理论力学刚体的平面运动

理论力学刚体的平面运动第1页/共116页§4–2平面运动的速度分析§4–1刚体平面运动的简化与分解§4–3平面运动的加速度分析§4–4刚体转动的合成第四章

刚体的平面运动运动学目录第四章刚体的平面运动第2页/共116页刚体平面运动的分解

刚体平面运动简化

刚体平面运动方程§4–1刚体平面运动

简化与分解第3页/共116页

刚体平面运动实例

刚体的平面运动—刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。§4–1

刚体平面运动简化与分解1.

刚体平面运动简化第4页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动实例

刚体平面运动实例

刚体的平面运动—刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。第5页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动实例

刚体平面运动实例

刚体的平面运动—刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。第6页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动实例

刚体平面运动实例

刚体的平面运动—刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。第7页/共116页(1)刚体平面运动特点

刚体上所有各点均在平行于某固定平面的平面内运动。§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动简化第8页/共116页

平面图形——刚体平行于某固定平面作平面运动，以平行于该固定平面的另一平面截割这刚体，得一截面S，称为平面图形。平面图形(2)刚体平面运动简化§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动简化第9页/共116页

刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。平面运动简化§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动简化第10页/共116页刚体平面运动简化实例§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动简化

刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。第11页/共116页

平面图形S

的位置可用其上任一线段如AB

来确定，而线段AB的位置又可用A

点的坐标xA

、yA

和线段AB与x

轴的夹角φ

来确定。

点A称为基点。

平面图形位置的确定§4–1

刚体平面运动简化与分解2.

刚体平面运动方程第12页/共116页

刚体平面运动方程§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动方程

当平面图形S

运动时，坐标

xA

、yA

和夹角

φ

一般都是随时间

t

而变化的，分别为时间

t

的单值连续函数，即这就是平面图形S

的运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程。第13页/共116页

例4-1

已知曲柄－滑块机构中OA=r,AB=l，曲柄OA以等角速度ω绕O轴转动。求（1）连杆的平面运动方程；（2）连杆上P点(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。

(xP,yP)xyOAPBl§4–1

刚体平面运动简化与分解例题4-1例题4-1第14页/共116页解：由图中的几何关系，有(1)

连杆的平面运动方程(xP,yP)xyOAPBl§4–1

刚体平面运动简化与分解例题4-1第15页/共116页连杆的平面运动方程为(2)

连杆上P点的运动方程(xP,yP)xyOAPBl§4–1

刚体平面运动简化与分解例题4-1第16页/共116页应用泰勒公式，忽略4次方以上的项，有§4–1

刚体平面运动简化与分解例题4-1所以得连杆的平面运动方程为第17页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解例题4-1第18页/共116页(3)

连杆上P点的速度与加速度速度加速度§4–1

刚体平面运动简化与分解例题4-1连杆的平面运动方程为第19页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解3.刚体平面运动的分解

在左面的图中，如果平面图形S

上的A点固定不动，则刚体将作定轴转动。

又若在左面的图中，如果平面图形

S

上的φ

角保持不变，则刚体作平移。故由此可知刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。第20页/共116页平面运动平移(牵连运动)转动(相对运动)

刚体的平面运动可分解为随同基点的平移和相对基点的转动。§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解第21页/共116页

刚体的平面运动可分解为随同基点的平移和相对基点的转动。§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解第22页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解3.平面运动分解刚体平面运动的分解演示第23页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解刚体平面运动的分解演示第24页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解刚体平面运动的分解演示第25页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解刚体平面运动的分解演示第26页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解特别强调

1.刚体的平面运动分解成随基点的平移和相对于基点的转动时，基点的选择是任意的。平移的轨迹、各点的速度和加速度都与基点的位置有关。转动的角速度和角加速度都与基点的位置无关。注意上面二条的含义是指

2.刚体的平面运动分解成平动和转动时，其平动部分与基点的选择有关；而转动部分与基点的选择无关。第27页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解

刚体的平面运动分解成平移和转动时，其平移部分与基点的选择有关；而转动部分与基点的选择无关。即平移的轨迹、各点的速度和加速度都与基点的位置有关。而转动的角速度和角加速度都与基点的位置无关。证明1、以为A

