平面任意力系资料

平面任意力系资料平面任意力系（Generalcoplanarforcesystem）：各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系。平面任意力系实例—悬臂吊车的横梁§4-1平面任意力系向作用面内一点简化力线的平移定理（Theoremoftranslationofaforce）r在O点作用什么力系才能使二者等效？怎样才能将力F从A点平行移动到O点？r

力向一点平移力线平移定理:可以将作用于刚体上A点上的力F平行移动到任一点O，但必须附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力F对O点之矩。Mr

力线平移的逆过程逆定理：作用在刚体上的一个力与一个力偶，可以等效或合成为一个力。图中：Mr二.平面任意力系向作用面内一点简化yxO==平面任意力系平面汇交力系平面力偶系OxOMoyM1M2M3平面任意力系向O点简化结果：即简化结果为一个主矢和一个主矩。力—该力系的主矢（Principalvector）

。力偶—该力系对于O点的主矩（Principalmoment）

。xOMoy注意：力系的主矢只是原力系中各力的矢量和，所以它与简化中心的选择无关。而力系对于简化中心的主矩一般与简化中心的选择有关，选择不同的点为简化中心时，各力的力臂一般将要改变，因而各力对简化中心之矩也将随之改变。三.主矢和主矩（PrincipalvectorandPrincipalmoment）主矢的解析表达式：主矩的解析表达式：xOMoyα—合力作用线与x轴所夹锐角，合力方向看FRx/

、FRy/正负。固定端（Fixedsupport）约束(平面荷载作用的情形)在工程中常见的车刀物体受约束的一端既不能向任何方向移动，也不能转动。说明①认为Fi这群力在同一平面内;②将Fi向A点简化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA为固定端约束反力;⑤YA,XA限制物体平动,MA为限制转动。§4-2平面任意力系的简化结果分析1.—力偶

2.—力3.—可进一步简化为2

4.—平衡力系向某一点(O)简化的几种结果1.—力偶

作用于简化中心O的汇交力系平衡；附加的力偶系不平衡，可合成为一力偶，其力偶矩为：注意:

此时主矩与简化中心的选择无关。2.—力附加的力偶系平衡；向O点简化的汇交力系合力为。注意:

此时合力的作用线恰好通过选定的简化中心O。3.—可进一步简化为2

(2.—力)==作用线在o点的哪一侧，可以由主矩的MO符号决定。合力矩定理（Thelawoftheresultantmoment）：平面任意力系的合力FR对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。==O力矩的解析表达式F对原点O的力矩的解析表达式：证明：§4-3平面任意力系的平衡条件和平衡方程

Conditonsandequationsfortheequilibriumof

ageneral

coplanarforcesystem一、平衡条件：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。二、平衡方程：（两投影一力矩）theequationsofonemoment主矢主矩简写为：三、平衡方程的另外两种形式：形式一：（一投影二力矩）theequationsoftwomoments形式二：（三力矩）theequationsofthreemoments形式一注意：x轴不得垂直于A、B两点连线。形式二注意：A、B、C三点不得共线。例：简支梁受力如图，已知F＝300N,q=100N/m,求A,B处的约束反力。FqABCD2m2m4m解：简支梁受力如图所示：代入（1）式yxUniformlydistributedloads例：简支梁受力如图，已知F＝300N,q=100N/m,求A,B处的约束反力。FqABCD2m2m4m解：简支梁受力如图所示：yxABq3m1mM1mDαP已知：P=100kN，F=400kN，M=20kN·m，q=20kN/m求：支座A的约束力AB3m1mM1mDαP1m解：分布力的合力作用位置如图AB3m1mM1mD30°P1mP=100kN，F=400kN，M=20kN·m，q=20kN/m对ABD杆列平衡方程解得：yx例：悬臂梁承受荷载如图，已知q0＝2kN/m,M=2kN/m,求支座A处的约束反力。ABCq03m1mM解：悬臂梁受力如图所示：yx§4-4平面平行力系的合成和平衡

coplanarsystemofparallelforcesOxyF1F2F3F4形式一：形式二：形式二注意：A、B连线不得与各力平行。平面平行力系的平衡方程：[例4-3]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m

求：A、B的支反力。解：1）以梁为研究对象解得：2）受力图如图所示3）选坐标系，列平衡方程yx例题4-4行动式起重机机身重为W1，其作用线离右轨B的距离为e，轨距为b，最大载重为P，其作用线离右轨的最大距离为l，平衡配重重力W2的作用线离左轨A的距离为a。欲使起重机满载及空载时均不翻倒，试求平衡配重的重量W2

。解：1）满载情况满载时若翻倒绕B顺时针转动，临界状态下RA=0，则不翻倒的条件RA≥02）空载情况空载时若翻倒绕A逆时针转动，临界状态下RB=0，则不翻倒的条件RB≥0WRARBeaCW2W1ABblP1一、静定和静不定静定问题：系统中的未知力的数目少于或等于独立平衡方程数,所有的未知力都能由静平衡方程求出。静不定问题：系统中的未知力的数目多于独立平衡方程数,由静平衡方程不能求出所有的未知力。物系中的未知力的数目≤

