双线性变换法设计数字低通滤波器课程设计综述

目录1设计目的 22设计意义 23题目 24题目描述及要求 25设计思想 25.1巴特沃斯滤波器的设计思想 25.2利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计思想 35.3双线性变换法将模拟滤波器数字化的设计思想 36设计原理 46.1变换原理 46.2双线性变换法设计数字低通滤波器的基本步骤 57设计过程 58MATLAB程序 69运行结果及波形 710总结 810.1遇到的问题 810.2解决方法 810.3心得体会 9参考文献： 9

1设计目的1.1了解双线性变换法的变换原理，用模拟滤波器设计数字滤波器的原理及方法，以及巴特沃斯滤波器的设计原理。1.2掌握用双线性变换法设计数字低通滤波器的方法。1.3熟练使用MATLAB语言进行编程实现双线性变换法设计数字低通滤波器。2设计意义2.1通过课程设计加深对双线性变换法设计数字低通滤波器基本方法的了解。2.2巩固所学的理论知识，提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力，更好地将理论与实践相结合。2.3在设计过程中与组员合作设计，培养了自己与他人合作的能力。3题目：双线性变换法设计数字低通滤波器4题目描述及要求设计低通数字滤波器，要求频率低于0.3πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.4π到π之间的阻帯衰减大于20dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试用双线性变换法设计数字滤波器。5设计思想数字滤波器设计是数字信号处理中一个非常重要的环节,根据其冲激响应函数的时域特性,可分为无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。随着MATLAB软件的不断完善,将其应用于设计数字滤波器不仅可以从繁重的运算与推导过程中解脱出来,而且还可以使设计达到最优化。本文利用巴特沃斯低通模拟滤波器、并基于双线性变换法设计数字低通滤波器的。5.1巴特沃斯滤波器的设计思想：根据给定的滤波器技术指标，设计一个系统函数Ha(s)，希望其幅度平方函数|Ha（j）|2满足给定的指标αp和αs。由于滤波器的单位脉冲响应为实数，因此可将幅度平方函数|Ha（j）|2表示为|Ha（j）|2=Ha（j）Ha*（j）=Ha（j）Ha（-j）=Ha（s）Ha（-s）|s=j式中，Ha（s）是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数，Ha（js）是滤波器的稳态幅度特性。如果能由αp、p、αs和s求出|Ha（j）|2，那么就可求得所需的Ha（s）。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。5.2利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计思想:模拟滤波器的设计理论已经非常成熟，而且有很多性能优良的滤波器课供选择，设计公式和图表完善，所以由模拟滤波器间接设计数字滤波器的方法得到普遍应用。其设计过程如下所示：5.3双线性变换法将模拟滤波器数字化的设计思想：由于双线性变换法中，s到z之间的变换是简单的代数关系，故可以由模拟系统函数通过s=c(1-z-1)/(1+z-1),用代数置换得到数字滤波器的系统函数，即H(z)=Ha（s）|s=c(1-z-1)/(1+z-1)=Ha[c(1-z-1)/(1+z-1)]也可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数（子系统函数相加）或级联的子系统函数（子系统函数相乘），使每个子系统函数都变成低级的（例如一、二阶的），然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。也就是说，分解为低阶的办法是在模拟系统函数上进行的，而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。例如，设模拟系统函数分解为级联子系统，即Ha（s）=Ha1（s）Ha2（s）...Ham（s）经双线性变换后，离散系统函数为H(z)=H1(z)H2(z)...Hm(z)其中Hi(z)=Hai（s）|s=c(1-z-1)/(1+z-1)，i=1,2，...,m如果模拟系统函数分解为并联子系统，即 经双线性变换后，离散系统函数为其中6设计原理用双线性变换法设计数字低通滤波器冲激响应不变法与阶跃响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但是它们的缺点是产生频率响应的混叠失真3，这是由于从s平面到z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法。6.1变换原理双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。为了克服这一缺点，我们首先将s平面压缩成s1平面上一个宽度为2π/T的水平带状区域，然后通过将这个带状区域映射到整个z平面，实现s平面到z平面的单值映射。

图2双线性变换法的映射关系为了将s平面的整个虚轴j变换到s1平面虚轴±π/T之间，可以采用下面的变换关系=tan（1T/2）这样频率从-∞到+∞，也就是s平面的整个虚轴，频率1从-π/T变化到+π/T，可以将上式表示成

