高中数学 第三章 推理与证明教案 北师大版选修1-2

第三章推理与证明

§1归纳与类比

1．1归纳推理

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

(1)通过实例了解归纳推理的概念．

(2)能利用归纳推理进行一些简单的推理．

2．过程与方法

通过实例，使学生经历观察、发现、归纳的过程，理解归纳推理，并体会归纳推理的意

义和价值．

3．情感、态度与价值观

培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯．

●重点难点

重点：归纳推理的理解与应用．

难点：归纳推理的应用．

本节课的教学中，为了突出重点、突破难点，需要注意以下两点：

(1)结构的开放性

归纳推理很大程度上是一种创造性思维，教学中每个学生作出的推理可能并不一致，在

这里有些时候结论是开放的，不是唯一的，只要“合情”，就应该认为是对的，应当鼓励学

生积极地创造性的思维．当然面对推出的不同结论，可以比较哪些结论是更具有研究价值的，

哪些思考是更有深度的．

(2)过程的复杂性

归纳推理有时不是一蹴而就的，并不是所有的问题只看三五个特殊情形，就能得出一般

性结论，有些问题则需要多看几个，在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程中锲而不

舍的精神．

(教师用书独具)

●教学建议

1．从学生熟悉的实例出发，引出归纳推理的概念；以问题的形式启发学生思考如何进

行归纳推理．

2．本节课应充分尊重学生的思维活动．在分组讨论的过程中给学生想的时间、说的机

会．

3．数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学．本节课主要培养学生观察、分析及在

此基础上的猜想能力．引导学生观察、发现、归纳；鼓励学生发言，允许学生犯错．对于几

何习题，一般情况下，既可以从数字角度寻找规律，也可以从几何图形角度出发，当然应该

侧重于后者．

4．处理好推理和证明的关系．数学上为保证结论正确，总是强调要证明结论，但合情

推理部分重在“推理”，重在得出新结论，“证明”不是本节课要解决的问题．

●教学流程

情境引入⇒新知探究：归纳推理的定义、特点、作用⇒应用示例⇒抽象概括：归纳推理

的一般步骤⇒课堂练习：通过练习，进行体验、感悟⇒课堂小结：通过总结，升华对本节课

所学知识的认识

1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解归纳推理的

含义．

课标解读

2．能利用归纳推理进行简单的推理(重点)．

3．体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

归纳推理

【问题导思】

(1)同学甲发现锐角三角形，直角三角形都存在唯一内切圆，由此他推断所有的三角

形都存在唯一内切圆．

(2)同学乙观察到25＞52,26＞62,27＞72，由此他推断：n≥5时，2n＞n2.

以上两位同学的推断方式有什么共同特点？

【提示】都是从特殊到一般，由部分到整体的推理．

1．归纳推理的含义

根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推

理方式称为归纳推理．

2．归纳推理的特点

(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．

(2)利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.

数与式中的归纳推理

观察以下不等式

13

1＋<，

222

115

1＋＋<，

22323

1117

1＋＋＋<，

2232424

……

111

可以归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式1＋＋＋…＋<f(n)，则不等式

2232n2

右端f(n)的表达式应为________．

【思路探究】先观察不等式的左右两边，寻找项与序号之间的关系，再归纳出一般性

的结论．

【自主解答】观察这三个不等式发现，第n个不等式的右边分母为n，分子为2n－1.

2n－1

fn

故()＝n.

2n－1

【答案】n

解决这类问题的步骤如下：

(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；

(2)提炼出数、式的变化规律；

(3)运用归纳推理写出一般结论．

观察下列等式：

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

照此规律，第五个等式应为____________________．

【解析】本题考查数列中的不完全归纳法，由前四个等式得，第n行等式的左边为：

以n为首项，公差为1的等差数列的前2n－1项的和，右边为(2n－1)2，则推算第5个等式

为：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.