独立平衡方程数物系中的未知力的数目﹥独立平衡方程数静定问题静不定问题§4-5物体系统的平衡，静定和静不定问题Theequilibriumofabodysystem·theconceptsofstaticallydeterminateandstaticallyindeterminateproblems[例]

静不定次数：未知量数目减去独立方程数。注意：静不定问题也可解，如在材料力学中加入变形条件。静定（未知数三个）静不定（未知数四个）二、物体系统的平衡求解物系平衡问题的基础：物系平衡时，组成该物系的每一个物体，以及每一个子系统都将处于平衡状态。求解物系平衡问题时要注意的问题：1、研究对象的选取、受力图2、外力和内力3、研究对象的受力图上只画外力不画内力整体平衡，局部必然平衡物体系平衡方程的数目：

由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的平衡方程。例4-1已知F＝500N,q=250N/m,M=500N.m,求A,B,E处的约束反力。解：(1)取CE杆为研究对象，受力如图(b):qFM11222ABCDE(a)MDECq(b)对CE杆qFM11222ABCDE(2)取整体为研究对象，受力如图F＝500N,q=250N/m,M=500N.myx例题4-2三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C连接起来，又用铰链A、B与基础相联结。已知每段重G=40kN，重心分别在D、E处，且桥面受一集中载荷P=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是m。P3DEABCFBxFByFAxFAyNCyNCxFAyFAxDACGGP3DEABCFBxFByFAxFAyGGG=40kNP=10kNFBy=47.5kNFAy=42.5kNFCyFCxFAyFAxDACFAy=42.5kNFBy=47.5kNP3DEABCFBxFByFAxFAyGGyxG=40kNP=10kNFAx=9.2kNFCx=9.2kNFCy=2.5kN代入方程（1）有FBx=-FAx=-9.2kN解：1、取AC段研究，受力分析如图。例题4-2三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C连接起来，又用铰链A、B与基础相联结。已知每段重G=40kN，重心分别在D、E处，且桥面受一集中载荷P=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是m。物体系的平衡问题P3DEABCNCyNCxNAyNAxDAC列平衡方程：2、再取BC段研究，受力分析如图。列平衡方程：物体系的平衡问题NCyNCxNAyNAxDACGyxBCEPGyx联立求解：可得

NAx=-NBx=NCx=9.2kNNAy=42.5kNNBy=47.5kNNCy=2.5kN

NCx和NCx、

NCy和NCy是二对作用与反作用力。物体系的平衡问题解：1、取BC段为研究对象，受力分析如图。

2、选坐标系，列方程。例题4-3已知F=20kN,q=5kN/m,α=45°。求支座A、C和中间铰B的约束力。物体系的平衡问题qFADBC1m1m2mαFC=14.14kNFBx=10kNFBy=10kNyxFByFCFDBCFBxα图1AFqFAyFAxBMAyxqFADBC1m1m2mα3、取AB段为研究对象，受力分析如图。

4、选坐标系，列方程。FC=14.14kNFBx=10kNFBy=10kNFByFCFDBCFBxαyx图1

MA=30kN.mFAx=10kNFAy=20kN

物体系统的平衡小结：求解物系平衡问题时如何选取研究对象？方法1：首先考虑取系统整体为研究对象，然后再选取单个物体或子系统。方法2：首先考虑取某个特殊的单个物体或子系统为研究对象，然后再选取其他物体、子系统或系统整体。

选取原则：避免计算非待求的中间变量尽量避免求解联立方程组求解物系平衡问题的强调：选取恰当研究对象；取分离体作受力图，考虑物系时，不要画其内力；选取坐标轴时，尽量使坐标轴与多数力平行或垂直；选取矩心时，尽量选多个力的交点，特别是未知力的交点；建立平衡方程时，适当选用二力矩式或三力矩式，尽可能使相应的方程中只包含一个未知量，以避免联立方程求解麻烦。对于刚体系统，可利用其余方程校验结果。静力学一、力线平移定理是力系简化的理论基础力力+力偶

③平衡合力矩定理①力（主矢）②力偶（主矩）二、平面一般力系的合成结果小结静力学三、一矩式二矩式三矩式A,B连线不x轴A,B,C不共线平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程成为恒等式

一矩式二矩式连线不平行于力线静力学平面汇交力系的平衡方程平面力偶系的平衡方程四、静定与静不定独立方程数≥未知力数目—为静定独立方程数＜未知力数目—为静不定五、物系平衡物系平衡时，物系中每个构件都平衡，解物系问题的方法常是：由整体局部单体静力学六、解题步骤与技巧

解题步骤解题技巧

选研究对象选坐标轴最好是未知力投影轴；画受力图（受力分析）取矩点最好选在未知力的交叉点上；选坐标、取矩点、列充分发挥二力杆的直观性；平衡方程。解方程求出未知数灵活使用合力矩定理。①①②②③③④④七、注意问题力偶在坐标轴上投影不存在；力偶矩M=常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。1、组合梁AC

和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：l=8m，P=5kN，均布载荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN·m，试求固定端A、铰链C

和支座E

的反力。

NE=2.5kN（向上）NC=2.5kN（向上）MA=30kN·m

NA=12.5kN2)取AC段为研究对象，受力分析如图

1)取CE段为研究对象，受力分析如图

2、静定刚架受力及尺寸如图所示，长度单位为m；求支座A、B处的反