中值定理的应用方法与技巧-2023修改整理

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐中值定理的应用方法与技巧中值定理的应用办法与技巧

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，普通高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分其次中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(xf在[a,b]上延续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(abfdxxfb

a-=?ξ。积分其次中值定理为前者的推广，即若)(),(xgxf在[a,b]上延续，且)(xg在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b

ab

adxxgfdxxgxf)()()()(ξ。一、微分中值定理的应用办法与技巧

三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证实，也可应用于恒等式及不等式证实。因为三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着互相关联，因此应用中值定理的基本办法是针对所要证实的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的延续函数，套用相应的中值定理举行证实。这一过程要求我们十分认识三大中值定理的条件和结论，并且把握一定的函数构造技巧。

例一．设)(x?在[0,1]上延续可导，且1)1(,0)0(==??。证实：随意给定正整数ba,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得baba+='+')

()(η?ξ?成立。证法1：随意给定正整数a，令)()(,)(21xxfaxxf?==，则在[0,1]上对)(),(21xfxf应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得aaa=--=')0()1(0)(??ξ?。随意给定正整数b，再令)()(,)(21xxgbxxg?==，则在[0,1]上对)(),(21xgxg应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得bbb=--=')

0()1(0)(??η?。两式相加得：随意给定正整数ba,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得

baba+='+')

()(η?ξ?成立。

证法2：随意给定正整数ba,，令)()(,)(21xxfaxxf?==，则在[0,1]上对

)(),(21xfxf应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得aa=')

(ξ?。再令)()(,)()()(21xxgbxxbaxg??=-+=，则在[0,1]上对)(),(21xgxg应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得abbabba=--+='-'+)

0()1()()()()(??η?η?。因此有)()()()()(η?η?η?ξ?'-+='-'+='bbabbaa，移项得：baba+='+')

()(η?ξ?。分析：解1和解2都是应用了柯西中值定理。鉴于所要证实的等式中含有两个中值，并且中值处的导数位于分式中，因此考虑须用两次柯西中值定理。证法1和解2的不同之处是解1分离从

,)(ξ?'a)(η?'b动身构造相应的函数。而证法2是先将baba+='+')()(η?ξ?移项得：)

()()()()(η?η?η?ξ?'-'+='-+='bbabbaa，然后从两边动身构造相应的函数。

例二．设)(xf在[a,b]上延续，在(a,b)内可导且)()(bfaf≠，试证实：存在),(,ba∈ηξ，使得a

bff+'=')(2)(ηξξ。证法1：按照条件，由拉格朗日中值定理，存在),(ba∈η，使得

))(()()(abfafbf-'=-η

令2)(xxg=，在[a,b]上对)(),(xgxf应用柯西中值定理，得存在),(ba∈ξ，使得a

bfabafbff+'=--=')()()(2)(22ηξξ。证法2：令2)(xxg=，在[a,b]上对)(),(xgxf应用柯西中值定理，得存在),(ba∈ξ，使得22)()(2)(a

bafbff--='ξξ。再令xabxg)()(+=，在[a,b]上对)(),(xgxf应用柯西中值定理，得存在),(ba∈η，使得2

2)()()()()()()(abafbfaabbabafbfabf--=+-+-=+'η。综合两式得到存在),(,ba∈ηξ，使得

abff+'=')(2)(ηξξ。分析：鉴于所要证实的等式中含有两个中值，并且中值处的导数位于分式中中，因此可考虑用两次柯西中值定理，即证法2。也可用一次柯西中值定理后，

分式中函数值差的部分改用拉格朗日中值定理举行进一步化简，即为证法1的基本思想办法。

例三．设)(),(xgxf在[a,b]上二阶可导，并且0)(≠''xg，0)()(==bfaf，0)()(==bgag，试证：

（1）在(a,b)内，0)(≠xg，

（2）在(a,b)内至少存在一点ξ，使)

()()()(ξξξξgfgf''''=。证实：（1）用反证法。假设存在点),(bac∈，使0)(=cg。分离在],[],,[bcca上对)(xg运用罗尔定理，可得存在),(),,(21bcca∈∈ξξ，使得0)()(21='='ξξgg再在],[21ξξ上应用罗尔定理，又可得存在],[213ξξξ∈，使得0)(3=''ξg，这与题设冲突。故在(a,b)内，0)(≠xg。

（2）即证0)()()()(=''-''ξξξξfggf。为此作辅助函数：

)()()()()(xfxgxgxfxH'-'=

因为0)()()()(====bgagbfaf，故0)()(==bHaH。在[a,b]上对)(xH应用罗尔定理得：在(a,b)内至少存在一点ξ，使0)()()()()(=''-''='ξξξξξfggfH，从而有)

()()()(ξξξξgfgf''''=。分析：该题的证实主要运用了罗尔定理。因为题设中浮现了0)()(==bfaf，0)()(==bgag，因此在（1）的证实中可考虑用反证法，通过反复运用罗尔定理导出0)(3=''ξg，从而推出冲突，证得结论。而（2）的证实关键在于首先要将欲证的等式变形成某一函数在中值处的导数为零。从中选定一函数对其应用罗尔定理导出结论。