基点分解2、以B为基点分解1.证明平移部分与基点的选择有关。第28页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解

刚体的平面运动分解成平移和转动时，其平移部分与基点的选择有关；而转动部分与基点的选择无关。即平移的轨迹、各点的速度和加速度都与基点的位置有关。而转动的角速度和角加速度都与基点的位置无关。2.证明转动部分与基点的选择无关

设在平面图形上任选二点O1、O2为基点，图形相对于O1和O2二点的转角分别为

φ

1和φ

2，则有而故求导可得第29页/共116页§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解

由上式

由此可见，平面图形（也即平面运动刚体）在相对转动中的角速度和角加速度对不同基点是相同的，从而证得转动部分与基点的选择无关。第30页/共116页

因为平移系(动系)相对定参考系没有方位的变化，平面图形的角速度和角加速度既是平面图形相对于平移系的相对角速度和角加速度，也是平面图形相对于定参考系的绝对角速度和角加速度。§4–1

刚体平面运动简化与分解平面运动分解注意第31页/共116页

基点法速度投影法速度瞬心法§4–2

平面运动的速度分析第32页/共116页yxOS§4–2

平面运动的速度分析y´x´vBAvAvABAω1.

基点法

设在平面运动刚体上取点A为基点，已知其速度为

vA，平面图形S也即平面运动刚体的角速度为

ω

，分析图形上任一点B

的速度。将B点的运动视为复合运动。

绝对运动

－未知。

相对运动－绕基点A的圆周运动。

vr=vBA=AB·ω

牵连运动－随基点A的平动，

ve=

vA。动点－B点。定系－固连于地球。动系－以A点为原点的平移系

Ax´y´。vA第33页/共116页§4–2

平面运动的速度分析定系－Oxy基点－A平移系－Ax´y´平面图形－S平面图形的角速度－ω基点速度－

vA速度合成定理－va=ve+vryxOSy´x´vBAvAvABAω点B绕点A转动的速度－vBA1.

基点法第34页/共116页

基点法

平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。yxOSy´x´vBAvAvABAω§4–2

平面运动的速度分析vBva=vB，ve=vA，vr=vAB

vB=vA+vBA根据速度合成定理注意到则有有结论：第35页/共116页应用速度合成定理vB=vA+vBA上式等号两侧分别向AB连线上投影，因为vBA垂直于AB，所以vBA在AB上投影等于零。

速度投影定理：平面图形上任意两点的速在这两点连线上的投影相等。则有SωBvAvAvBAvBA§4–2

平面运动的速度分析速度投影法2.

速度投影法第36页/共116页

例4-2已知曲柄滑块机构中，曲柄OA＝r，以匀角速度

ω0绕O轴转动，连杆AB＝l。在图示情形下连杆与曲柄垂直。求该瞬时(1)滑块的速度vB；(2)连杆AB的角速度ωAB。BAω0Oφ0§4–2

平面运动的速度分析例题4-2例题4-2第37页/共116页BAω0Oφ0画出速度合成矢量图。vAvABvB基点法vA解：§4–2

平面运动的速度分析例题4-2连杆AB作平面运动。A

点速度

vA已知，

vA=rω0以A为基点。应用速度合成定理vB=vA+vBA第38页/共116页运动演示§4–2

平面运动的速度分析例题4-2第39页/共116页(1)求该瞬时滑块的速度vB由速度合成矢量图可得滑块的速度：BAω0Oφ0vAvABvBvAφ0§4–2

平面运动的速度分析例题4-2方向铅直向上。第40页/共116页(2)求该瞬时连杆AB的角速度ωAB§4–2

平面运动的速度分析例题4-2BAω0Oφ0vAvABvBvAφ0顺时针转向。第41页/共116页速度投影法解：应用速度投影定理vA=rω0，＝0，＝φ0BAω0Oφ0φ0vBvA§4–2

平面运动的速度分析例题4-2有因为从而有应用速度投影定理无法求得连杆AB的角速度。第42页/共116页

例4-3如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是ω1

，杆O2B的角速度是ω2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC和O2B水平，而杆BC对铅直线的偏角30°；又O2B=b，O1A=b。试求在这瞬时C点的速度。O1AO2BCω1ω2xy§4–2