【答案】5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81

归纳推理在几何中的应用

(1)如图3－1－1中①②③④为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多

少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表：

图3－1－1

顶点数V边数E区域数F

①463

②

③

④

(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系；

(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这

个平面图形的边数．

【思路探究】本题可从各个图形的顶点数、边数、区域数之间的关系作定量观察分析

入手，来归纳出它们之间的关系．

【自主解答】(1)②8125

③694

④10156

(2)观察：8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.

通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝1.

(3)由已知，V＝999，F＝999，代入上述关系式得

999＋999－E＝1，

∴E＝1997.

故这个图形有1997条边．

1．归纳推理的一般模式：

S具有性质P，S具有性质P，…，S具有性质P，其中S，S，…，S是A类事物的部

12n12n

分对象，所以A类事物具有性质P.

2．解决图形中的归纳推理问题，可以从以下两个方面入手：

(1)从图形结构的变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，数值发生了怎样的

变化．

(2)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号之间的关系，归纳得出一般的结论．

在平面内，观察凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数随着边数的增加的变

化规律，由此猜想：凸n边形有几条对角线？

【解】凸四边形有2条对角线；

凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；

凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；

…

于是猜想：凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条，即凸n边形对角线条数

1

为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)．

2

归纳推理在数列中的应用

2a

在数列{a}中，a＝1，且a＝n(n∈N*)，猜想这个数列的通项公式．

n1n＋12＋a

n

【思路探究】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前n项，然后归纳总结其中的

规律，写出其通项．

2a

【自主解答】∵a＝1，a＝n，

1n＋12＋a

n

2a22a22a2

∴a＝1＝，a＝2＝，a＝3＝，…

22＋a332＋a442＋a5

123

2

∴猜想：{a}的通项公式为a＝.

nnn＋1

由数列的递推公式猜想通项公式时，先由已知的递推公式求出数列的前n项，再观察

数列的项与项数的关系，归纳出通项公式．

π

已知在数列{a}中，a＝2cos，a＝2＋a(n∈N*)，猜想这个数列的通项公式．

n13n＋1n

π

【解】∵a＝2cos，a＝2＋a，

13n＋1n

ππππ

∴a＝2＋a＝2＋2cos＝2＋22cos2－1＝4cos2＝2cos.

213666

ππππ

a＝2＋a＝2＋2cos＝2＋2cos2－1＝4cos2＝2cos.

326121212

ππππ

a＝2＋a＝2＋2cos＝2＋2cos2－1＝4cos2＝2cos.

4312242424

π

∴猜想：{a}的通项公式为a＝2cos.

n13×2n－1

“递推型”的归纳推理问题的解法

(12分)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图3－1－2：

图3－1－2

由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形

的数的特点，归纳第n个图中的三角形数．

【思路点拨】从图形结构的变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，数值发

生了怎样的变化，进而发现递推关系．

【规范解答】第1个图中的三角形数为1，

第2个图中的三角形数为3，比第1个图中的三角形数大2，2分

第3个图中的三角形数为6，比第2个图中的三角形数大3，4分

第4个图中的三角形数为10，比第3个图中的三角形数大4，6分

于是猜想：第n个图中的三角形数比第n－1个图中的三角形数大n.

nn＋1

所以，第n个图中的三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝.12分

2

以图形变化为背景的归纳推理问题，其求解方法通常有两种：

(1)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构再发生一次变化，与上一次比较，数

值发生了怎样的变化；

(2)从式子的特征入手，找出式子的相同或相似之处，比如本题，由项数与对应项的关

系特点．

项数1234

1×22×33×44×5

对应项

2222

nn＋1

可归纳出，第n个图中的三角形数为.

2

1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，

我们把这种推理方式称为归纳推理．

2．归纳是立足于观察、实际或经验的基础上，是一种具有创造性的推理，通过归纳推

理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．

3．根据归纳推理得出的结论不一定是正确的，要确定其正确性，还需进一步验证．

1．设数列{a}满足a＝2a＋1，n∈N*，a＝1，通过求a，a，猜想a的一个通项公

nn＋1n123n

式为()

A．2n－1B．2n＋1

C．2n－1D．2n＋1

【解析】∵a＝1，a＝2a＋1，

1n＋1n

∴a＝2a＋1＝2×1＋1＝3＝22－1，

21

a＝2a＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，

32

猜想：a＝2n－1.

n

【答案】C

2．(2012·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|

＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，

则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()

A．76B．80

C．86D．92

【解析】由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数

解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数

解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数

为80.

