理学8高等数学详解各类知识点

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求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第2页/共191页步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积第3页/共191页２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量第4页/共191页二、二重积分的概念第5页/共191页积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素第6页/共191页对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．第7页/共191页

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为第8页/共191页性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质第9页/共191页性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有第10页/共191页性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）第11页/共191页解第12页/共191页解第13页/共191页解第14页/共191页解第15页/共191页二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结第16页/共191页思考题

将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.第17页/共191页

定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答第18页/共191页练习题第19页/共191页第20页/共191页第21页/共191页练习题答案第22页/共191页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第23页/共191页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第24页/共191页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第25页/共191页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第26页/共191页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第27页/共191页

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第28页/共191页如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］第29页/共191页应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得第30页/共191页如果积分区域为：［Y－型］第31页/共191页

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第32页/共191页解积分区域如图第33页/共191页解积分区域如图第34页/共191页解原式第35页/共191页解第36页/共191页解第37页/共191页解第38页/共191页解曲面围成的立体如图.第39页/共191页第40页/共191页二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］第41页/共191页思考题第42页/共191页思考题解答第43页/共191页第44页/共191页练习题第45页/共191页第46页/共191页第47页/共191页第48页/共191页练习题答案第49页/共191页第50页/共191页

一、二重积分的换元法第51页/共191页第52页/共191页例1解第53页/共191页第54页/共191页例2解第55页/共191页第56页/共191页

二、小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．第57页/共191页思考题第58页/共191页思考题解答第59页/共191页第60页/共191页练习题第61页/共191页练习题答案第62页/共191页一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.

若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为第63页/共191页二、曲面的面积卫星第64页/共191页１．设曲面的方程为：如图，第65页/共191页曲面S的面积元素曲面面积公式为：第66页/共191页３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得第67页/共191页解第68页/共191页第69页/共191页解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为第70页/共191页第71页/共191页三、平面薄片的重心第72页/共191页当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法第73页/共191页解第74页/共191页第75页/共191页四、平面薄片的转动惯量第76页/共191页薄片对于

轴的转动惯量薄片对于

轴的转动惯量第77页/共191页解第78页/共191页第79页/共191页解第80页/共191页第81页/共191页薄片对

轴上单位质点的引力为引力常数五、平面薄片对质点的引力第82页/共191页解由积分区域的对称性知第83页/共191页所求引力为第84页/共191页几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结第85页/共191页思考题第86页/共191页薄片关于轴对称思考题解答第87页/共191页练习题第88页/共191页第89页/共191页练习题答案第90页/共191页一、三重积分的定义第91页/共191页第92页/共191页直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二、三重积分的计算如图，第93页/共191页得第94页/共191页注意第95页/共191页解第96页/共191页第97页/共191页解如图，第98页/共191页解第99页/共191页第100页/共191页第101页/共191页第102页/共191页第103页/共191页解第104页/共191页原式第105页/共191页解如图,第106页/共191页第107页/共191页三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结第108页/共191页思考题选择题:第109页/共191页第110页/共191页练习题第111页/共191页第112页/共191页第113页/共191页练习题答案第114页/共191页第115页/共191页一、利用柱面坐标计算三重积分规定：第116页/共191页

柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．第117页/共191页如图，柱面坐标系中的体积元素为第118页/共191页解知交线为第119页/共191页第120页/共191页解所围成的立体如图，第121页/共191页所围成立体的投影区域如图，第122页/共191页第123页/共191页二、利用球面坐标计算三重积分第124页/共191页规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．第125页/共191页球面坐标与直角坐标的关系为如图，第126页/共191页球面坐标系中的体积元素为如图，第127页/共191页第128页/共191页第129页/共191页第130页/共191页解第131页/共191页第132页/共191页补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．第133页/共191页解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,第134页/共191页解第135页/共191页第136页/共191页第137页/共191页（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标三、小结第138页/共191页思考题第139页/共191页练习题第140页/共191页第141页/共191页第142页/共191页第143页/共191页练习题答案第144页/共191页第145页/共191页第八章习题课第146页/共191页定义几何意义性质计算法应用二重积分定义几何意义性质计算法应用三重积分一、主要内容第147页/共191页1、二重积分的定义第148页/共191页２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．第149页/共191页性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质第150页/共191页性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地第151页/共191页性质６性质７（二重积分中值定理）第152页/共191页４、二重积分的计算［X－型］

X-型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下第153页/共191页

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］第154页/共191页（２）极坐标系下第155页/共191页第156页/共191页5、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积第157页/共191页当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心第158页/共191页薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量(4)转动惯量第159页/共191页薄片对

轴上单位质点的引力为引力常数(5)引力第160页/共191页6、三重积分的定义第161页/共191页7、三重积分的几何意义8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．第162页/共191页9、三重积分的计算(１)直角坐标第163页/共191页(２)柱面坐标第164页/共191页(３)