江油市江油中学2021届高三上学期8月第二次周考文科数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省江油市江油中学2021届高三上学期8月第二次周考文科数学试题含解析四川省江油市江油中学2020年度高三8月第二次周考文科数学1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列有关命题的说法正确的是（)A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．若为真命题，则均为真命题．C．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．4．已知实数满足，则的最大值为（）A． B． C．4 D．35．设，，，则（）A． B． C． D．6．已知某算法的流程图如图所示，若输入的有序数对为，则输出的有序数对为（）A． B． C． D．7．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体．鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪．其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名．图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：)，则此构件的体积为（）A． B． C． D．8．给出下列命题：①曲线的一个对称中心是；②若是第一象限角，且，则；③函数是偶函数；④函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的,得到函数的图象，其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．函数的部分图象大致为()A． B．C． D．10．已知函数对任意的,都有，函数是奇函数，当时，,则函数在区间内的零点个数为（）A．8 B．7 C．6 D．11．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示: 给出下面四个结论：①甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前;②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前；③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前；④丙同学的逻辑思维成绩排名比乙同学的逻辑思维成绩排名更靠前．则所有正确结论的序号是(）A．①② B．③④ C．①③ D．②③④12．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，,则在方向上的投影是_______．14．公比不为1的等比数列中，对任意既是与的等差中项，又是1与的等比中项，则_______．15．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于P,Q两点,且，,则双曲线的离心率为________．16．已知定义在上的函数满足且，若恒成立,则的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(12分)某学校计划从甲,乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以下是甲，乙两位同学在10次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图．（1）从甲的成绩中任取一个数据,从乙的成绩中任取一个数据，求满足条件的概率；(2）分别计算甲乙两位同学成绩的平均值和方差,根据结果决定选谁去合适．18．（12分）在中，内角对边分别是，已知．（1）求；(2）若，，求的面积．19．（12分）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱,其中,弧的长为为的直径．(1）在弧上是否存在点（在平面的同侧)，使，若存在，确定其位置；若不存在，说明理由；（2）求到平面的距离．20．（12分）已知，，动点满足，的斜率之积为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知直线，的右焦点为,直线与交于,两点，若是的垂心，求直线的方程．21．（12分）已知函数，．（1）讨论函数的单调性；(2）证明不等式恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(10分）【选修4—4:坐标系与参数方程】已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积;(2）设曲线与曲线交于，，求．23．（10分)【选修4-5：不等式选讲】设均为正数,且，证明：（1）；（2）．一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由，解得，从而求得;由,解得，从而求得，所以,故选B．2．【答案】B【解析】依题意，所以，对应点为，在第二象限,故选B．3．【答案】D【解析】对于A．命题“若，则”的否命题为“若，则”，因此不正确；对于B．若为真命题,则与至少有一个为真命题，因此不正确;对于C．“存在,使得”的否定是：“对任意,均有”,因此不正确；对于D．由于命题“若，则”为真命题,因此其逆否命题为真命题，正确,故选D．4．【答案】C【解析】根据已知条件画出可行域如图（阴影部分）,由，得,其中表示直线在轴上的截距，故当直线过点时,取得最大值，最大值为,故选C．5．【答案】C【解析】因为,，，所以，故选C．6．【答案】B【解析】执行第一次循环后，;执行第二次循环后，；执行第三次循环后，；执行第四次循环后，，此时终止循环，故输出，故选B．7．【答案】C【解析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体,如下图所示，其体积为，故选C．8．【答案】B【解析】对于①，当时，，故①正确;对于②，取，，则，，故②不正确;对于③,,,所以函数是偶函数，故③正确；对于④，函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的,得到函数的图象，故④不正确，故选B．9．【答案】A【解析】，,为偶函数,图象关于轴对称，排除选项B,D，而,则，，则排除选项C，故选A．10．【答案】A【解析】∵函数是奇函数，∴函数的图象关于点对称，∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，即满足，又∵，∴,从而，∴，即，∴函数的周期为2，且图象关于直线对称,画出函数的图象如图所示：结合图象可得区间内有8个零点,故选A．11．【答案】B【解析】根据图示可得:甲同学的逻辑思维成绩排名很靠前但总排名靠后,说明阅读表达成绩排名靠后，故①错误；乙同学的逻辑思维成绩排名适中但总排名靠前，说明阅读表达成绩排名靠前，故②错误;甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前,故③正确;丙同学的逻辑思维成绩排名及阅读表达成绩排名居中，则丙同学的逻辑思维成绩排名比乙同学的逻辑思维成绩排名更靠前，故④正确，故选B．12．【答案】A【解析】如图，,其中，所以，故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．【答案】3【解析】由题可得，，∴在方向上的投影是，故答案为3．14．【答案】【解析】根据已知列出方程组,即，因为公比不为1,解得，即，故，所以，故答案为．15．【答案】【解析】如图,可设为双曲线右支上一点,由，，在直角三角形中,，由双曲线的定义可得,由，即有，即为，，解得，，由勾股定理可得，可得，故答案为．16．【答案】【解析】，∴为增函数，，∴存在唯一一个常数,使得，∴，即，令，可得，∴，故而，∵恒成立,即恒成立,∴的函数图象在直线上方,不妨设直线与的图象相切，切点为，则，解得，，如图，∴当，即时，的函数图象在直线上方,即恒成立，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）甲同学参加比赛，详见解析．【解析】（1）抽取两个数据的基本事件有，,，，，，共6种结果，满足的有，，，共3个，所以概率为．（2)，，，．从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同;从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同学的成绩更稳定，从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛．18．【答案】（1）；(2）．【解析】（1），又，．（2），，又,解得，．19．【答案】(1）弧上是存在点满足题意，且为圆柱的母线；(2）．【解析】（1）弧上是存在点（在平面的同侧），使，当为圆柱的母线时，．证明如下：在上取点，使为圆柱的母线，则，为圆的直径，，平面平面，平面,平面．（2）由弧的长为，可得，,由（1）可得，（∵为三角形内角），，,设到平面的距离为,，，到平面的距离是．20．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）因为动点满足PA,PB的斜率之积为,所以，整理可得，所以动点P的轨迹C的方程．(2）由(1）可得右焦点F（2，0），可得,因为F为垂心，所以直线MN的斜率为1，设，，联立直线l与椭圆的方程，整理得，，即,，,因为,所以，即，整理可得,即，即，整理可得，而，所以，解得或（舍)，所以直线l的方程为．21．【答案】（1)见解析；（2）证明见解析．【解析】（1），当时,，所以在上单调递增；当时，令,得到，所以当时，单调递增；当时，单调递减，综上所述,当时，在上单调递增;当时，在在上单调递增，在上单调递减．(2）证法一:不等式等价于，由（1）可知，当时，，特别地,取，有，即，（当且仅当时等号成立)，因此，要证恒成立,只要证明在上恒成立即可．设,则，当时,单调递减；当时,单调递增．所以当时,，即在上恒成立，因此，有,又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立，即不等式恒成立．证法二：不等式等价于．设函数,则，可知在上单调递增．又由知，在上有唯一实数根,且，则,即．当时，单调递减;当时，单调递增，所以，结合,知，所以,则，即恒成立，即不等式恒成立．22．【答案】（1）；(2)2．【解析】（1）因为曲线C的极坐标方程为，所以当时，，当时,，所以曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的圆周及一个两直角边分别为2与的直角三角形,如图所示：所以．（2）因为曲线C与曲线