【答案】B

3．(2013·陕西高考)观察下列等式：

12＝1，

12－22＝－3，

12－22＋32＝6，

12－22＋32－42＝－10，

…，

照此规律，第n个等式可为________

【解析】12＝1，

12－22＝－(1＋2)，

12－22＋32＝1＋2＋3，

12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，

…，

12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)

nn＋1

＝(－1)n＋1.

2

nn＋1

【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1

2

4．试归纳出集合{a，a，a，…，a}的子集个数．

123n

【解】当n＝1时，子集个数为2＝21，

当n＝2时，子集个数为4＝22，

当n＝3时，子集个数为8＝23，

由此猜想，集合{a，a，a，…，a}的子集个数为2n.

123n

一、选择题

图3－1－3

1．如图3－1－3所示的三角形数阵是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，

根据图中的数的构成规律，a所表示的数是()

A．2B．4

C．6D．8

【解析】a＝3＋3＝6.

【答案】C

2．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项为()

A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1

C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2

【解析】由前n项可知，第k项中第一个数为ak－1，且共有k项，次数连续，故第k

项和为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.

【答案】D

3．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第100项是()

A．10B．13

C．14D．100

nn＋1

【解析】由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n，由≤100，

2

n∈N*，得n的最大值为14.

【答案】C

4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()

A．01B．43

C．07D．49

【解析】72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16507,76＝117649，…由此看出末两位数

字具有周期性，且周期为4，又2011＝4×502＋3，故72011的末两位数字应为43.

【答案】B

5．观察(x2)′＝2x，(x4)＝4x3，(cosx)＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上

的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()

A．f(x)B．－f(x)

C．g(x)D．－g(x)

【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是

奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的

导函数是奇函数，即有g(－x)＝－g(x)，故选D.

【答案】D

二、填空题

6．观察下列等式，可以归纳出的结论是________．

13＝12，

13＋23＝32，

13＋23＋33＝62，

13＋23＋33＋43＝102，

……

图3－1－4

【解析】由1＝1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，可归纳出13＋23＋33＋…＋

n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.

【答案】13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2

7．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝________.

【解析】5－2＝3＝1×3,11－5＝6＝2×3,20－11＝9＝3×3，x－20＝4×3,47－x＝

5×3，∴x＝32.

【答案】32

8．观察下列等式：

①cos2α＝2cos2α－1；

②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；

③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；

④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；

⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6＋ncos4α＋pcos2α－1.

可以推测，m－n＋p＝________.

【解析】观察等式可知，cosα的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比

数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cosα＝1，cos10α＝1，代入等式⑤，得

1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350；(1)

π11111

取α＝，则cosα＝，cos10α＝－，代入等式⑤，得－＝m()10－1280×()8

322222

111

＋1120×()6＋n×()4＋p×()2－1，即n＋4p＝－200，(2)

222

联立(1)(2)，得n＝－400，p＝50.

∴m－n＋p＝512－(－400)＋50＝962.

【答案】962

三、解答题

111

9．猜想不等式1＋＋＋…＋>n＋1满足什么条件时成立？

23n

【解】当n＝1时，左边＝1，右边＝1＋1＝2，不等式不成立．

12＋2

当n＝2时，左边＝1＋＝，

22

12

右边＝1＋2＝3＝.