平面运动的速度分析例题4-3例题4-3第43页/共116页运动演示§4–2

平面运动的速度分析例题4-3第44页/共116页O1AO2BCω1ω2xy先求出A点和B点的速度。有vAvBvA

和vB

的方向如图。以A点为基点分析C点的速度，有另外，又以B作为基点分析C点的速度，有比较以上两式，有vAvCAvC（1）（2）vCBvB§4–2

平面运动的速度分析例题4-3连杆AC和BC均作平面运动。解：第45页/共116页沿x轴投影上式，得方向如图把式分别投影到x，y轴上，有O1AO2BCω1ω2xyvAvBvAvCAvCvCBvB§4–2

平面运动的速度分析例题4-3由此求得第46页/共116页于是得O1AO2BCω1ω2xyvAvBvAvCAvCvCBvB§4–2

平面运动的速度分析例题4-3第47页/共116页

例4-4如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，已知轮心O以匀速vO前进。求轮缘上A，B，C和D各点的速度。CABDOvO§4–2

平面运动的速度分析

例题4-4例题4-4第48页/共116页

注意，为求车轮的角速度ω

，可利用车轮作无滑动的滚动时它与地面的接触点C的速度为零这一条件，即应用速度合成定理，轮缘上C点的速度可表示为

CABDOvO解：因为轮心O的速度已知，故选O点为基点。vOvCOvC=0ω其中vCO的方向已知，其大小vCO=R

ω

。因此车轮的角速度（顺时针）§4–2

平面运动的速度分析

例题4-4车轮作平面运动。用基点法分析求解。或第49页/共116页CABDOvOvOvCOvC=0ω求得ω之后，应用基点法，各点的速度就很容易求得如下：

vOvAOvAvOvBOvBvOvDOvDA点：B点：D点：§4–2

平面运动的速度分析

例题4-4vAO=R

ω=vOvBO=R

ω=vO,vDO=R

ω=vO,

车轮的角速度（顺时针）第50页/共116页

例4-8

图示一连杆机构，曲柄AB和圆盘CD分别绕固定轴A和D转动。BCE为三角形构件，B，C为销钉连接。设圆盘以匀速n0=40r﹒min－1顺时针转向转动，尺寸如图。试求图示位置时曲柄AB的角速度ωAB和构件BCE上点E的速度vE。ADCBEω0φ120501005060§4–2

平面运动的速度分析

例题4-8例题4-8第51页/共116页运动演示§4–2

平面运动的速度分析

例题4-8第52页/共116页ADCBEω0φ120501005060ωABvCvB根据已知数据，得到：

故曲柄AB的角速度解：C点速度已知，，B点速度垂直于曲柄AB。根据速度投影定理得（1）求曲柄AB的角速度ωAB

。§4–2

平面运动的速度分析

例题4-8构件BCE

作平面运动。（顺时针）第53页/共116页ADCBEω0φ120501005060ωABvBvC

由于构件BCE上C点的速度vC垂直于CE，根据速度投影定理可知E点的速度vE也应垂直于CE。应用速度投影定理，

vB与vE在BE连线上的投影相等，即式中

所以E点的速度vEαα（2）求E点的速度。§4–2

平面运动的速度分析

例题4-8（水平向右）第54页/共116页§4–2

平面运动的速度分析3.瞬心法S设已知平面图形S上某点A的速度vA

，平面图形的角速度

ω

。（1）瞬心的定义——

某瞬时平面运动刚体上速度为零的点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。（2）瞬心的存在ωAPvA请思考速度为零的点可能在哪出现？答：速度为零的点可能出现在

vA

的垂直线

AP上。第55页/共116页ASωvAPvAvACvCv§4–2

平面运动的速度分析速度瞬心法

过A点作vA的垂直线PA，PA上各点的速度由两部分组成：․跟随基点平移的速度vA——牵连速度，各点相同；

․相对于基点转动的速度vPA——相对速度，自A点起线性分布。（2）瞬心的存在速度为零的点可能出现在vA的垂直线AP上。

因为PA线上各点相对于基点转动的速度与A点的速度方向相反，其大小正比于该点到A点的距离，故必有一点Cv

的速度满足由此求得速度为零的点Cv即为该瞬时平面图形的速度瞬心。第56页/共116页ASωvAPvAvACvCv§4–2

平面运动的速度分析速度瞬心法（2）瞬心的存在

若平面图形的角速度不等于零，则在每一瞬时，该图形上（或其延展部分）总有一速度为零的点，即速度瞬心。有结论：第57页/共116页（3）速度瞬心法SCvωvAACvCvBB速度瞬心法§4–2

