高数微积分第六章多元函数微积分

高数微积分第六章多元函数微积分第1页，共143页，2023年，2月20日，星期三§6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念二、二元函数概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性第2页，共143页，2023年，2月20日，星期三注：

设P0(x0

y0)是xOy平面上的一个点

是某一正数点P0的邻域记为U(P0

)它是如下点集邻域

如果不需要强调邻域的半径则用U(P0)表示点P0的某个邻域点P0的某个去心邻域记作下页第3页，共143页，2023年，2月20日，星期三下页

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种

点与点集之间的关系

内点如果存在点P的某一邻域U(P)

使得U(P)E

则称P为E的内点

外点如果存在点P的某个邻域U(P)

使得U(P)E

则称P为E的外点

边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点边界点内点外点

E的边界点的全体称为E的边界记作E

第4页，共143页，2023年，2月20日，星期三开集

如果点集E的点都是内点,则称E为开集.下页闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集

举例

点集E{(x

y)|1<x2y2<2}是开集也是开区域点集E{(x

y)|1x2y22}是闭集也是闭区域点集E{(x

y)|1x2y22}既非开集也非闭集

区域(或开区域)

连通的开集称为区域或开区域闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域第5页，共143页，2023年，2月20日，星期三有界集

对于平面点集E

如果存在某一正数r

使得EU(O

r)

其中O是坐标原点则称E为有界点集

无界集

一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集

点集{(x

y)|xy0}是无界闭区域

点集{(x

y)|xy0}是无界开区域

举例

点集{(x

y)|1x2y24}是有界闭区域

下页第6页，共143页，2023年，2月20日，星期三注：二、二元函数概念下页举例二元函数的定义

设D是R2的一个非空子集称映射f

DR为定义在D上的二元函数通常记为zf(x

y)(x

y)D(或zf(P)

PD)其中D称为该函数的定义域

x

y称为自变量

z称为因变量

函数值与自变量x、y的一对值(x

y)相对应的因变量z的值称为f在点(x

y)处的函数值记作f(x

y)

即zf(x

y)

值域

f(D){z|zf(x

y)(x

y)D}

函数也可以用其它符号如zz(x

y)

zg(x

y)等

第7页，共143页，2023年，2月20日，星期三多元函数的定义域

函数zln(xy)的定义域为

{(x

y)|xy>0}

函数zarcsin(x2y2)的定义域为

{(x

y)|x2y21}

举例

下页第8页，共143页，2023年，2月20日，星期三z=ax+by+c二元函数的图形点集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)D}称为二元函数zf(x,y)的图形.

二元函数的图形是一张曲面.

z=ax+by+c表示一张平面.举例

方程x2+y2+z2a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面,其定义域均为D={(x,y)|x2+y2a2}.首页第9页，共143页，2023年，2月20日，星期三

二重极限概念可以推广到多元函数的极限.三、多元函数的极限二重极限的定义

设二元函数f(P)f(xy)也记作下页第10页，共143页，2023年，2月20日，星期三下页

例

设22221sin)(),(yxyxyxf++=,

求),(lim)0,0(),(®yxfyx.),(lim)0,0(),(®yxfyx=0第11页，共143页，2023年，2月20日，星期三必须注意

(1)二重极限存在,

是指P以任何方式趋于P0时,

函数都无限接近于A

.

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时,

函数趋于不同的值,

则函数的极限不存在.

提示讨论下页第12页，共143页，2023年，2月20日，星期三四、多元函数的连续性二元函数连续性定义

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.下页第13页，共143页，2023年，2月20日，星期三性质1(有界性与最大值最小值定理)

在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值多元连续函数的性质性质2(介值定理)

在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

结束第14页，共143页，2023年，2月20日，星期三§6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数上页下页铃结束返回首页第15页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、偏导数的定义及其计算法

类似地,可定义函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数.偏导数的定义

设函数zf(x

y)在点(x0

y0)的某一邻域内有定义若极限存在则称此极限为函数zf(x

y)在点(x0

y0)处对x的偏导数

记作>>>第16页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义偏导数的符号

如果函数zf(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么f(x,y)对x的偏导数是x、y的函数,这个函数称为函数zf(x,y)对x的偏导函数(简称偏导数),记作偏导函数第17页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义偏导数的符号偏导函数偏导函数的符号>>>第18页，共143页，2023年，2月20日，星期三偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.偏导函数第19页，共143页，2023年，2月20日，星期三

例

求zx23xyy2在点(1,2)处的偏导数.

解

偏导函数第20页，共143页，2023年，2月20日，星期三

解

例

例

求zx2sin2y的偏导数.