2

∵2＋2<12，∴左边<右边，不等式不成立．

116＋32＋23

当n＝3时，左边＝1＋＋＝，右边＝3＋1＝2，左

236

6＋3×1.4＋2×1.76.8

边>＝>2＝右

63

边．∴不等式成立．

猜想：当n∈N且n≥3时不等式成立．

＋

10．观察下表，填表后再解答问题：

(1)完成下列表格：

序号123…

图形…

◎的个数824…

的个数14…

(2)试求第几个图形中“◎”的个数和“”的个数相等？

【解】(1)169

(2)设第n个图形中“◎”的个数和“”的个数相等．观察图形可知8n＝n2，

解得n＝8或n＝0(舍去)．

所以第8个图形中“◎”的个数和“”的个数相等．

x

11．设函数f(x)＝(x＞0)，f(x)＝f(x)，且当n≥2时，f(x)＝f(f(x))，试求

x＋21nn－1

f(x)，f(x)，并归纳出f(x)(n∈N*)．

23n

x

fxx＋2xx

【解】f(x)＝f(f(x))＝1＝＝＝，

21fx＋2xx＋2x＋23x＋4

1＋2

x＋2

x

fx3x＋4xx

f(x)＝f(f(x))＝2＝＝＝，

32fx＋2xx＋23x＋47x＋8

2＋2

3x＋4

x

猜想：f(x)＝(n∈N*)．

n2n－1x＋2n

(教师用书独具)

观察以下各等式：

3

sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，

4

3

sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，

4

3

sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.

4

分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并给出证明．

【思路探究】观察等式左边三角函数名称和角之间的关系，猜想一般规律．

3

【自主解答】猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.

4

证明：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)

＝sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°)2＋sinα(cosαcos30°－sinαsin

30°)

3131

＝sin2α＋(cosα－sinα)2＋sinα(cosα－sinα)

2222

33131

＝sin2α＋cos2α－sinαcosα＋sin2α＋sinαcosα－sin2α

42422

333

＝sin2α＋cos2α＝.

444

1．归纳推理是从特殊到一般的推理，所以从特殊中发现它们的共同特点是解决这类问

题的关键．

2．本题从已知的三个式的左边函数名、两个角的关系入手，不难发现其共性．

观察以下等式：

3

sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，

2

3

sin215°＋sin215°＋sin2135°＝，

2

3

sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，

2

分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并给出证明．

3

【解】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.

2

证明：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)

＝(sinαcos60°－cosαsin60°)2＋sin2α＋(sinαcos60°＋cosαsin60°)2

1313

＝(sinα－cosα)2＋sin2α＋(sinα＋cosα)2

2222

133133

＝sin2α－sinαcosα＋cos2α＋sin2α＋sin2α＋sinαcosα＋cos2α

424424

333

＝sin2α＋cos2α＝.

222

1．2类比推理

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

(1)通过实例了解类比推理的概念．

(2)能利用类比推理进行一些简单的推理．

2．过程与方法

通过实例，使学生经历观察、发现、类比的过程，理解类比推理，并体会类比推理的意

义和价值．

3．情感、态度与价值观

培养学生勇于创新又不失严谨的思维习惯．

●重点难点

重点：类比推理的理解与应用．

难点：学生使用合情推理解决问题的能力的培养．

为了突出重点，突破难点，教师可提供类比推理的实例，在学生自主探究、动手实践中，

引导学生感悟类比推理的定义、特点、步骤及作用．

(教师用书独具)

●教学建议

1．掌握类比推理的关键是要明确类比推理的概念，建议通过具体实例理解类比推理的

本质与价值．

2．教学中可以灵活使用教材所给的例题，比如可以采用自主探究、动手实践等方法．

3．教学中可以适当地渗透一些数学文化，提高学生的学习兴趣，同时使学生了解到数

学不仅是最终形成的理论体会，结论的形成过程也是宝贵的财富，使学生形成对数学较完整

的认识．

●教学流程

情境引入⇒新知探究：类比推理的定义、特点、作用⇒应用示例⇒抽象概括：类比推理

的一般步骤⇒课堂练习：通过练习体验进行感悟⇒课堂小结：通过总结，提升对本节所学知

识、方法的认识

1.理解类比推理的含义，并能用类比推理进行简单的推理(重点)．

课标解读

2．了解合情推理的含义，体会并认识合情推理在数学中的作用(难点).

