泸县第四中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省泸县第四中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析2020年春四川省泸县第四中学高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1。已知集合集合,那么集合（）A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】由交集的定义即得解.【详解】集合，集合,由交集的定义：故选：D【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题。2。函数的定义域为(）A。［1,+∞） B.[1，0）∪(0，+∞)C.（∞,1］ D.（1，0）∪(0，+∞）【答案】A【解析】【分析】原函数要有意义，只要即可．【详解】解：，即，解得：；故选【点睛】本题考查函数定义域的求法,属于基础题．3.在中，，，其的面积等于,则等于（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】因为，所以，由余弦定理，所以，故选C．4.公差不为零的等差数列中,成等比数列，则其公比为A.1 B.2 C。3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，结合等差数列的通项公式，求得等差数列的首项和公差的关系，再利用等比数列的定义,求得公比。【详解】设等差数列公差为，根据等比中项的性质有，即,化简得。所以，所以公比。故选C.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查等比中项的性质,考查等比数列公比的求法。5.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点,则（）A. B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的加减法运算和数乘运算即可表示出结果.【详解】故选：【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算。6。分段函数，则满足的值为（)A。0 B.3 C。0或3 D.【答案】C【解析】【分析】对分类讨论，当时，，当时，，分别求解，即可得到满足的的值．【详解】,依题意有，①当时，，∵，∴,∴；②当时，，∵，∴，∴．综合①②，满足的的值为0或3．故选C．【点睛】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的取值问题．对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．主要考查了根据函数值求变量的取值，解题的关键是判断该用哪段解析式进行求解．属基础题．7.函数具有性质（）A.最大值为，图象关于直线对称B.最大值为，图象关于直线对称C.最大值为，图象关于对称D。最大值为，图象关于对称【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式和辅助角公式对函数解析式化简整理后，可得函数的最小值，利用三角函数的对称性求得函数的对称点。【详解】

所以函数的最大值为,排除B，D

令求得，函数关于对称.