解

第21页，共143页，2023年，2月20日，星期三证原结论成立．第22页，共143页，2023年，2月20日，星期三有关偏导数的几点说明：１.２.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解第23页，共143页，2023年，2月20日，星期三3.偏导数存在与连续的关系？偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，

对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.第24页，共143页，2023年，2月20日，星期三但函数在点(0,0)并不连续.在点(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示：当点P(x

y)沿直线ykx趋于点(00)时有因此函数f(x

y)在(00)的极限不存在当然也不连续

第25页，共143页，2023年，2月20日，星期三偏导数的几何意义

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0z=f(x,

y0)z=f(x0,

y)

是截线z=f(x,

y0)在点(x0,

y0)处的切线Tx对x轴的斜率.

是截线z=f(x0,

y)在点(x0,

y0)处的切线Ty对y轴的斜率.第26页，共143页，2023年，2月20日，星期三偏导数的几何意义

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0

是截线z=f(x,

y0)在点(x0,

y0)处的切线Tx对x轴的斜率.

是截线z=f(x0,

y)在点(x0,

y0)处的切线Ty对y轴的斜率.第27页，共143页，2023年，2月20日，星期三设某产品的需求量偏导数的经济意义其中为该产品的价格，为消费者收入。称需求对价格的偏弹性需求对收入的偏弹性第28页，共143页，2023年，2月20日，星期三偏导数的经济意义科布-道格拉斯生产函数其中是由用品的成本）。偏导数分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。个人力单位和个资本单位生产出的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它第29页，共143页，2023年，2月20日，星期三二、高阶偏导数二阶偏导数

如果函数zf(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数zf(x,y)的二阶偏导数.

函数zf(x,y)的二阶偏导数有四个:其中fxy(x,y)、fyx(x,y)称为混合偏导数.

类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.第30页，共143页，2023年，2月20日，星期三

解

此例中两个混合偏导数是相等的.

例

设z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz¶¶、33xz¶¶、xyz¶¶¶2和yxz¶¶¶2.

第31页，共143页，2023年，2月20日，星期三那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

定理

解

例

设z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz¶¶、33xz¶¶、xyz¶¶¶2和yxz¶¶¶2.

第32页，共143页，2023年，2月20日，星期三

证

例

第33页，共143页，2023年，2月20日，星期三

证

例提示

第34页，共143页，2023年，2月20日，星期三

证

例第35页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用§6.4全微分上页下页铃结束返回首页应用

一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差第36页，共143页，2023年，2月20日，星期三由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分（perfectdifferential)第37页，共143页，2023年，2月20日，星期三全增量(perfectincrement)的概念第38页，共143页，2023年，2月20日，星期三全微分的定义其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关,则称函数zf(x,

y)在点(x,

y)可微分,

而AxBy称为函数zf(x,

y)在点(x,

y)的全微分,

记作dz,

即

dzAxBy.

如果函数在区域D内各点处都可微分,

那么称这函数在D内可微分.

下页

如果函数zf(x,

y)在点(x,

y)的全增量

zf(xx,

yy)f(x,

y)可表示为第39页，共143页，2023年，2月20日，星期三可微分与连续偏导数存在不一定连续,

但可微分必连续.

这是因为,

如果z=f(x,

y)在点(x,

y)可微,则

zf(xx,

yy)f(x,

y)AxByo(r),因此函数z=f(x,

y)在点(x,

y)处连续.下页于是从而第40页，共143页，2023年，2月20日，星期三可微分的必要条件>>>应注意的问题>>>下页可微分与连续偏导数存在不一定连续,

但可微分必连续.

如果函数zf(x

y)在点(x

y)可微分则函数在该点的偏导

偏导数存在是可微分的必要条件但不是充分条件

第41页，共143页，2023年，2月20日，星期三可微分的充分条件

以上结论可推广到三元及三元以上函数.

下页可微分的必要条件可微分与连续偏导数存在不一定连续,

但可微分必连续.

如果函数zf(x

y)在点(x

y)可微分则函数在该点的偏导则函数在该点可微分.

第42页，共143页，2023年，2月20日，星期三叠加原理

按着习惯,x、y分别记作dx、dy,

并分别称为自变量的微分,这样函数z=f(x,

y)的全微分可写作

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.

叠加原理也适用于二元以上的函数,

例如uf(x,

y,

z)的全微分为下页第43页，共143页，2023年，2月20日，星期三

例1

计算函数zx2yy2的全微分.

解

所以

例2

计算函数zexy在点(2,1)处的全微分.

解

所以dz2xydx(x22y)dy.dze2dx2e2dy.