类比推理

【问题导思】

200年前奥地利一位医生解剖死尸时发现，一些病人死后胸腔内化脓，积水现象严重，

为了及时诊断，挽救病人，这位医生反复思考．一次他突然想起父亲经营酒业时，用手指关

节叩击木制酒桶，然后根据声音估量出桶中酒量的多少，于是他想：酒桶和胸腔都是封闭的，

叩击时都能发出声音，既然能用叩击来估量桶内藏酒量，那么应该也能用叩击来判定病人胸

腔内的积水量．

由此这位奥地利医生发明了“叩诊”的方法．

这位医生的推理方法有什么特点？

【提示】A，B两类事物类似，由A有某种特征，则推得B也有这种特征．

1．类比推理的定义

两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一

类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．

2．类比推理的特征

类比推理是两类事物特征之间的推理，利用类比推理得出的结论不一定是正确的．

3．合情推理

归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理是根据实验和实践的结果、个人

的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理

方式.

等差数列与等比数列的类比

根据等差数列的性质，利用类比的方法写出相应的等比数列的性质．

等比数列，

等差数列{a}，公差为d

n公比为q

若m＋n＝p＋q＝2t，则a＋a＝a＋a＝2a①

mnpqt

a＝a＋(m－n)d②

mn

a，a，a，…构成公差为md的等差数列③

kk＋mk＋2m

S，S－S，S－S，…构成公差为k2d的等差数列④

k2kk3k2k

【思路探究】根据等差数列、等比数列的定义、通项公式进行类比．

【自主解答】①若m＋n＝p＋q＝2t，则bb＝bb＝b2；

mnpqt

②a＝aqm－n；

mn

③b，b，b，…构成公比为qm的等比数列；

kk＋mk＋2m

④当S≠0时，S，S－S，S－S，…构成公比为qk的等比数列．

kk2kk3k2k

等差数列与等比数列有许多类似的性质，在类比时有如下的规律：和积类比，差商类比，

乘乘方类比，除开方类比．

若{a}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有(m－n)a＋(n－p)a＋(p－m)a

npmn

＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b}有________．

n

【解析】根据等差数列与等比数列类比的规律，有bm－n·bn－p·bp－m＝1.

pmn

【答案】bm－n·bn－p·bp－m＝1

pmn

平面几何与立体几何之间的类比

如图3－1－5，若射线OM，ON上分别存在点M，M与点N，N，则三

1212

S△OMNOMON

角形面积之比11＝1·1.若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P，

S△OMNOMON1

2222

P，点Q，Q和点R，R，则类似的结论是什么？

21212

图3－1－5

【思路探究】二维的平面类比三维的空间→

面积类比体积→线段比的乘积→结论

【自主解答】设VO－PQR和VO－PQR分别表示四面体O－PQR和O－PQR的体积，

111222111222

则

VO－PQROPOQOR

111＝1·1·1.

VO－PQROPOQOR

222222

一般地，平面中的一些元素与空间中的元素的类比列表如下：

平面点线圆三角形角边长周长面积…

空间线面球三棱锥二面角面积表面积体积…

六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋

AD2)，那么在平行六面体ABCD－ABCD中，AC2＋BD2＋CA2＋DB2等于()

11111111

A．2(AB2＋AD2＋AA2)

1

B．3(AB2＋AD2＋AA2)

1

C．4(AB2＋AD2＋AA2)

1

D．4(AB2＋AD2)

【解析】如图所示，四边形AACC和BBDD也都是平行四边形，从而有AC2＋CA2＝2(AC2

111111

＋AA2)，BD2＋DB2＝2(BD2＋BB2)，

1111

所以AC2＋CA2＋BD2＋DB2＝2(AC2＋BD2)＋4AA2＝4(AB2＋AD2＋AA2)．

111111

【答案】C

通过类比得到新概念

类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问

题：已知数列{a}是等和数列，且a＝2，公和为5，求a及前n项和S.

n118n

【思路探究】

【自主解答】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和

都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．

2，n为奇数，

由上述定义得a＝

n

3，n为偶数，

故a＝3.

18

51

n－，n为奇数，

22

S＝

n5

n，n为偶数.