平面运动的速度分析①求出速度瞬心Cv的位置和平面图形的角速度

ω

，就可求得平面运动刚体上所有点的速度，这种方法称为速度瞬心法。

若在某瞬时以速度瞬心Cv为基点，则平面图形上任一点M的速度大小其方向⊥MCv，指向与ω转向一致。②

平面图形上各点的速度分布，与图形在该瞬时以角速度

ω绕速度瞬心Cv作定轴转动时一样。第58页/共116页

根据速度合成定理，平面图形上任意点(例如B点)为vB=vA+vBA其中

vA＝vCv＝0，vBA＝vBCvvB＝vBCv＝ω

·BCv

应用瞬时速度中心以及平面图形在某一瞬时绕速度瞬心作瞬时转动的概念，确定平面图形上各点在这一瞬时速度的方法，称为速度瞬心法。§4–2平面运动的速度分析速度瞬心法vBSCvvAωBACvC

图形内各点的速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比，其方向垂直于该点与速度瞬心的连线，指向转动前进的一方。第59页/共116页第一种情形（4）

速度瞬心位置的确定§4–2

平面运动的速度分析速度瞬心法

已知某瞬时平面图形上A，B两点的速度方位，则这两点速度的垂线的交点就是速度瞬心。第60页/共116页第二种情形§4–2

平面运动的速度分析瞬心位置确定

①

已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。则速度瞬心在无穷远处。

此时平面运动刚体的角速度

该瞬时各点速度均平行，且大小相等，其分布与平移时速度一样，这种情形称为瞬时移动。第61页/共116页第二种情形ABvAvB§4–2

平面运动的速度分析瞬心位置确定

②已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同、大小相等，都垂直于两点的连线，则速度瞬心仍在无穷远处。

此时平面运动刚体的角速度

该瞬时平面运动刚体仍处于瞬时平移状态。第62页/共116页第三种情形§4–2

平面运动的速度分析瞬心位置确定

已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。则速度瞬心在两点速度矢端连线与AB延长线的交点处。第63页/共116页第四种情形§4–2

平面运动的速度分析瞬心位置确定

当平面运动刚体在一固定平面上作纯滚动时，其接触点即为速度瞬心。第64页/共116页

瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有加速度。（5）速度瞬心的特点§4–2

平面运动的速度分析速度瞬心特点第65页/共116页

唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心；

瞬时转动特性：平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。注意瞬时平移与平移的区别：瞬时平移各点的速度相同，但是加速度不同。§4–2

平面运动的速度分析速度瞬心特点第66页/共116页已知四连杆机构中，。OA以角速度ω0绕O轴转动。求（1）B和D点的速度；（2）AB杆的角速度。45o90o90oω0O1OBAD§4–2

平面运动的速度分析

例题4-5例4-5例题4-5第67页/共116页

作vA和vB的垂线，相交于Cv，此即杆AB的速度瞬心。45o90o90oω0O1OBADCvvAvBωAB

解：机构中杆AB作平面运动，杆OA和O1B都作定轴转动。图中的几何关系：§4–2

平面运动的速度分析

例题4-5A，B二点的速度vA和vB的方向都可以确定。第68页/共116页（1）求B和D点的速度。§4–2

平面运动的速度分析

例题4-5因为A点的速度所以，连杆AB

的角速度顺时针转向

B点的速度45o90o90oω0O1OBADCvvAvBωAB第69页/共116页vD45o90o90oω0O1OBADCvvAvBωAB§4–2

平面运动的速度分析

例题4-5连杆AB

的角速度

D点的速度第70页/共116页

例4-4如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，已知轮心O以匀速vO前进。求轮缘上A，B，C和D各点的速度。（用瞬心法求解）

