高考数学重点难点复习(28)：求空间距离

难点28高考数学重点难点复习：求空间距离

空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面

的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.

・难点磁场

(★★★★)如图，已知ABC。是矩形,A5=aAZ)="以，平面45CQ,Rl=2c,。

是以的中点.

求：(1)。到3。的距离；

(2)P到平面80。的距离.

・案例探究

［例口把正方形A8CO沿对角线4c折起成直二面角，点E"分别是40、

的中点，点。是原正方形的中心，求：

(1)EF的长；

(2)折起后NE。尸的大小.

命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决

立体几何问题，属*★★★级题目.

知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.

错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必

须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直.

技巧与方法：建系方式有多种，其中以。点为

原点，以赤、0C.历的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单.

解：如图，以。点为原点建立空间直角坐标系。一xyz,设正方形A8CO边长

为。，贝U4(0,-—a,0),B(—a,0,0),C(0,—«,0),£>(0,0,—a),E(0,~—a,

22224

a),F(—a,—«,0)

44

(1)IEFF=(¥〃—0)2+(¥〃+90)2+(0一?a)2=EF=字〃

(2)OE=)而=亭亭,0)

2

777nV272V25/2a

OEOF=0xa+(----a)(a)H----a0=

44448

—*ci—•a—*■,一F'F1

IOE1=-,\OFh-,cos<0E,0F>=二==--

22\OE\\OF\2

：.ZEOF=\20°

［例2］正方体A8CD—4eGU的棱长为1,求异面直线AG与间的

距离.

命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属*★★★级题目.

知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面

距离，或面面距离，亦可由最值法求得.

错解分析：本题容易错误认为。由是AC与A©的距离，这主要是对异面

直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的

距离.

技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用

化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.

解法一：如图，连结AG，在正方体AG由,.,AiG〃AC,，4G〃平面4BC，

.••4G与平面A8C间的距离等于异面直线4G与A©间的距离.

连结8。|、BD,设8iDinAiG=0i,BDnAC=0

"：AC±BD,ACLDDi，；.AC，平面BBiOQ

I.平面ABC，平面BBQ。，连结SO,则平面ABCn平面58|。1。=810

作。iG_L8i。于G则。iG_L平面ABC

：.O\G为直线A\C\与平面ABC间的距离，即为异面直线A\C\与AS间的

距离.

在Rt^OOJi中，：OB=%,OOi=l,Jooj+o百2=当

...QG=。。。画=且,即异面直线4G与4步间距离为且.

。为33

解法二：如图，在AC上任取一点M,作MNL4B1于N,作MR_LAB于R,

连结RN,

n

•.・平面4BCiDi_L平面J_平面ApABBi,MRLAB\

"：AB\LRN,设AiR=x，贝ljR8]=l-x

VZC1Ai5i=ZAB|Ai=45°,

/.MR=X,RN=NB1=—(1-x)

2

MN=4MR2+RN2=k+g(l-x)2=J|(x-1)2+|(0<x<1)

...当x=工时，MN有最小值旦即异面直线4G与AB,距离为2.

333

・锦囊妙记

空间中的距离主要指以下七种：

⑴两点之间的距离.

(2)点到直线的距离.

(3)点到平面的距离.

(4)两条平行线间的距离.

(5)两条异面直线间的距离.

(6)平面的平行直线与平面之间的距离.

(7)两个平行平面之间的距离.

七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七

种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点

到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距

离.

在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.

求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移

法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.

求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长。)转化成求直线与平面

的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两

点间距离中最小的.

・歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)正方形A5CO边长为2,E、尸分别是48和CO的中点，将

正方形沿EF折成直二面角(如图),M为矩形AE内一点，如果

2.(****)三棱柱ABC—4山Ci中，AA|=1,AB=4,BC=3,ZABC=90°,

设平面与平面ABC的交线为/,则4G与/的距离为()

A.V10B.VTTC.2.6D.2.4

二、填空题

3.(****)如左下图，空间四点4、B、C、。中，每两点所连线段的长都

等于a,动点P在线段A8上，动点。在线段CO上，则P与。的最短距离为

4.(★★★★)如右上图，A8CO与ABE尸均是正方形，如果二面角E—4B—C

的度数为

30°,那么EF与平面A5CD的距离为.

三、解答题

5.(*****)在长方体ABC。-4181Gz)|中，AB=4,BC=3,CC\=2,如图:

⑴求证:平面4BG〃平面AC5；

(2)求(1)中两个平行平面间的距离；

(3)求点Bi到平面A\BC\的距离.

6.(*****)已知正四棱柱ABC。一4山Ci。”点E在棱

DiD上，截面EAC//D\B且面EAC与底面ABCD所成的角为

45°,A8=a,求：

(1)截面E4c的面积；

(2)异面直线AIBI与AC之间的距离；

(3)三棱锥Bi—EAC的体积.

7.(****)如图，已知三棱柱AiBiGf8C的底面是边长为2的正三角形,

侧棱4A与A3、4C均成45°角，且于E,AiFLCG于F.

⑴求点4到平面BiBCCi的距离；

(2)当A4多长时，点4到平面ABC与平面SBC。的距离相等.

