(浙江专用)2020高考数学数列与数学归纳法第3讲数列的综合问题专题强化训练

≥2()－2≥2()－2第3数的合题专题强化训练11．(2019·台州市高三期末考试在正项数{中已知a＝1,且足＝2a－＋1(∈N)(1)求,a；3(2)证明：≥(.2解：(1)因为在正项数列{a}中＝1,且满足

1＝2a－(n∈N),a＋113所以＝2×1＝1＋123113a＝2×＝.235＋123(2)证明：①当n＝1时,由已知a＝1)＝1,等式成立；23②假设当nk时不式成立即a≥(),21因为(＝2－在0,∞)是增函,x＋1所以＝2－k

131a＋13（）＋123131＝()＋()－2323（）＋121313（）＋（）－133232＝()＋23（）＋12133[（）＋3][2×（）－3]3922＝()＋,23（）＋1233因为≥1,以2×()－3≥2×－3＝0,223所以≥(),即当＝＋1时,不等式也成立．

3＋13＋1.2b3＋13＋1.2b根据①②知不等式对任何n∈N

都成立．2．(2019·嘉兴调)已知S各项均为正数的数列{a的前和∈(0,2),＋3nn＋2＝6S.(1)求a}通项公式；1(2)设b＝,列{}的前项和为若对任意的∈N,≤4恒立求数t的nn最大值．解：(1)当＝1时,由＋3＋2得a＋3＋2＝6,－3＋2＝0.nn又解得＝1.由＋3＋2＝6S,可知a＋3＋2＝6S.n两式相减,得－＋3(－)＝6,即a＋)(a－－3)nnnn由于＞0,得－－3＝0,即a－＝3,nn所以{是首项为公差为等差数列,所a＝1＋3(－1)＝3－2.(2)由＝3－2可得11b＝aa（3－2）（3＋1111＝－3T＋＋…n

,11＝34n＝3＋1

＋…1

11＋－n13因为＝＝随着n的大而增大,所以数列{T}是递增数列,3＋13n＋1tt1所以≤4≤≤＝t≤1,所以实数t的最大值是44413．(2019·金华模)已知数列}足a＝＝2－1(n∈N),令b＝－1.(1)求数列}的通项公式；a(2)令＝,求证：＋＋＋＋.a24n解：(1)因为aa＝2a－1(∈N),＝－1,a＝＋1.nn所以(

＋1)(＋1)＝2(

11＋1)－1,化为：－＝－1,n

bnnnnbnnnn1所以数列{}是等差数列,首项2,公差为1.11所以＝－2－(n－1)＝－1－,所以＝.b＋11n(2)证明：由(1)可得：＋1＝1－＝.nn＋12＋1a2＋1＋1（2＋1）所以＝＝＝a22（2＋2）n2＋111＝1＋22＋2

,因为≥2时,＋2≤2－1,1111所以－<－,22＋22－12－111所以＋＋＋<＋24

＋111－22

717＝＋－<＋.242－1）244(2019·绍兴市高三教学质量已知数列a}满足a＞0,a且(＋1)＝＋nan∈N

)．(1)证明：；aaa9(2)证明：＋＋＋＜(≥2)．49n5证明：(1)由得＋1)·－(＋1)＝－＋－1,n故－1)(a＋1)(＋1)＝(－1)(＋＋1),n由＞0,,可知a＋1)(＋1)＞0,＋＋1＞0,所以－1与a－1同号又－1＝1＞0,a＞1.n(2)由(1)知a＞1,故(n＋1)a＝na＋＜(＋1),nnn所以＜a,1＜≤2.nn又由题可得a＝(n＋1)－na,所以,na＝2－,＝3－2

,…,＝(＋1)·－na,相加得a＋＋…＝(＋1)a

－4,2＋42n＋2所以≤,即a≤(≥2),＋1a2211121≤＋≤2－－＋

(≥2)

a,a－1－1a－1a－1a－1aa,a－1－1a－1a－1a－1aa39当＝2时,＝＜.245aa322319当＝3时,＋≤＋＋＜＋＜.23433435aa当≥4时,＋＋＋＋491611111211＜2＋＋＋－91642734211219＝1＋＋＋＋＋＜.98427125从而,原命题得证．5．(2019·台州市高考一)已数{满足＞0,