延拓到整个s平面和s1平面，令，，则得

再将s1平面映射到z平面，应用，从而实现了s平面到z平面的单值映射。得到：

或上式称为双线性变换。6.2双线性变换法设计数字低通滤波器的基本步骤：（1）确定数字低通滤波器的技术指标：αp、p、αs、s；

（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。

采用双线性变换法，边界频率的转换关系为

p=2/Ttan(ωp/2)s=2/Ttan(ωs/2)（3）按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；

（4）将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。7设计过程双线性变换法设计数字低通滤波器设计低通数字滤波器,要求频率低于0.3rad时,容许幅度误差在1dB以内;在频率0.4到之间的阻带衰减大于20dB.指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器.试用双线性变换法设计数字滤波器.解(1)数字低通技术指标为(2)为了计算简单,取T=1s,预畸变校正计算相应模拟低通的技术指标为(3)设计巴特沃斯低通模拟滤波器.计算如下:8MATLAB程序：%用双线性变换法设计DFT=1;Fs=1/T;%采样周期和频率wpz=0.3;wsz=0.4;wp=2*tan(wpz*pi/2);ws=2*tan(wsz*pi/2);rp=1;rs=20;%预畸变校正转换指标[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s');%设计过渡模拟滤波器[B,A]=butter(N,wc,'s');[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs);%用双线性变换法转换数字滤波器[Nd,wdc]=buttord(wpz,wsz,rp,rs);%调用buttord和butter直接设计数字滤波器[Bdz,Adz]=butter(Nd,wdc);[H,W]=freqz(Bdz,Adz);%绘制频率响应曲线subplot(2,1,1);plot(W/pi,abs(H));grid;xlabel('频率')ylabel('幅度')subplot(2,1,2);plot(W/pi,20*log10(abs(H)));grid;xlabel('频率')ylabel('幅度（dB）')9运行结果及波形A=[1 6.48264417671204 21.0123377609293 44.4541796003337 67.4214594269275 75.8962929011903 63.4132253659068 37.9827535377320 14.8494061391391 2.90269717367978]B=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.90269717367978]Adz=[1 -3.11265601133674 5.23084684435577 -5.60121107461714 4.15152450412538 -2.16541213909137 0.788822960492294 -0.191925890429756 0.0281730364054060 -0.00189226814651994]Bdz=[0.000246621019057279 0.00221958917151551 0.00887835668606204 0.0207161656008114 0.0310742484012172 0.0310742484012172 0.0207161656008114 0.00887835668606204 0.00221958917151551 0.000246621019057279]Az=[1 -3.11265601133673 5.23084684435575 -5.60121107461711 4.15152450412535 -2.16541213909135 0.788822960492287 -0.191925890429754 0.0281730364054056 -0.00189226814651986]Bz=[0.000246621019057258 0.00221958917151710 0.00887835668605952 0.0207161656008088 0.0310742484012243 0.0310742484012092 0.0207161656008182 0.00887835668605799 0.00221958917151731 0.000246621019056830]Fs=1,N=9,Nd=9,T=1,ans=1,rp=1,rs=20,wc=1.1257,wdc=0.3264,wp=1.0191,wpz=0.3000,ws=1.4531,wsz=0.4000.所设计的模拟和数字低通滤波器的幅频特性图如图所示。图3设计的模拟和数字滤波器幅频特性10总结10.1遇到的问题：（1）第一次做课程设计，感觉无从下手。(2)上课时对双线性变化法原理等一些理论知识没弄明白，导致课程设计不知怎么做。（3）由于对Word2003不是很熟，设计过程中遇到一些公式不知怎么编辑。（4）用MATLAB编程时，由于对一些调用函数不熟，编了好长时间还没画出其幅频特性。（5）运行MATLAB时，只出来波形，没运行结果。10.2解决方法：到图书馆去借有关课程设计和本设计题目相关的书籍，并在网上查一些相关的资料。先把课本上的一些相关知识看一遍，然后通过借来的书弄懂其相关理论知识。慢慢摸索Word的一些功能，并向别人请教。对课本上的一些常用调用函数复习一遍，然后对照借来的书上模仿其程序。只好自己把运行结果打出来。10.3心得体会：通过近两周的课程设计，不仅使我更加熟悉Matlab软件的应用，而且对数字信号处理中用双线性变化法设计数字低通滤波器进行了一次系统的复习和深入的探究；使我加深了对课堂抽象概念的理解，巩固了课堂上所学的理论知识，理解和掌握了数字信号处理中的基本概念、基本原理和基本分析方法，并能把课上学到的理论知识运用到实际上去。在