2

1．本题是一道定义类比应用题，通过对等差数列的定义及性质的理解，类比等和数列

的定义和性质，其中，深刻理解等差数列的定义及性质是实现类比的关键．

2．除了定义类比、结论类比外，还有方法类比，它是解决新情境问题的主要思维方法．

类比“等比数列”的定义，写出“等积数列”的定义，若已知等积数列的首项为2，公

积为6，写出该等积数列的通项公式和前n项和．

【解】等积数列：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，

那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作该数列的公积．

2，n为奇数，

由定义得a＝

n

3，n为偶数.

51

n－，n为奇数，

22

前n项和S＝

n5n

，n为偶数.

2

找不到合理的类比对象致误

1

三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a，b，c为三角形的边长，r为三

2

角形的内切圆的半径．利用类比推理得到四面体的体积为()

1

A．V＝abc(a，b，c为四面体共顶点的三棱长)

3

1

B．V＝Sh(S为四面体的底面积，h为四面体的高)

3

1

C．V＝(S＋S＋S＋S)r(S、S、S、S为四个面的面积，r为内切球的半径)

312341234

1

D．V＝(ab＋bc＋ac)h(a，b，c为四面体底面三角形三边长，h为四面体的高)

3

【错解】B或D

【错因分析】这属于知识性错误．选B不是由类比推理得到的；选D是因为没有找到

合理的类比点．

【防范措施】一般地，空间几何体与平面图形之间的性质类比，如三角形与四面体、

矩形与长方体、圆与球、线与面、平面角与空间角、面积与体积等之间都具有类比关系．

【正解】△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三

个小三角形的高都为r，底边长为a，b，c.类比可知：四面体A—BCD的内切球球心为O，

连接OA，OB，OC，OD将四面体分割成为四个以O为顶点，四面体的面为底面的小四面体，

1

高都为r，所以V＝(S＋S＋S＋S)r.答案为C.

31234

【答案】C

1．类比推理的思维过程

相似性

观察、比较――→联想、类推―→

一致性

猜测新的结论

2．类比推理的特点

(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧的知

识作基础，类比出新的结果；

(2)类比从一种事物的特殊属性，推测另一种事物的特殊属性；

(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．

3．合情推理的思维过程及特点

从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想

1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是()

A．三角形B．梯形

C．平行四边形D．矩形

【解析】因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互

相平行，故选C.

【答案】C

2．平面内圆的周长公式C＝πd，类比到空间中可得球的表面积公式为()

A．S＝πr2B.S＝2πr2

C．S＝4π2D．S＝πd2

【解析】周长→面积，d→d2，应选D.

【答案】D

3．(2013·丽水高二检测)设等差数列{a}的前n项和为S，则S，S－S，S－S，S

nn48412816

－S成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b}的前n项积为T，则T________，

12nn4

T

16

________，T成等比数列．

12

【解析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与

积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的

积成等比数列．

TT

812

【答案】TT

48

4．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，

按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.

设想正方形换成正方体，把截线换成如图3－1－6的截面，这时从正方体上截下三条侧

棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S，S，S表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么

1234

你类比得到的结论是什么？

图3－1－6

【解】S2＋S2＋S2＝S2.

1234

一、选择题

底×高

1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面

2

积公式S等于()

扇

r2l2

A.B.

22

rl

C.D．不可类比

2

【解析】扇形的弧长类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，可得扇形的面

积公式．

【答案】C

2．下列类比推理：

①由(ab)n＝anbn类比得(a＋b)n＝an＋bn；

②由log(xy)＝logx＋logy类比得sinab＝sina＋sinb；

aaa

③由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2类比得(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

其中正确结论的个数是()

A．0B．1

C．2D．3

【解析】只有③正确．

【答案】B

3．在平面直角坐标系中，点A(1,1)关于原点的对称点为(－1，－1)，那么在空间直角

坐标系中，点A(1,1,1)关于原点的对称点为()

A．(－1，－1,1)B．(1，－1，－1)

C．(1，－1,1)D．(－1，－1，－1)

【解析】横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数．

【答案】D

x＋x＋x