CABDOvO§4–2

平面运动的速度分析

例题4-4例题4-4第71页/共116页CABDOxyvOω利用已知速度vO，可求得车轮的角速度为此ω与以O点为基点求出的角速度ω完全相同，说明图形的角速度与基点选择无关。

车轮上点B的速度垂直于连线CB，大小为vB同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果与前面基点法所求结果相同。解:（顺时针）§4–2

平面运动的速度分析

例题4-4车轮作平面运动。用瞬心法分析求解。因为车轮滚而不滑，所以其速度瞬心在与地面相接触的C点处。第72页/共116页

例4-6如图所示，节圆半径为r的行星齿轮II由曲柄OA带动在节圆半径为R的固定齿轮I上作无滑动的滚动。已知曲柄OA以匀角速度ωO转动。求在图示位置时，齿轮II节圆上M1，M2，M3和M4各点的速度。图中线段M3M4垂直于线段M1M2。ωOOAM2M4M1ωM3CRrⅡⅠ§4–2

平面运动的速度分析

例题4-6例题4-6第73页/共116页ωOOAM2M4M1ωM3CRrⅡⅠ

行星齿轮II作平面运动。因为行星轮II滚而不滑，所以其速度瞬心在二轮接触点C处，利用瞬心法进行求解。为此先求轮II的角速度。解：所以轮II上M1，M2，M3和M4各点的速度分别为：

各点的速度方向如图所示。

v2v3v4因为A点的速度因此轮II的角速度（逆时针）vA§4–2

平面运动的速度分析

例题4-6第74页/共116页

例4-7在双滑块摇杆机构中，滑块A和B可沿水平导槽滑动，摇杆OC可绕定轴O转动，连杆CA和CB可在图示平面内运动，且CB=l。当机构处于图所示位置时，已知滑块A的速度vA，试求该瞬时滑块B的速度vB以及连杆CB的角速度ωCB。试用速度瞬心法求解。

OABCvA§4–2

平面运动的速度分析

例题4-7例题4-7第75页/共116页OABC解：由图可知，P1A=P1C，所以P1vAvCP2vB§4–2

平面运动的速度分析

例题4-7连杆AC和BC均作平面运动。对于连杆AC：其速度瞬心在点A和C速度vA和vC垂线的交点P1。对于连杆BC：其速度瞬心在点B和C速度vB和vC垂线的交点P2。因为故得连杆CB角速度于是滑块B速度的大小为（水平向右）

（逆时针）第76页/共116页加速度合成定理§4–3

平面运动的加速度分析第77页/共116页§4–3

平面运动的加速度分析加速度合成定理

设在平面运动刚体上取点A为基点，已知其速度为aA，平面图形S也即平面运动刚体的角速度为ω，角加速度为。分析图形上任一点B

的加速度。将B点的运动视为复合运动。动系－以A点为原点的平移系

。

绝对运动－未知。

相对运动－绕基点A的圆周运动。

牵连运动－随基点A的平移。ae=

aA动点－B点。定系－固连于地球。相对切向加速度

相对法向加速度

SBAωaAatBAanBAaA第78页/共116页§4–3

平面运动的加速度分析将B点的运动视为复合运动。动系－以A点为原点的平移系

。

绝对运动－未知。

相对运动－绕基点A的圆周运动。

牵连运动－随基点A的平移。ae=

aA动点－B点。定系－固连于地球。相对切向加速度

相对法向加速度

SBAωaAatBAanBAaA由点的加速度合成定理有此即用基点法求点的加速度的基本公式。第79页/共116页SA点的绝对运动轨迹B点的绝对运动轨迹BAy´x´ωaAaBBAaAaABAωatBAanBAaBA§4–3

平面运动的加速度分析aBAaABAωatBAanBAaB第80页/共116页

平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与这一点对于以基点为坐标原点的平移系的相对切向加速度和法向加速度的矢量和。§4–3

平面运动的加速度分析此即用基点法求点的加速度的基本公式。有结论：第81页/共116页

例4-9曲柄－滑块机构，OA＝r，AB＝l，曲柄以匀角速度ω0绕O轴转动。求：图示瞬时，滑块B的加速度aB和连杆AB的角加速度

AB。ω090o30oOBA§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-9例题4-9第82页/共116页ω090o30oOBAvAvB解：§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-9