例四.设)(xf在[-a,a]上延续，在0=x处可导，且0)0(≠'f。

（1）求证：)1,0(),,0(∈∈?θax，)]()([)()(00xfxfxdttfdttfxxθθ--=+??-

（2）求θ+→0

limx证实：（1）令??-+=xxdttfdttfxF00)()()(，则)()()(xfxfxF--='。

按照拉格朗日中值定理，),0(ax∈?，)1,0(∈?θ，使得

)]()([)0)(()0()()(xfxfxxxFFxFxFθθθ--=-'=-=

即)]()([)()(00xfxfxdttfdttfxxθθ--=+??-

（2）因为θθθ

θθ+++→→-→'=--=+??002

00

0lim)0(2)()(lim2)()(limxxxxxfxxfxfxdttfdttf而运用洛必达法则，)0(2

122)()(lim2)()(lim0200

0fxxfxfxdttfdttfxxxx'=?--=+++→-→??。因此2

1lim0=+→θx。分析：此题运用的学问点和办法较为综合。既用到了积分上限的函数特性，又用到了拉格朗日中值定理另一种表达方式，以及洛必达法则、函数极限运算法则、导数概念等等。因此要求解题者需具备较扎实的微积分学问基础和一定的函数构造技巧。

例五.证实下列不等式：

（1）baba-≤-arctanarctan

（2）当1>x时，exex>

证实：（1）令],[,arctan)(baxxxf∈=，)(xf在],[ba上延续，在),(ba内可导，

因此按照拉格朗日中值定理，有))(()()(abfafbf-'=-ξ，ba--xeeξ，从而当1>x时，exex>。

分析：本例是运用拉格朗日中值定理证实不等式的典型实例。利用拉格朗日中值定理证实不等式的普通步骤为：（1）从所欲证的不等式中找到含函数值差的表达式，从中选定)(xf及一闭区间（2）运用拉格朗日中值定理得到一等式（3）利用此等式及ba-λλ。所以0)()(01

0≥-??λλdxxfdxxf，从而??≥λλ01

0)()(dxxfdxxf。分析：定积分的比较若积分区间相同，可考虑借助于定积分关于被积函数满足单调性来证实。若积分区间不相同，则可借助于积分第一中值定理将定积分化成函数值与区间长度乘积，再作比较。

例十二.设)(xf''在],[ba上延续，证实存在一点],[ba∈η，满足

)(12

)()]()([2)(3ηfabbfafabdxxfb

a''--=+--?证实：记点))(,()),(,(

bfbBafaA，简单发觉

)]()([2bfafab+-即为线段AB，直线bxax==,及x轴围成的梯形面积。因为线段AB的代数方程为：)()()()(axa

bafbfafy=-，所以dxaxa

bafbfafbfafabba)()()()()]()([2+=+-?从而dxaxa

bafbfafxfbfafabdxxfbab

a)()()()()()]()([2)(=+--??。令)()()()()()(axa

bafbfafxfxR=因为0)()(==bRaR，故可设)())(()(xKbxaxxR--=。作辅助函数：)())(()()(xKbtattRtH=，则)(tH有三个零点xba,,。因此应用罗尔定理得)(tH'有两个零点，再一次应用罗尔定理，)(tH''在],[ba内有一个零点，记为ξ，ξ与x有关。即0)(!2)()(!2)()(=-''=-''=''xKfxKRHξξξ，所以!

2)()(ξfxK''=，从而))((!2)()(bxaxfxR--''=ξ。于是有

dxbxaxfdxxRbfafabdxxfbabab

a))((!

2)()()]()([2)(--''==+--???ξ因为))((bxax--在],[ba上不变号，而已知)(xf''在],[ba上延续，按照积分其次中值定理，存在一点],[ba∈η，使得

)(12

)())((2)())((!2)(3ηηξfabdxbxaxfdxbxaxfbab

a''--=--''=--''??，从而结论得证。

分析：该题首先将欲证等式右端化为一个定积分，并导出被积函数的简明表达式，再利用积分其次中值定理得到左端表达式。证实技巧要求较高之处为被积函数的简明表达式的推导，这一过程亦有常规可寻，可先找出函数的零点，从而导出函数表达式中的一次因式。其余部分可通过构造辅助函数推得，参见例六。

三、微分、积分中值定理的综合应用办法与技巧

例十三.设)(xf在[0,1]上可导，且?=-2

/100)(2)1(dxxxff，试证实：存在

)1,0(∈ξ，使得ξξξ)

()(ff-='。

证实：令)()(xxfxF=，则有

)()(2)()(2)1()1(2/102

/10ηηηηηFfdxfdxxxffF==?===??，)2

1,0(∈η（积分第一中值定理）。在]1,[η上应用罗尔定理，存在)1,0()1,(?∈ηξ，使得0)(='ξF。即0)()(=+'ξξξff，从而有ξξξ)

()(ff-='。

分析：以上证法是从结论动身，将结论化成,0)()