泸县第五中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（文）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省泸县第五中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（文）试题含解析2020年春四川省泸县第五中学高三第一学月考试文科数学注意事项：1。答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1。已知集合A={x|x<1｝,B={x｜｝，则A. B.C。 D.【答案】A【解析】∵集合∴∵集合∴,故选A2。若复数，，其中是虚数单位,则复数的实部为（)A B。 C.30 D.8【答案】B【解析】,∴实部为15,故选B点睛：对于复数,当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R）是实数a；当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数03.在等差数列中，若，则等于（）A.9 B.27 C。18 D.54【答案】C【解析】【详解】,解得，则，故选C。考点：等差数列的性质——等差中项。4。在平行四边形中，，则等于(）A B. C。 D.【答案】D【解析】,故选D。5。在中,为上一点，是的中点,若，,则(）A。 B。 C。 D。【答案】B【解析】【分析】将利用平面向量的加法和减法运算,转化为以和为基底表示出来,根据是的中点列方程，求得的值。【详解】，因为是的中点，所以,,解得,。故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力。属于中档题6.函数(且)的图象可能为（）A. B。 C. D。【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数,所以排除A，B；取，则,故选D。考点:1。函数的基本性质；2。函数的图象.7.在四棱锥中，所有侧棱都为,底面是边长为的正方形，是在平面内的射影，是的中点,则异面直线与所成角为（）A。30° B.45° C。60° D。90°【答案】C【解析】【分析】先取为的中点，得到,则是异面直线与所成的角，根据题意，求出，,解三角形，即可得出结果。【详解】由题可知是正方形的中心，取为的中点，所以，则是异面直线与所成的角。因为平面，所以平面，因为在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，所以,所以，因此，又在中,，所以，即,所以，则异面直线与所成的角为.故选C【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，熟记几何法作出异面直线所成的角，再求解即可，属于常考题型。8.已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是()A. B.C. C。【答案】B【解析】【详解】由已知，画出函数的图象如图，根据题意函数有且只有一个零点，就是的图象与的图象有且只有一个交点，如图：显然当时，两个函数有且只有一个交点，故选B．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(）A。 B.C. D。【答案】A【解析】该几何体为长方体挖去了一个圆锥，圆锥的底面半径为1，母线长为2，所以几何体的表面积由长方体的表面积减圆锥底面圆的面积，还要加上圆锥的侧面积，所以几何体的表面积为，故选A。10。若函数的图象关于轴对称，则实数的值为（）A。2 B。 C。4 D。【答案】B【解析】【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到，进而得到恒成立，根据对应项系数相同可得方程求得结果。【详解】图象关于轴对称，即为偶函数即：恒成立，即：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题,关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型。11。设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，其中在左支上，在右支上。若，则（）A. B.8 C。 D.4【答案】A【解析】【分析】由得，再由定义即可求解【详解】由可知，.由双曲线定义可知,,，两式相加得,.故选A【点睛】本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.12.已知函数,，若对，且，使得，则实数的取值范围是(）A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域,由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为，故,下面讨论的单调性:当时,，故在区间上单调递减;当时，时，，故在区间上单调递减;当时，令，解得,故在区间单调递减,在区间上单调递增.又，且当趋近于零时，趋近于正无穷;对函数，当时，；根据题意,对,且,使得成立，只需，即可得，解得。故选：D。【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设向量，，若,则______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直得的方程求解即可【详解】依题意，，即，解得.故答案为【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,考查运算求解能力以及化归与转化思想。14。在中任取一实数作为,则使得不等式成立的概率为______.【答案】【解析】【分析】解对数不等式求得的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求的概率。【详解】依题意，,故所求概率。故答案为.【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查几何概型概率计算方法，属于基础题。15。已知抛物线经过点,直线与抛物线交于相异两点,，若的内切圆圆心为，则直线的斜率为______。【答案】—1【解析】【分析】先求出抛物线方程,然后直线与抛物线联立，得到,点和圆心横坐标相同，根据几何关系可知直线和直线斜率相反,将所得的代入,得到直线的斜率。【详解】将点代入，可得，所以抛物线方程为，由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，代入，得，设，，则，,又由的内切圆心为，可得,整理得,解得，从而的方程为,所以直线的斜率为—1。【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，设而不求的方法表示交点间的关系，属于中档题。16.已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，AB为球O的直径，AB=4，AD=2，BC=，则四面体ABCD体积的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】根据为直径得出三角形和三角形是直角三角形，当平面平面时,四面体的体积取得最大值。计算出三角形的高和三角形的面积，由此计算出最大体积。