1＋＜2(∈N．a(1)求证：＜＜2(∈N)(2)求证：＞1(∈N)．1证明：(1)由＞0,＋＜2,所以

1＜2－1因为2＞a＋≥2

aa所以＜a＜2.(2)假设存在a≤1(≥1,∈N由1)可得当n＞时,＜1,根据

1－1＝＜0,而＜1,an1a1所以＞＝1＋.－111于是＞1＋,…

11＞1＋.－1n11累加可得＞－1＋(*),a－1－1n由1)可得a－1n而当＞－

11＋1时显有n－1＋a－1－1

nk－1n－2－3nkn11x1k＋1nk－1n－2－3nkn11x1k＋1＋1因此有

11＜－1＋a－1a－1n这显然与(*)矛盾所＞1(∈N．6金丽十二校高三联考)已知f()a＋x＋x＋＋,且－1)－n1)·,….(1)求,a,a；(2)求数列}的通项公式；2222(3)当>7且k∈N时证明对意n∈N都＋＋＋…＋>成a＋1＋1＋1＋12立．解：(1)由f－1)＝－＝得a＝1,由－1)－＋＝2,＝3,又因为f－1)－＋＝－3,所以＝5.(2)由题意得：f(－1)＝－＋－＋－1)

a－1)·,f(＝－＋…－1)

a＝(－1)·(－1),≥2,两式相减得：(－1)＝(·－(－1)·(－1)＝((2n－1),得当≥2时,＝2－1,又a＝1符合,所以＝2－1(∈N)．a＋1(3)证明：令b＝＝,21111111则＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋,bn＋1＋2－1111111所以2＝＋＋＋＋2－1111当>0,>0时,＋≥2,＋≥2,xxy

.(*)所以(＋)

≥4,114所以＋≥,当且仅当＝时号成立上(*)式中>7,n＋1,n＋2,nk－1xx＋y44444（k－1）全为正所2S>＋＋＋…＋＝,n＋－1＋1nk－2n＋2nknk＋n＋－12（－1（k－1）2所以>>＝21＋－n

kcnnnkcnnn23>2,得证．727(2019·宁波市诺丁汉大学附高三期中考)知数{a}满足a＝3,＝＋2n∈N,设b＝log(＋1)．(1)求a}通项公式；111(2)求证：＋＋＋…＋＜(≥2)；23b－1c(3)若2c＝求证：2≤(＜3.解：(1)由a＝＋2,则＋1＝＋2a＋1＝(a＋1),nnn由＝3,＞0,两取对数得到nloga＋1)＝log(＋1)＝2(＋1),＝2bnnn又＝log＋1)≠0,所以{是以为公的等比数列．即＝2.又因为b＝log＋1),所以＝22－1.1111(2)证明：用数学归纳法证明：当＝2,左边为＋＋＜2＝边此不等式236成立；②假设当nkk≥2,∈N)时不等式成,1111111则当＝k＋1时,左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＜k＋232－1222－1221＋…＋＜＋2－1

＜＋1右边所以当n＝＋1时,不等式成立．综上可得：对一切∈N≥2,题成立．(3)证明：由2＝b得＝n,c1＋n1所以()＝()＝(1＋)111首先(＋＝C＋C＋C＋＋nC

11＋…＋Cknn

n＋…＋C,223n－1anaaaaaaa12n＋…＋C,223n－1anaaaaaaa121n（n－1）－＋1111其次因为C＝＜≤＝－(≥2),nk！n！（－1－1k111所以(＋＝C＋C＋C＋…＋nC

11nnn111111＜1＋1－＋－＋＋－＝3＜3,当＝1时显然成立．所以得证．18．数列}满足a,＝(n≥2,∈N)4（）a－2(1)试判断数列＋－1为比数并说明理由；n（2－14(2)设＝asin,数列b}的前项和为T,证：对任意的∈N,＜2a1（）a－22解：(1)＝＝＝(－,（－1）a－2121所以＋(－1)＝2·(－所＋(－2)·＋n所以＋－1）比2等比数列．n1(2)证明：＋(－1)由1)得1＋(－1)＝＋（）＝3·(－2),

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