2027届高考数学一轮复习1.4基本不等式（课件）

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第四讲基本不等式知识梳理·双基自测知

识

梳

理a>0，b>0a＝b算术平均数几何平均数知识点二利用基本不等式求最大、最小值问题x＝y归

纳

拓

展常用的几个重要不等式双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×题组二走进教材2．(必修1习题2.2T1(2)改编)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(

)C．9 D．18[答案]

D[答案]

C[答案]

C[答案]

46．(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(

)[答案]

ABD考点突破·互动探究利用基本不等式求最值——多维探究角度1直接法名师点拨：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”．1．“一正”就是各项必须为正数．2．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．3．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值．角度2配凑法A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3[答案]

C名师点拨：配凑法求最值的技巧1．用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等.“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．2．求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如本例中的2题的关键是变形，凑出和为常数．角度3常数代换法1．(2026·四川成都石室中学开学考)若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋3b)，则a＋b的最小值为(

)[答案]

B[答案]

B名师点拨：用常数代换法求最值的步骤1．根据已知条件或其变形确定定值(常数)．2．把确定的定值(常数)变形为1.3．把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式．4．利用基本不等式求解最值．角度4消元法已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.[答案]

6[解析]

解法一：(换元消元法)当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号.即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.[引申]本例条件不变，求xy的最大值．当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.名师点拨：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【变式训练】1．(角度1)(2025·沧州七校联考)下列函数中最小值为4的是(

)[答案]

CA．6 B．8C．10 D．12[答案]

AA．4 B．6C．8 D．10[答案]

C4．(角度4)(2026·聊城一中月考)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(

)A．1 B．3C．6 D．12[答案]

B利用基本不等式解决实际问题——师生共研名师点拨：利用基本不等式解决实际问题的策略1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式训练】(2025·广西适应性考试)现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总质量(

)A．等于200g B．大于200gC．小于200g D．以上都有可能[答案]

B名师讲坛·素养提升柯西不等式柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．柯西不等式的代数形式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．3．柯西不等式的三角不等式利用柯西不等式求最值1．若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为(

)[答案]

B[答案]

A名师点拨：柯西不等式求解最值的策略关键是构建条件与结论之间的联系，通过合理的恒等变形与配凑转化，使之符合柯西不等式的结构，利用柯西不等式来转化所求的代数关系式，联系条件来确定对应的最值问题．[答案]

2提能训练练案[4]A组基础巩固一、单选题1．下列不等式证明过程正确的是(

)[答案]

D2．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(

)[答案]

C[答案]

DA．6 B．12C．2 D．4[答案]

AA．24 B．28C．32 D．36[答案]

D[答案]

AA．2 B．3C．4 D．5[答案]

D[答案]

C二、多选题9．(2026·四川泸州模拟)若a，b∈R，则(

)C．a2＋2b2≥2|ab| D．a2＋b2≥2(a＋b－1)[答案]

ACD10．(2025·山东一模)若正数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(

)[答案]

ABD11．(2026·浙江阶段练习)已知两个正实数a，b满足ab＝2a＋b，则下列不等式一定成立的有(

)A．ab的最小值是8B．ab的最大值是8[答案]

AC[答案]

3[答案]

915．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.[答案]

D2．(2026·重庆南开中学期末)已知m>1，n>1，lgm＝logn100，则mn的最小值为(

)C．