学工部讲座2向量组的线性相关性

设Amn12,,n,则如下条件彼此等价存在不全为0的数k1k2knk11k22knn

齐次方程组AX0有非零解秩R(Anmn时

A不可逆k1,kn使得

k11knnk11knn涉及“线性相关”的重要结论Amn1,n则如下条件彼此等价1,n线性无关即k11knn0k1kn齐次方程组AX0只有零解秩R(Anmn

A0A可逆 k11knnk1kn AX=0只有零解涉及“线性无关”的重要结论

0 0

1

0,1,1,1,c,c,c,

1 2 3 4 A1,2,C1,3,

B1,2,D2,3,

例

0 0

1

0,1,1,1,c,c,c,

1 2 3 4 A1,2,

B1,2,C1,3,C1,3,令c1c2c3c4 1 2 1 1 0

1

0 0

1

0,1,1,1,c,c,c,

1 2 3 4 A1,2,C1,3,

B1,2,D2,3, A 1 B

C

Dc3

0 0

1

0,1,1,1,c,c,c,

c c

c

c1 2

3

4 ,,, 1

c

cc

4 4 显然134列线性相关

c3c 4例2.n1,2,,s3s

使k11kss A1,2,3k12线性相关B1,2,3k12线性无关C1,2,31k2线性相关D1,2,31k2设I1rII1s线性表出则r

r例1.设向量组,线性无关 A必可由,,B必不可由,,C必可由,D必不可由,,分析:,线性无关,可由线性表出可由,例1.设向量组,线性无关 A必可由,,B必不可由,,C必可由,D必不可由,,特殊值:1

0 0

0 令0,1 0 0 1

2 0

例已知1,2,3,4是3维非零向量,如下命题中错误的是 D若R11223R4142434已知1,2,3,4是 若123

123是R

4可由1,2,3线性表 1122322,43已知1,2,3,4是

R1,2R1,2,3 R2,3R2,3,4 R2,3

R,2

!

R

23 1可以由234线性表出D若R11223R4142434

1 ,, ,,

R1,R1,12,23R1,2,30 04,14,24,344,1,2,3

01

0 0 R1,2,3R4,1,2,3

可由

,已知12已知1234是 A若向量组I线性无关则rsB若向量组I线性相关则rsC若向量组II线性无关则rsD若向量组II线性相关则rs已知I:1,2 II:1,2,,s

1c111c212cs12c121c222cs2s

csrs,,,,,,

cc c

s s

c12c,,,,,,

c22 s cs

RARB1

b1n

1

2

2n

2

m

nA的行组可由C的行组线性表出RARC组III等价则

RIRIIRIRIIA,B等价A,B

A 0,B 0 A,I等价C,s.tCAAI的行向量组等价1,2,,s1,2,,r1R1,2,,sRC2rs 1,2,,

0C证:1,2,,s1,2,,rCrs A

RBRCRAnrrDrn,s.t.DArB

DBDACRBRC

A12,23,3 B12,23,3

0

0

A12,23,3 B12,23,3 特殊值法:令0, 1, 0 问题转化为:判断4个具体向量组的线性无关问题,例2.设向量组αβγ与数klmkαlβmγ0km

,则 A与,C,与,等价

B与,D与 klm0

1lmk,线性表出km0

kl 可由与例3.设1,2,3是3维向量则对任意常数kl1k3,

(C)分析

0 k,l, 0

lR 12R1k3, l3

,

例3.设1,2,3是3维向量则对任意常数kl1k3,

(A)(A) 分析:设1k32l3线性无关,k1 0 0 01 0 0 0 此时12,3线性相关例4.设矩阵ABC都是n阶矩阵若ABC且B可逆 分析

AB=

AA的列组可由C例5.设且分析

证明矩阵BAA4可逆 6A7B,A,A4,A,6A7A2 0 7

B例5.12,,ss3线性无关11t2,22t3,,s1s1ts,ss线性相关st满足的条件

t 解 1,2,,s1,2,,s

10,为偶且t1C1

1s1t

0,为奇且t 012,sC为偶且t1为奇且tAX0有非零解R(A)<n OAb1,,bs0,,R(A)+R(B)≤n分析 AmnBnsORARBAB0RAmnRBns 3例2.设A

3,如果3阶矩阵B满足AB=O c 分析 RA1

B*O,A2015RB ABORARB3 B*ORB RB RARB3RARA1bb33c231例2.设A44

O,A2015RA1A

3 12,1,3T462 462

92014T 392014 92014

3 6 例3.设A,A*都是3阶非零矩阵且AA* 则A*X

AA*ORARA* RA RA*

1,RA0,RA

RA*AO,A*O

RA,RA*13RA*2A*X02解向例

RBmnnAnm, ABRRBmnn PQPBQIn OI,O PBQI,O

In

nmO In,O

PB QI,O PB AQIn,OP, ABRRBmnmCnm, BC例

AnmBmnInRARB两矩阵乘积是单位阵则:矩阵的秩单位阵的阶数

nRInminRA,AnmBmnInRAAnmBmnInRAnmn,RBmnnRARB例3.设A为mn矩阵B为nm矩阵ABI ARAm,RBBRAm,RBCRAn,RBDRAn,RB1,rXrs1sRARA,BRARA,BRB 1例1.设23a23

2

a 1 ,,,, a

a a

3 a a a22a a a 不可由a

2a30且2a5

a1例2.设1 2 2I:1,a 1;II:1, a, a

A1,2,3,1,2,3

21

a

a2

a2 a a

1a2a 3a2 II不可由I线性表出R1,2,3 a1or a2A

0不合题意 a a 例3.设AB都是n阶方阵PQ是n阶可逆矩阵

BAQ 1,,n1,,n1,,n1,,n 例3.设AB都是n阶方阵PQ是n阶可逆矩阵

令A 0,B

于是A,B同秩 同型矩阵A,B等 可由向量组1,2,,线性表出st若AX0与BX=0同解则A与B的行向量组等价

1

II:2,3 II:D12,1,2, (C若AX0与BX=0同解则A与B的行向量组等价

AX0与BX=0AX0,BX

AB B

X0BRARBRB 例5.1,0,1T

,3不能由向量组11,1,121,2,33,4,a3 不是R3 R1,2,3 0

4

a

a1

1, ,4,a 0

a2

,

R1,2,3,4 ,,,

a a

a a

1a

1a1a2a16a00例1设11,0,2,3,21,13,5,31,1,a41,2,4,a8,1,1,bab为何值时不能表示为12,3,4的线性组合?

1 1AT,T,T,T,

a b a 0 a1且b0时:不能表示为12,3,4的线性组合(2ab为何值时惟一表示为12,3,4的线性组合111120a011A b0 a 0

a1时

2ba1 A

1ba

ba1 2b1a1ba12ba3 例2.abc, 2 2 2 3 3 3 a1xb1yc1 a2xb2yc2a3xb3yc3

a2

0i1,2,3 CR1,2,3R1,2例3.设矩阵

c1 c秩为3则如下两条直线 2 c 312l:xa3yb3z l:xa1yb1z12a1 b1 c1 a2 b2 c2(A(B重合(C(D(A 令

c a 2 a c3

1 l:x

yz l:x1y