应用速度分析的多种方法可求得连杆AB的角速度ωAB，此处视为已知。连杆AB作平面运动。1.速度分析第83页/共116页ω090o30oOBAaB2

加速度分析aAaAanBAatBAA点的加速度:§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-9选点A为基点，则滑块B的加速度其中，连杆的角加速度αAB尚属未知。暂时假定αAB沿逆钟向，故如图所示。各加速度如图所示。

滑块B的加速度aB的方向为水平并假定向左，大小待求。第84页/共116页ω090o30oOBAaBaAaAanBAatBA§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-92.加速度分析其中，分别沿BA和⊥AB的方向投影上式，得由此求得滑块B的加速度连杆AB的角加速度（逆时针）第85页/共116页

例4-10如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆O1O=l，以匀角速度ω1绕O1轴转动。大齿轮Ⅱ固定，行星轮Ⅰ半径为r，在轮Ⅱ上只滚不滑。设A和B是轮缘上的两点，A点在O1O的延长线上，而B点则在垂直于O1O的半径上。试求点A和B的加速度。§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-10ω1ⅠⅡO1OABC例题4-10第86页/共116页ω1ⅠⅡO1OABC

轮Ⅰ作平面运动，其中心O的速度和加速度分别为：轮Ⅰ的速度瞬心在C点，则轮Ⅰ的角速度aO

因为ω1和ω都为常量，所以轮Ⅰ的角加速度为零，则有解：voω§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-10（顺时针）第87页/共116页各加速度的大小为ω1ⅠⅡO1OABCaOaO所以由图可知A点的加速度的方向沿AO，它的大小为ω§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-10(1)求A点的加速度。选O为基点，应用加速度合成定理轮Ⅰ的角速度角加速度方向如图。第88页/共116页ω1ⅠⅡO1OABCaOω所以B点的加速度大小为它与半径OB间的夹角为(2)

求B点的加速度。aO选O为基点，应用加速度合成定理其中§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-10方向如图。第89页/共116页

例4-11如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀角速度ω绕O轴转动，OD=AD=BD=l，求当时，规尺AB的角加速度和A点的加速度。

yOBAxωφD§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-11例题4-11第90页/共116页运动演示§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-11第91页/共116页yOBAxωφD

曲柄OD绕O轴转动，规尺AB作平面运动。AB上的D点加速度，设规尺AB的角速度为ωAB

，可由基点法或瞬心法求得aD解：其中的大小，方向沿AB。atAD大小未知，垂直于AD，其方向暂设如图。因为A点作直线运动，可设aA的方向如图所示。取AB上的D点为基点，A点的加速度aDaA则§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-11第92页/共116页yOBAxωφDaDaDaA将上式在y'

轴上投影，得由上式解得y'x'规尺AB角加速度由于aA为负值，故aA的实际方向与原假设的方向相反。对式§4–3

平面运动的加速度分析

例题4-11将上式在x'轴上投影，得第93页/共116页§4–4

刚体绕平行轴转动的合成刚体绕两个平行轴转动的分解同向转动的合成反向转动的合成第94页/共116页§4–4

刚体绕平行轴转动的合成

平面运动除了可以分解为平移与转动外，在某些情况下也可看作是绕两个平行轴转动的复合运动。第95页/共116页

以右图行星轮系作为引例说明，不难看出在运动过程中，图中齿轮Ⅱ上的点A作圆周运动，此时如将动系Ox'y'固连于曲柄OA，则齿轮的平面运动可以分解为绕两个平行轴的转动：ω0ⅠOxAyCx'y'