所以C选项是正确的【点睛】本题主要考查了三角函数的基本性质，对称性和最值性。解题的关键是对函数解析式的化简整理.进而利用好三角函数的基本性质.8。在中，，则是（）A.等腰直角三角形 B。等腰或直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】【分析】先由可得，然后利用与三角函数的和差公式可推出，从而得到是直角三角形【详解】因为，所以所以因为所以即所以所以因为,所以因为，所以，即是直角三角形故选：D【点睛】要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考,主要有以下两条途径：①角化边:把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形形状，②边化角：把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.9.三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣,创造并发展了许多算法，展现了聪明才智．他在《九章算术》“盈不足”章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式．这个题的大意是:一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3000里(1里=500米）,良马第一天走193里,以后每天比前一天多走13里．驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走半里．良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马,问两匹马在第几天相遇(）A。14天 B。15天 C.16天 D。17天【答案】C【解析】【分析】记良马每天所走路程构成的数列为，驽马每天所走路程构成的数列为，根据题中数据,求出通项公式，进而可求出结果.【详解】记良马每天所走路程构成的数列为,驽马每天所走路程构成的数列为，由题意可得：，,设,经过天，两匹马相遇；则有,即,整理得，当满足题意，因此两匹马在第16天相遇。故选C【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.10。已知，则的值为（）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到已知角与所求角关系，将所求用已知角及特殊角表示，即，利用诱导公式即可求解.【详解】∵+=，∴,∴=，故选C.。【点睛】本题考查了给值求值问题，考查了诱导公式的应用，找准所求角与已知角的关系并且熟练掌握公式是解本题的关键．11。定义在R上的函数满足，时，.则等于（）A. B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】由条件可得出，，进而可得时,,然后可得当时，,依次类推可得，当时,，当时，，当时,，即可得出答案.【详解】因为所以由可得，所以,由可得又因为时,所以时，设，则,所以依次类推可得，当时,当时，；当时,因为,所以故选：C【点睛】本题考查的是函数的相关知识，解题的关键是得出时，，从而类推出当时，.12。已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值范围是(）A。 B. C。 D。【答案】B【解析】分析：函数有四个不同的零点,等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象，结合函数图像，可得，=，利用单调性求解即可。详解:,由二次函数的对称性可得由可得，函数有四个不同的零点，等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象,由图可得，∴∴=令，∴，故选B。点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，。函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第II卷非选择题(90分）二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13。函数y＝3tan(2x＋）的对称中心的坐标为__．【答案】(－,0)(k∈Z）【解析】【分析】利用正切函数的对称中心求解即可。【详解】令2x＋＝(k∈Z），得x＝－(k∈Z),∴对称中心坐标为（－，0)(k∈Z）．故答案为（－，0）(k∈Z)【点睛】本题考查正切函数图像的对称中心的求解，属于简单题。14。与是夹角为的单位向量，则等于______．【答案】【解析】【分析】计算,再得出的值．【详解】，．．故答案为．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算,属于基础题．15。若，则=_____．【答案】【解析】,，或,平方可得或，或若，则,不合题意应舍去，故答案为.16.数列满足，则.【答案】.【解析】试题分析：当时，，；当时，由于，，两式相减得，不满足。考点：由得。三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17。已知,(1)求;(2)若与互相垂直，求的值。【答案】(1)（2）【解析】【分析】（1）先求出,然后求出其模即可；（2）由k与k互相垂直，可知，然后解方程求出k．【详解】（1)，（2）与互相垂直,，即。，，，【点睛】本题考查了平面向量的基本运算和平面向量数量积与垂直的关系，考查了运算能力，属基础题．18.设函数。（1）求函数的单调递减区间；（2）若，求函数的值域。【答案】（1）；（2）。【解析】分析:（1）由二倍角公式将表达式化一得到,，令,得到单调区间；（2）时,，根据第一问的表达式得到值域。详解：(1）由令得：所以，函数的单调减区间为（2）当时，所以，函数的值域是:。点睛:本题求最值利用三角函数辅助角公式将函数化为的形式，利用三角函数的图像特点得到函数的值域。19。已知公差不为0的等差数列的前三项和为6，且成等比数列．(1）求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求使的的最大值．【答案】（1)．（2)13．【解析】【分析】（1)根据等差数列的前三项和为6，且成等比数列列出关于首项、公差的方程组,解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式;(2）由(1）可得，利用裂项相消法求和后,解不等式即可得结果.【详解】（1)设等差数列的首项为，公差为，依题意有，即，由，解得，所以．（2）由（1）可得,所以．解,得，所以的最大值为13．【点晴】本题主要考查等差数列、等比数列综合运用以及裂项相消法求和，属于中档题。裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20。在中，角，，的对边分别为，,，已知向量，，且.(1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）由得，，由正弦定理可得,，,，，又，。（2）的面积。由已知及余弦定理，得.又，故，当且仅当时，等号成立.因此面积的最大值为。21.已知，设是单调递减的等比数列的前n项和，且，，成等差数列。（1)求数列的通项公式；(2）记数列的前n项和为，求证:对于任意正整数n，.【答案】(1)（2）证明见解析【解析】分析】（1)利用等差中项的性质列方程,化简求得的值,由此求得数列的通项公式。（2)利用错位相减求和法求得，由此证得不等式成立.【详解】（1）设数列的公比q，由，得，即,∴。是单调递减数列,∴，∴（2）由（1）知，所以,，①,②②-①得：，，【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式基本量的计算，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.22.在中，，．（1）求证：平分;(2)当时，若，，求和的长．【答案】（1)见解析；（2)，.【解析】【分析】(1）在中由正弦定理和三角形的面积公式及条件可得,由于，所以，即证得结论成立．（2)由,所以．在和中，分别利用余弦定理及,可得，又,故．又，所以可得．【详解】(1）在中，由正弦定理得，因为，所以,所以,因为,所以,即平分．（2）因为，所以