下页因为因为第44页，共143页，2023年，2月20日，星期三解第45页，共143页，2023年，2月20日，星期三

解

首页

例3

因为所以第46页，共143页，2023年，2月20日，星期三设解:

类似可得机动目录上页下页返回结束第47页，共143页，2023年，2月20日，星期三二、全微分在近似计算中的应用下页

当函数zf(x,

y)在点(x0,

y0)处可微，那么函数L(x,y)

f

(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)fy(x,

y)(y-y0),

就称为函数zf(x,y)在点(x0,y0)处的线性化.近似式

f(x,

y)

L(x,y)

称为函数zf(x,y)在点(x0,y0)处的标准线性近似.

例求函数在点(3,2)处的线性化.第48页，共143页，2023年，2月20日，星期三

当函数zf(x,y)在点(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,并且|x|,|y|都较小时,有近似等式zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,即f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.

我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.第49页，共143页，2023年，2月20日，星期三

例4

有一圆柱体,

受压后发生形变,

它的半径由20cm增大到20.05cm,

高度由100cu减少到99cm.

求此圆柱体体积变化的近似值.

解

设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,

则有V

r2h.

即此圆柱体在受压后体积约减少了200cm3.

2201000.05202(1)VdV2rhrr2h200(cm3),VrrVhh下页f(xx,

yy)f(x,

y)fx(x,

y)xfy(x,

y)y.

zdzfx(x,

y)xfy(x,

y)y,

已知r20,

h100,

r0.05,

h1,根据近似公式,

有第50页，共143页，2023年，2月20日，星期三

例5

计算(1.04)2.02的近似值.

(1.04)2.02所以x

yyx

y1xx

ylnx

y,

f(xx,

yy)

f(x,

y)fx(x,

y)xfy(x,

y)y1.08.1221210.0412ln10.02

解

设函数f(x,

y)xy.

显然,

要计算的值就是函数在

x1.04,

y2.02时的函数值f(1.04,2.02).

结束f(xx,

yy)f(x,

y)fx(x,

y)xfy(x,

y)y.

zdzfx(x,

y)xfy(x,

y)y,因为

取x1,

y2,

x0.04,

y0.02.第51页，共143页，2023年，2月20日，星期三练习题第52页，共143页，2023年，2月20日，星期三第53页，共143页，2023年，2月20日，星期三练习题答案第54页，共143页，2023年，2月20日，星期三第五节、复合函数微分法与隐函数微分法一元复合函数求导法则微分法则第55页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则1.复合函数的中间变量为一元函数情形第56页，共143页，2023年，2月20日，星期三例如,上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.以上公式中的导数称为全导数.第57页，共143页，2023年，2月20日，星期三定理22.复合函数的中间变量为多元函数情形第58页，共143页，2023年，2月20日，星期三链式法则如图示第59页，共143页，2023年，2月20日，星期三

第60页，共143页，2023年，2月20日，星期三

设zf(u

v)

u(x

y)

v(x

y)

则

例.

解:

exy[ysin(xy)cos(xy)]

eusinv1eucosvyeusinvexy[xsin(xy)cos(xy)]1eucosvx

设zf(u

v)u(t)v(t)则第61页，共143页，2023年，2月20日，星期三

3.复合函数的中间变量既有一元又有多元函数情形第62页，共143页，2023年，2月20日，星期三特殊地即其中两者的区别区别类似第63页，共143页，2023年，2月20日，星期三解:第64页，共143页，2023年，2月20日，星期三例.解:第65页，共143页，2023年，2月20日，星期三为简便起见,引入记号例.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:

令则第66页，共143页，2023年，2月20日，星期三全微分形式不变性的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变性二、多元复合函数的全微分第67页，共143页，2023年，2月20日，星期三第68页，共143页，2023年，2月20日，星期三例1.例.利用全微分形式不变性解例1.解:所以第69页，共143页，2023年，2月20日，星期三三、隐函数微分法隐函数的求导公式第70页，共143页，2023年，2月20日，星期三

例.

验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.

解:

设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.隐函数存在定理:则

设函数F(x

y)在点P(x0

y0)的某一邻域内具有连续偏导数

F(x0

y0)0

Fy(x0

y0)0

则方程F(x

y)0在点(x0

y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x)

它满足条件y0f(x0).

由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).第71页，共143页，2023年，2月20日，星期三

解:

设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.则由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).提示:

由方程F(x,y)0确定的隐函数yf(x)的导数为

例.

验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.第72页，共143页，2023年，2月20日，星期三

解:

设F(x,y)x2y21,Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.则由隐函数存在定理,方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).

例.