8.(*****)如图，在梯形A8CO中，AD//BC,ZABC=-AB=-AD=a,

23

NA£)C=arccos1石，出_L面ABCD且PA=a.

p

(1)求异面直线AO与PC间的距离;

(2)在线段4。上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为*

参考答案

难点磁场

解：(1)在矩形A8CO中，^AELBD,E为垂足

连结QE,,：QAL^^ABCD,由三垂线定理得QE,BE

：.QE的长为。到BD的距离

在矩形ABCD中，AB=aAD=b,

ab

：.AE=

在Rtz^QAE中，QA=^PA=c

2

：.QE=c+-f^

Va2+b2

/.Q到BD距离为卜.

⑵解法-：•.•平面BQD经过线段出的中点，

到平面BQD的距离等于4到平面BQD的距离

在△AQE中，作4/7LQE,“为垂足

BD1AE,BDJ_。旦，8。，平面AQEBDA.AH

平面BQE,即A”为A到平面BQD的距离.

在RtAA0£中，'：AQ=cAE=，出‘

''^Ja2+b2

abc

：.AH=

7（a2+b2）c2+a2b2

...P到平面BD的距离为

yl(a2+b2)c2+a2b2

解法二：设点A到平面Q8。的距离为力，由

匕-8(2。=%-4犯得卜2\8。0*h=~S^ABD,AQ

h=$AABD•AQ=…=______abc_______

SbBQDyj(a2+b2)c2+a2b2

歼灭难点训练

一、1.解析：过点M作MM'_LE尸，则MM'，平面BCF

NMBE=NMBC

：.BM'为NE3C为角平分线，

：.ZEBM'=45°,BM'=6从而MN=也

2

答案：A

2.解析：交线/过8与AC平行，作COL于。，连G。，则CQ为4G

与I的距离，而CD等于AC上的高，即C£>=y,RtAC)C£)中易求得。。=?=2.6

答案：C

二、3.解析：以4、B、C、。为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，

取P、。分别为A3、C。的中点，因为4。=8。=*",，2。，48,同理可得「。，

CD,故线段P。的

长为P、Q两点间的最短距离，在Rt△APQ中，

PQ=JAQ2-AP2=J亭)2_(y=

答案：叵a

2

4.解析：显然N雨。是二面角E—AB—C的平面角，/以。=30°,过F作FG

，平面ABC。于G,则G必在AO上，由E/〃平面A8CD

FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=-.

2

答案：-

2

三、5.(1)证明：由于贝IJBG〃平面AC。

同理，48〃平面AC。，则平面48cl〃平面AC。

(2)解:设两平行平面413cl与ACDi间的距离为d,则d等于D\到平面48G

的距离.易求4G=5,4归=2后，Bg=匹,则COSAIBCI=3,则sinAiBC尸狗,

V65V65

则5.时=府由于％的=%电向，则京刖明他GR)•皿代入

求得4=约叵，即两平行平面间的距离为用画.

6161

(3)解:由于线段8。被平面B归G所平分,则9、5到平面A18G的距离

相等，则由(2)知点与到平面A]8Ci的距离等于空叵.

61

6.解：(1)连结DB交AC于。，连结E。，

•.•底面48CD是正方形

J.DOLAC,又面

：.EO±AC,即NEOZ)=45°

XDO=^-a,AC=0a,EO=——=a,SAEAC=­-(I

2cos4502

(2)：414，底面48。0,：.AiA±AC,又

，AiA是异面直线AiBi与AC间的公垂线

又EO//BD\,。为BD中点，：.DlB=2EO=2a

：.D\D=41a,:.AB与AC距离为亚a

(3)连结SO交。由于P,交E。于。，推证出S£>J_面EAC

...当。是三棱锥Bi—EAC的高，得

_1V223_V23

aaa

\-EAC"Y~r'2^^~

7.解：(1)：8B|，AIE,CC\VA\F,BB{//CC\

，平面A|EF

即面4E尸，面BBCiC

在RtZ^AiEBi中，

VZA|J5i£=45°,A\B\=a

...4£'=^^,同理4]尸=在^,又EF=a,:.A[E=^^a

222

同理4「=变4,又"=a

2

...△£4/为等腰直角三角形，Z£A,F=90°

过4作4NLEF,则N为EQ中点，且AN,平面BCCIBI

即AiN为点、Ai到平面BCG©的距离

：.AiN=-=-

22

又YAAi〃面BCC\B,4到平面BCQBi的距离为巴

2

：.a=2,所求距离为2

(2)设BC、81G的中点分别为。、D\,连结A。、。。1和4。”则。。।必过

点N,易证4。。自|为平行四边形.

'：B\C\1.D\D,B\C\LA\N

平面

.•.8C，平面A。。Mi

得平面ABCJ_平面AOD14”过Ai作Ai"J_平面ABC,交4。于M,

若AiM=AiN,又N4AM=NA|OiN,NAM4=N4ND|=9O°

△AM4igA4iNO".A4|=Ai。产百，即当44户百时满足条件.

8.解：(1)：BC//AD,BCu面PBC,，AO〃面PBC

从而与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.

过A作AELPB,y.AE±BC

，AEJ_平面PBC,AE为所求.

在等腰直角三角形用8中，PA=AB=a

：.AE=—a

2

(2)作CM"AB,由已知cosADC=|V5

/.tanADC=-,EPCM=-DM

22

."BCM为正方形，AC=®a,PC=6a

过A作AHLPC,在Rt△山C中，WA