【详解】由于为直径,故三角形和三角形是直角三角形，三角形和三角形是直角三角形,，。设三角形中边上的高为，由等面积公式得。当平面平面时，四面体的体积取得最大值。.【点睛】本小题主要考查球的几何性质，考查三棱锥体积的求法，属于中档题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一）必考题：共60分.17。如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点,且，。(1）求;（2）求面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化,再应用余弦定理,可求出．(2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面积．【详解】解（1),由得,由余弦定理得，，:（2）连接,如下图：是的中点,，，，在中，由正弦定理得，，,，,,,,，,,【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式．18.如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，.(1）设是上的一点，证明:平面平面；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1）证明见解析;（2）。【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面,结合面面垂直的判断定理可得平面平面。（2）过作交于,易知为四棱锥的高，计算可得,四边形的面积为，则棱锥的体积。【详解】(1)在中,由于，,，∴.故。又平面平面，平面平面，平面，∴平面。又平面,故平面平面.(2）如图,过作交于，由于平面平面,∴平面。∴为四棱锥的高.又是边长为2的等边三角形,∴.在底面四边形中,，，所以四边形是梯形.在中，斜边边上的高为，∴四边形的面积为.故。【点睛】本题主要考查面面垂直的判断定理，棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19。为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚。为了更好地了解市民的态度,在普通人中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据:处罚金额(单位：元)5101520会闯红灯的人数5040200若用表中数据所得频率代替概率。（1）当处罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其它市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？【答案】（1）；（2).【解析】【分析】（1）用频率近似概率计算可得行人闯红灯的概率会降低。（2）由题意可知类市民和类市民各抽出两人，列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可得抽取4人中前两位均为类市民的概率是。【详解】（1)设“当罚金定为10元时,闯红灯的市民改正行为"为事件，则.∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低。（2）由题可知类市民和类市民各有40人，故分别从类市民和类市民各抽出两人，设从类市民抽出的两人分别为、，设从类市民抽出的两人分别为、。设从“类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件，则事件中首先抽出的事件有,,，，，，共6种.同理首先抽出、、的事件也各有6种.故事件共有种.设从“抽取4人中前两位均为类市民”为事件,则事件有，,，.∴.∴抽取4人中前两位均为类市民的概率是.【点睛】本题主要考查频率与概率的应用，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。20。已知椭圆左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点,且的周长为6，若面积的最大值为。（1）求椭圆的方程；（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点,证明：直线于的交点在一条定直线上。【答案】（1）（2)见解析【解析】【分析】(1）利用椭圆的定义，可求出周长的表达式,当点是椭圆的上（或下）顶点时，面积有最大值为，列出等式，结合，求出椭圆方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出直线与的交点的坐标,结合一元二次方程根与系数关系，得出结论．【详解】解：（1）由题意得椭圆的方程为；（2）由(1）得,，，设直线的方程为，，，由，得,，，，直线的方程为，直线的方程为,，，，直线与的交点在直线上。【点睛】本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、定直线问题．21。已知函数．（1）当时，证明的图象与轴相切；（2）当时，证明存在两个零点．【答案】（1）证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1）先求导,再设切点，求出切点坐标,即可证明，（2）分离参数,构造函数，利用导数求出函数的最值，即可证明.【详解】证明：（1）当a＝1时，f（x）＝(x﹣2)lnx+x﹣1．∴f′（x）＝lnx++1，若f（x)与x轴相切,切点为(x0，0）,∴f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+x0﹣1＝0f′（x0)＝lnx0++1＝0，解得x0＝1或x0＝4（舍去）∴x0＝1，∴切点为(1,0）,故f（x）的图象与x轴相切（2）∵f（x）＝(x﹣2）lnx+ax﹣1＝0，∴a＝﹣＝﹣lnx+,设g(x）＝﹣lnx+，∴g′（x）＝﹣﹣+＝，令h（x）＝1﹣2x﹣2lnx易知h（x）在（0，+∞）为减函数，∵h（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0,∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增,当x∈（1,+∞）时，g′（x）＜0,函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（1）＝1，当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g(x）→﹣∞,∴当a＜1时，y＝g（x）与y＝a有两个交点，即当a＜1时,证明f(x）存在两个零点【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数的零点，导数和函数的最值的关系，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.在极坐标系中，直线l：，P为直线l上一点，且点P在极轴上方以OP为一边作正三角形逆时针方向，且面积为．求Q点的极坐标；求外接圆的极坐标方程，并判断直线l与外接圆的位置关系．【答案】(1）；（2）直线与圆相外切．【解析】【分析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【详解】由题意，直线l：，以OP为一边作正三角形逆时针方向，设，由且面积为，则：，得，所以