验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.第73页，共143页，2023年，2月20日，星期三隐函数存在定理>>>

设函数F(x

y

z)在点P(x0

y0

z0)的某一邻域内具有连续的偏导数且F(x0

y0

z0)0

Fz(x0

y0

z0)0

则方程F(x

y

z)0在点(x0

y0

z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x

y)

它满足条件z0f(x0

y0)

并有第74页，共143页，2023年，2月20日，星期三解:令则第75页，共143页，2023年，2月20日，星期三内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,3.隐函数微分法.第76页，共143页，2023年，2月20日，星期三练习题第77页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值拉格朗日乘数法§6.6多元函数的极值及其求法上页下页铃结束返回首页第78页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、多元函数的极值及最大值、最小值下页极值的定义

设函数zf(x

y)在点(x0

y0)的某个邻域内有定义如果对于该邻域内任何异于(x0

y0)的点(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

则称函数在点(x0

y0)有极大值(或极小值)f(x0

y0)

极大值、极小值统称为极值

使函数取得极值的点称为极值点

第79页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、多元函数的极值及最大值、最小值极值的定义

设函数zf(x

y)在点(x0

y0)的某个邻域内有定义如果对于该邻域内任何异于(x0

y0)的点(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

则称函数在点(x0

y0)有极大值(或极小值)f(x0

y0)

例

函数z3x24y2在点(0,0)处有极小值.提示:

当(x,

y)=(0,0)时,z=0,而当(x,

y)(0,0)时,z0.

因此z=0是函数的极小值.下页第80页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、多元函数的极值及最大值、最小值极值的定义

设函数zf(x

y)在点(x0

y0)的某个邻域内有定义如果对于该邻域内任何异于(x0

y0)的点(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

则称函数在点(x0

y0)有极大值(或极小值)f(x0

y0)

提示:

例

当(x,

y)=(0,0)时,z=0,而当(x,

y)(0,0)时,z0.因此z=0是函数的极大值.下页第81页，共143页，2023年，2月20日，星期三提示:

因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.

例

函数zxy在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值.下页一、多元函数的极值及最大值、最小值极值的定义

设函数zf(x

y)在点(x0

y0)的某个邻域内有定义如果对于该邻域内任何异于(x0

y0)的点(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

则称函数在点(x0

y0)有极大值(或极小值)f(x0

y0)

第82页，共143页，2023年，2月20日，星期三下页定理1(取得极值的必要条件)

设函数zf(x

y)在点(x0

y0)具有偏导数且在点(x0

y0)处有极值则有fx(x0

y0)0

fy(x0

y0)0

类似地可推得如果三元函数uf(x

y

z)在点(x0

y0

z0)具有偏导数则它在点(x0

y0

z0)具有极值的必要条件为fx(x0

y0

z0)0

fy(x0

y0

z0)0

fz(x0

y0

z0)0

>>>第83页，共143页，2023年，2月20日，星期三

凡是能使fx(x

y)0

fy(x

y)0同时成立的点(x0

y0)称为函数zf(x

y)的驻点

驻点

设函数zf(x

y)在点(x0

y0)具有偏导数且在点(x0

y0)处有极值则有fx(x0

y0)0

fy(x0

y0)0

下页讨论

驻点与极值点的关系怎样？提示具有偏导数的函数的极值点必定是驻点

函数的驻点不一定是极值点>>>定理1(取得极值的必要条件)例如,有驻点(0,0),

但在该点不取极值.第84页，共143页，2023年，2月20日，星期三下页定理2(取得极值的充分条件)

设函数zf(x

y)在点(x0

y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数又fx(x0

y0)0

fy(x0

y0)0

令fxx(x0

y0)A

fxy(x0

y0)B

fyy(x0

y0)C

则f(x

y)在(x0

y0)处是否取得极值的条件如下

(1)ACB2>0时具有极值且当A<0时有极大值当A>0时有极小值

(2)ACB2<0时没有极值

(3)ACB20时可能有极值也可能没有极值

第85页，共143页，2023年，2月20日，星期三极值的求法第一步解方程组fx(xy)0

fy(xy)0求得一切实数解即可得一切驻点.

第二步对于每一个驻点(x0

y0)求出fxx(x0

y0)

fxy(x0

y0)

fyy(x0

y0)

第三步定出fxx(x0

y0)fyy(x0

y0)

-fxy2(x0

y0)的符号

判定f(x0

y0)是否是极值、是极大值还是极小值

函数f(x

y)在驻点处如果fxxfyy-fxy2>0则函数在驻点处取得极值

如果fxxfyy-fxy2>0则函数在驻点处不取得极值在极值点处当fxx<0时有极大值当fxx>0时有极小值下页第86页，共143页，2023年，2月20日，星期三例求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第87页，共143页，2023年，2月20日，星期三在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;第88页，共143页，2023年，2月20日，星期三例

讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为第89页，共143页，2023年，2月20日，星期三应注意的问题不是驻点也可能是极值点.

