新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版平面几何最值问题

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在平面几何的动向问题中，当某几何元素在给定条件改动时，求某几何量〔如线段的长度、图形的周

长或面积、角的度数以及它们的和与差〕的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：〔1〕应用两点间线段最短的公义〔含应用三角形的三边关系〕

求最值；〔2〕应用垂线段最短的性质求最值；〔3〕应用轴对称的性质求最值；〔4〕应用二次函数求最值；

5〕应用其余知识求最值。下边经过近来几年全国各地中考的实例商讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公义〔含应用三角形的三边关系〕求最值：

例1.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的极点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，此中AB=2，BC=1，运动过程

中，点D到点O的最大距离为【】A．21B．5C．1455D．552【考点】

【分析】

例2.在锐角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD均分∠ABC，M、N分别是BD、BC

上的动点，那么CM+MN的最小值是。

例3、以以下列图，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点

P为线段EF上一个动点，连结BP、GP，那么△BPG的周长的最小值是_．

二、应用垂线段最短的性质求最值：

例4.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．假定点P在边AC上挪动，那么BP的最小值是．

【考点】

【分析】

例5.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD

上的随意一点，那么PK+QK的最小值为【】A．1B．3C．2

D．3＋1

【考点】

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【分析】

例6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动〔点E不与点A、C重合〕，且保持AE=CF，连结DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有以下结论：

①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不能够能为正方形；

③四边形CEDF的面积随点E地点的改变而发生变化；

④点C到线段EF的最大距离为．此中正确结论的个数

是【】

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】

【分析】

例8.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画

⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，那么线段EF长度的最小值为．

【考点】

【分析】

例9.以以下列图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．〔1〕证明不论、在．上怎样滑动，总有=；EFBCCDBECF〔2〕当点、F在．上滑动时，分别商讨四边形和△的面积能否发生变化？假如不变，求EBCCDAECFCEF出这个定值；假如变化，求出最大〔或最小〕值．

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例10.〔云南昆明12分〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿

AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点抵达终点时，另一个运动点也随之停止运动．〔1〕求AC、BC的长；〔2〕设点P的运动时间为x〔秒〕，△的面积为y〔2〕，当△存在时，求y与x的函数关系式，PBQcmPBQ并写出自变量x的取值范围；〔3〕当点Q在上运动，使⊥时，以点、、为定点的三角形与△ABCCAPQABBPQ能否相像，请说明原因；〔4〕当x=5秒时，在直线PQ上能否存在一点M，使△BCM得周长最小，假定存在，

求出最小周长，假定不存在，请说明原因．

三、应用轴对称的性质求最值

例11.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN

周长最小时，那么∠AMN＋∠ANM的度数为【】

A．130°B．120°C．110°D．100°

【考点】第3页〔共5页〕

【分析】

例12.如图，在矩形中，＝6，＝8，点E是中点，点F是边上的随意一ABCDABBCBCCD点，当△AEF的周长最小时，那么DF的长为【】A．1B．2C．3D．4例13.如图，在菱形中，对角线=6，=8，点、分别是边、的中点，点P在上运动，ABCDACBDEFABBCAC在运动过程中，存在PE+PF的最小值，那么这个最小值是【】

A．3B．4C．5D．6例14.如图，在梯形中，∥，∠=90°，=6，对角线ACABCDABCDBADAB均分∠BAD，点E在AB上，且AE=2〔AE＜AD〕，点P是AC上的动点，那么PE+PB的最小值是．

二、应用二次函数求最值：

例15.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且素来保持

AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．

【考点】

【分析】

例16.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同

侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．

【考点】

【分析】

例17.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的随意一点〔P与B、C不重合〕，过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

连结AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

(2)假定设BP为x，CE为y，试确立y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大

值是多少？(3)假定PE∥BD，试求出此时BP的长.

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【考点】

【分析】

例6.〔江苏苏州8分〕如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左边半圆上的动