当平面运动刚体内有一个点作圆周运动时，则该平面运动可以分解为绕平行轴的两个转动。

反之，绕某轴转动的刚体，若转轴本身同时又绕另一与之平行的轴转动，则这刚体的合成运动就是具有上述特征的平面运动。

(1)齿轮Ⅱ随同曲柄OA一起绕垂直于轮面的固定轴O的转动，这是牵连运动；

（2）齿轮Ⅱ相对于曲柄绕自身中心轴A的转动，则是相对运动。§4–4

刚体绕平行轴转动的合成1.刚体绕两个平行轴转动的分解Ⅱ

有结论：第96页/共116页

假定已知相对转动和牵连转动的转轴位置及其角速度的大小和方向，求刚体合成运动（绝对运动）的转轴位置及其角速度的大小和方向。

用ωr，ωe和ωa分别代表刚体的相对、牵连和绝对角速度矢量，其中ωr和ωe沿已知的平行轴画出。又用ωr、ωe和ωa代表这些矢量的模。这时矢量ωr和ωe的指向相同。图形S的牵连运动是绕定轴O的转动，相对运动是绕动轴O'的转动，假定两个转动都是逆钟向的。图形内任一点M的绝对速度其中SOx'O'ωeωrMvMvevr§4–4

刚体绕平行轴转动的合成

转动的份解（1）同向转动的合成2.刚体绕平行轴转动的合成第97页/共116页

刚体沿连线OO'上的各点，其ve与vr的方向相反。如果选取此线段上的一点P，使vPe和vPr的大小相等，或则点P的绝对速度等于零。可见点P是图形S在该瞬时的速度瞬心。通过瞬心P且平行于轴O和轴O'的轴称为图形S的瞬轴，即为刚体合成运动的转轴。动系连杆OO'上的点O'具有速度因此

SOx'O'ωeωaωrvPrPvPevO'即§4–4

刚体绕平行轴转动的合成

同向转动的合成☆刚体合成运动的转轴位置☆刚体绝对运动的角速度点O'又可看成是刚体即图形S上的一个点。所以根据速度瞬心法可知第98页/共116页转向与ωe和ωr的转向相同。

当刚体同时绕平行轴作同向转动时，合成运动是绕另一平行的瞬轴的同向转动。绝对角速度的大小等于牵连角速度与相对角速度大小之和。瞬轴在原两平行轴的平面上，并在这两轴之间；瞬轴到这两轴的距离与刚体绕这两轴转动的角速度大小成反比。综合，两式可得结论：如沿各轴作出各角速度矢ωa、ωe和ωr，则角速度矢合成关系如图所示。考虑到式，可得绝对角速度ωa的大小

O'OPωaωrωe§4–4

刚体绕平行轴转动的合成

同向转动的合成第99页/共116页SOO'ωeωr从而该点P的绝对速度等于零，这个点就是图形在该瞬时的速度瞬心。

这时矢量ωr与ωe指向相反。下面分别讨论这两个角速度大小不等和相等的两种情形。①假定ωr≠ωe

，且ωr＞ωe

此时在图形内连线OO'的O'端延长线上可以选取一点P，使即满足关系式vPrPvPe§4–4

刚体绕平行轴转动的合成(2)反向转动的合成第100页/共116页考虑到式从而可得绝对角速度ωa的大小(当ωr＞ωe)

它的转向是和较大分角速度ωr的转向相同。各角速度矢的合成关系如图。因为O'ωaωrωeOPSOO'ωeωaωrvPrPvPevO'§4–4

刚体绕平行轴转动的合成

反向转动的合成第101页/共116页这时，绝对角速度ωa的大小为它的转向与较大分角速度ωe的转向相同。（当ωe＞ωr）如果ωe＞ωr，则可与前类似地证明图形的速度瞬心P在OO'的O端延长线上，其位置仍由式确定。

②假定ωr≠ωe

，且ωe＞ωr

O'ωaωrωeOPSOO'ωeωaωrvPrPvPevO'§4–4

刚体绕平行轴转动的合成

反向转动的合成第102页/共116页

当刚体同时以大小不等的角速度绕两平行轴作反向转动时，合成运动是绕另一平行的瞬轴的转动。绝对角速度的大小等于牵连角速度与相对角速度大小之差，绝对角速度的转向与较大分角速度的转向相同。瞬轴在原两平行轴的平面上，并在较大分角速度的外侧；瞬轴到这两轴的距离与刚体绕这两轴转动的角速度大小成反比。由上面讨论可得如下结论：§4–4

刚体绕平行轴转动的合成第103页/共116页

③

ωe

=－ωr的情形——转动偶这时图形的绝对角速度ωa=ωe

－ωr=0刚体的合成运动是平移而不是转动。SOO'ωeωr