因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑.下页但(00)不是函数的驻点

第90页，共143页，2023年，2月20日，星期三最大值和最小值问题如果f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.讨论:

比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗？提示:

不能,最大值和最小值也可能在区域的边界上取得,而极值是在区域的内部求得的.下页第91页，共143页，2023年，2月20日，星期三

使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上.最大值和最小值的求法

将函数f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

如果函数f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值(最小值).下页最大值和最小值问题如果f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.第92页，共143页，2023年，2月20日，星期三下页

例某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取多少时才能使用料最省

解

根据题意可知水箱所用材料面积的最小值一定存在并在开区域D{(x

y)|x>0

y>0}内取得又因为函数在D内只有一个驻点(22)

所以此驻点一定是A的最小值点

设水箱的长为xm

宽为ym

则所用材料的面积为水箱所用的材料最省

第93页，共143页，2023年，2月20日，星期三二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值.

上述问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题,这是一个条件极值问题.

例如,求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题.

设长方体的三棱的长为x,y,z,则体积Vxyz.

又因假定表面积为a2,所以自变量x,y,z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2.下页第94页，共143页，2023年，2月20日，星期三求条件极值的方法(1)将条件极值化为无条件极值

例如,求Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值.

有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题.这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.下页二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值.第95页，共143页，2023年，2月20日，星期三(2)用拉格朗日乘数法

在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值,需要用一种求条件极值的专用方法,这就是拉格朗日乘数法.下页求条件极值的方法(1)将条件极值化为无条件极值二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值.第96页，共143页，2023年，2月20日，星期三拉格朗日乘数法

要找函数zf(x,y)在附加条件j(x,y)0下的可能极值点,可以先作辅助函数(拉格朗日函数)F(x,y)f(x,y)lj(x,y),其中l为某一常数(拉格朗日乘子).

然后解方程组

上述方程组的解(x,y)就是所要求的可能的极值点,

对于所求得的可能的极值点还需判断是否是极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.下页第97页，共143页，2023年，2月20日，星期三

例

求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.

设长方体的三个棱长x,y,z,则问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)=a2下的最大值.

作拉格朗日函数解方程组F(x,y,z)xyzl(2xy2yz2xza2),结束

因为由问题本身可知最大值一定存在所以最大值就在这个可能的值点处取得此时

解

第98页，共143页，2023年，2月20日，星期三小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法第99页，共143页，2023年，2月20日，星期三设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.第100页，共143页，2023年，2月20日，星期三解按题意，即求函数在条件第101页，共143页，2023年，2月20日，星期三第102页，共143页，2023年，2月20日，星期三解由第103页，共143页，2023年，2月20日，星期三第104页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、二重积分的概念二、二重积分的性质§6.7二重积分的概念与性质第105页，共143页，2023年，2月20日，星期三一、二重积分的概念1

曲顶柱体的体积

设一立体的底是xOy面上的闭区域D

它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf(x

y)

这里f(x

y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体

第106页，共143页，2023年，2月20日，星期三提示

相应地把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.提示其中l为各小区域直径的最大值.用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积ViVif(i

i)i

用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积

将分割加细取极限求得曲顶柱体体积的精确值si(xi,hi)一、二重积分的概念1

曲顶柱体的体积用曲线网把D分成小区域

1

2

n

第107页，共143页，2023年，2月20日，星期三二重积分的定义

设f(x

y)是有界闭区域D上的有界函数

将闭区域D任意分成n个小闭区域1

2

n

其中i表示第i个小闭区域也表示它的面积

在每个小闭区域i上任取一点(i

i)

作和

设为各小闭区域的直径中的最大值如果当

0时这和式的极限总存在则称此极限为函数f(x

y)在闭区域D上的二重积分记为第108页，共143页，2023年，2月20日，星期三———积分号

二重积分的定义积分中各部分的名称f(x

y)——被积函数

f(x

y)d—被积表达式

d———面积元素

x

y———积分变量

D————积分区域

——积分和

第109页，共143页，2023年，2月20日，星期三对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义:当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．第110页，共143页，2023年，2月20日，星期三

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素(arealelement)为第111页，共143页，2023年，2月20日，星期三

二、二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则性质2

如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2

则第112页，共143页，2023年，2月20日，星期三注

二、二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则

如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和

性质2

如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2

则第113页，共143页，2023年，2月20日，星期三

二、二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则性质2

如果闭区域D被一