的值等于()

|BF|

5

A．3B.

2

3

C．2D.

2

3

解析：选A由题可得，F(0,1)，设l：y＝x＋1，A(x，y)，

311

B(x，y)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x，化简得3y2－

22

1|AF|y＋1

10y＋3＝0，解得y＝3，y＝.由抛物线的定义可知＝1＝

123|BF|y＋1

2

3＋1

＝3.

1

＋1

3

1

4．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为

2

17

点M，点A的坐标是6，，则|PA|＋|PM|的最小值是()

2

19

A．8B.

2

21

C．10D.

2

11

解析：选B依题意可知焦点F0，，准线方程为y＝－，

22

延长PM交准线于点H(图略)．

1

则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－，

2

1

|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，

2

即求|PF|＋|PA|的最小值．

因为|PF|＋|PA|≥|FA|，

171

又|FA|＝62＋－2＝10.

22

119

所以|PM|＋|PA|≥10－＝，故选B.

22

5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦

3

点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则

2

OM·MF＝()

77

A．－B.

44

99

C.D．－

44

p

解析：选A设M(m，2pm)，抛物线C的焦点F的坐标为，0，

2

39p3

因为|MO|＝|MF|＝，所以m2＋2pm＝①，m＋＝②，由①②

2422

111

解得m＝，p＝2，所以M，2，F(1,0)，所以OM＝，2，MF

222

117

＝，－2，故OM·MF＝－2＝－.

244

6．(2018·宁波期初)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，若点M

在抛物线上，|MF|＝4，O为坐标原点，则∠MFO＝________.

解析：由题可得，p＝2，焦点在y轴正半轴，所以F(0,1)．

因为|MF|＝4，所以M(±23，3)．

23

所以tan∠MFO＝－tan(π－∠MFO)＝－＝－3，

3－1

2π

所以∠MFO＝.

3

2π

答案：

3

7．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)

上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的

斜率的最大值为________．

p

解析：如图，由题可知F，0，设P点坐标为

2

y2―→―→―→―→1―→

0，y(y＞0)，则OM＝OF＋FM＝OF＋FP＝

2p003

y

0

―→1―→―→1―→2―→y2py3

OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝0＋，0，k＝＝

3336p33OMy2p

0＋

6p3

222

≤＝，当且仅当y2＝2p2时等号成立，所以直线OM的

y2p20

022

p＋y

0

2

斜率的最大值为.

2

2

答案：

2

8．(2018·嵊州一模)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(5，

0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，

S

BFBCFACF△BCF

||＝3，则△与△的面积之比S＝________.

△ACF

解析：设点A在第一象限，B在第四象限，A(x，y)，B(x，

112

y)，直线AB的方程为x＝my＋5.由y2＝4x，得p＝2，因为|BF|

2

p

＝3＝x＋＝x＋1，所以x＝2，则y2＝4x＝4×2＝8，所以y＝

2222222

y2＝4x，

－22，由得y2－4my－45＝0，则yy＝－45，

12

x＝my＋5，

5

所以y＝10，由y2＝4x，得x＝.过点A作AA′垂直于准线x

11112

＝－1，垂足为A′，过点B作BB′垂直于准线x＝－1，垂足为B′，

S|BC||BB′|

易知△CBB′∽△CAA′，所以△BCF＝＝.又|BB′|＝

S|AC||AA′|

△ACF

p57S36

△BCF

|BF|＝3，|AA′|＝x＋＝＋1＝，所以＝＝.

1222S77

△ACF

2

6

答案：

7

9．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M：y＝

x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB

交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G

为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.

(1)设A(x，x2)(x≠0)，求直线AB的方程；

000

|OB|

(2)求的值．

|OD|

解：(1)因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′|x＝x＝2x，

00

所以直线AB的方程为y－x2＝2x(x－x)，

000

即y＝2xx－x2.

00

(2)由(1)得，点B的纵坐标y＝－x2，

B0

x

0

所以AB的中点坐标为，0.

2

x

0

设C(x，y)，G(x，y)，直线CG的方程为x＝my＋.

11222

x

x＝my＋0，x2

20

由得m2y2＋(mx－1)y＋＝0.

04

y＝x2，

因为G为△ABC的重心，所以y＝3y.

12

由根与系数的关系，

1－mxx2

00

得y＋y＝4y＝，yy＝3y2＝.

122m21224m2

1－mx2x2

00

所以y2＝＝，

216m412m2

解得mx＝－3±23.

0

xx2

00

所以点D的纵坐标y＝－＝，

D2m6±43

|OB|y

故＝B＝43±6.

|OD|y

D

10．(2018·台州模拟)已知抛物线C：y2＝4x和C：x2＝2py(p

12

＞0)的焦点分别为F，F，点P(－1，－1)，且FF⊥OP(O为坐标

1212

原点)．

(1)求抛物线C的方程；

2

(2)过点O的直线交C的下半部分于点M，交C的左半部分于

12

点N，求△PMN面积的最小值．

p―→p

解：(1)由题意知F(1,0)，F0，，则FF＝－1，，

122122

∵FF⊥OP，

12

―→―→pp

∴FF·OP＝－1，·(－1，－1)＝1－＝0，

1222

∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.

2

Oykxk

(2)设过点的直线为＝(＜0)，

y＝kx，44

联立得M，，

y2＝4xk2k

y＝kx，

联立得N(4k,4k2)，

x2＝4y

44

从而|MN|＝1＋k2·－4k＝1＋k2·－4k，

k2k2

|k－1|

又点P到直线MN的距离d＝，

1＋k2

1|k－1|4

故S＝··1＋k2·－4k

△PMN21＋k2k2

21－k1－k321－k21＋k＋k2

＝＝

k2k2

11

＝2k＋－2k＋＋1，

kk

1

tkt

令＝＋k(≤－2)，

则S＝2(t－2)(t＋1)≥8，

△PMN

当t＝－2，即k＝－1时，S取得最小值．

△PMN

即当过点O的直线为y＝－x时，△PMN面积的最小值为8.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)，点M是

抛物线的准线与y轴的交点，过点A(0，λp)(λ∈R)的动直线l

交抛物线于B，C两点．

(1)求证：MB·MC≥0，并求等号成立时实数λ的值；

(2)当λ＝2时，设分别以OB，OC(O为坐标原点)为直径的两

圆相交于另一点D，求|DO|＋|DA|的最大值．

解：(1)由题意知动直线l的斜率存在，且过点A(0，λp)，

则可设动直线l的方程为y＝kx＋λp，

代入x2＝2py(p＞0)，消去y并整理得x2－2pkx－2λp2＝0，

Δ＝4p2(k2＋2λ)＞0，

设B(x，y)，C(x，y)，

1122

则x＋x＝2pk，xx＝－2λp2，

1212

yy＝(kx＋λp)(kx＋λp)＝k2xx＋λpk(x＋x)＋λ2p2＝

12121212

λ2p2，

y＋y＝k(x＋x)＋2λp＝2pk2＋2λp＝2p(