理论力学精品课程第六章 空间力系

第6章空间力系

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空间力对点的矩和力对轴的矩

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空间任意力系的简化※

简化结果分析

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空间汇交力系

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空间力偶理论※

结论与讨论

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重心

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空间任意力系的平衡方程

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空间约束和约束反力

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空间力系平衡问题举例第6章空间力系§6-1空间汇交力系1.空间力的投影和分解OxyFz直接投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+FzkyzOxFFxy二次投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk2.空间汇交力系的合成与平衡条件

空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。平衡条件平衡方程

求：绳的拉力和墙体的约束反力。

例题1OABCEPyxzFEFBFA解：取球体为研究对象解得：§6-2力对点的矩和力对轴的矩1.力对点的矩OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)空间的力对O点之矩取决于：（1）力矩的大小；（2）力矩的转向；（3）力矩作用面方位。★

须用一矢量表征

MO(F)=Fh=2△OAB

OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)MO(F)定位矢量2.力对轴的矩BAFOxyzhFxybFz★力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxyh=±2△OAb力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。Mz(F)☆

当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy力对轴之矩的解析表达式3.力对点的矩与力对轴的矩的关系●力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。Mz(F)(x,y,z)FxyMz(F)=MO(Fxy)

=±2△Oab求：MO(F)

例题2已知：F、a、b、、解：(1)直接计算(2)利用力矩关系zFOabcAxy已知：F

、a、b、c求：力F对OA轴之矩例题3MO(P)解：（1）计算MO(P)（2）利用力矩关系OABCFD已知：OA=OB=OC=b,OA⊥OB⊥OC.求：力F对OA边的中点D之矩在AC方向的投影。例题4解：利用力矩关系xyzOABCFDxyz§6-3空间力偶(1)力偶矩的大小；(2)力偶的转向；(3)力偶作用面的方位。M自由矢量空间力偶的定义:空间力偶的等效条件两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。AFBMM=M1+M2+…+Mn=∑Mi

空间力偶系的合成与平衡合力偶矩矢：平衡条件平衡方程§6-4空间任意力系的简化zABCF1F2F3OxyOyxzM2M1M3xzyOMO主矢FR′MO主矩xzyOMO§6-5空间任意力系的简化结果分析●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′●

FR=0，MO≠0′★

由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。1.空间任意力系简化为一合力偶的情形oMoo1FRMO(FR)=FRd=MO=∑MO(Fi)MO(FR)=∑MO(Fi)Mz(FR)=∑Mz(Fi)●

FR≠

0，MO

≠0且

FR⊥MO′′o1FR′′FRdo2.空间任意力系简化为一合力的情形·合力矩定理●

FR≠

0，MO=0′合力的作用线通过简化中心●

FR≠

0，MO≠0且FR∥Mo′′OMOOMOOO力螺旋左螺旋右螺旋3.空间任意力系简化为力螺旋的情形OMo′′Mo′●

FR≠

0，MO≠0，且为一般状态′OFRO1Mo′dOMO●

FR=0，MO=0′原力系平衡4.空间任意力系简化为平衡的情形OxyzF1F2ABCDEGH棱长为a

的正方体上作用的力系如图示。则（1）力系的主矢量；（2）主矢量在OE方向投影的大小；（3）力系对AC

轴之矩；（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。例题5OxyzF1F2ABCDEGH解:（1）力系的主矢量（2）主矢量在OE方向投影的大小（3）力系对AC轴之矩OxyzF1F2ABCDEGH（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小OxyzF1F2ABCDEGH§6-6空间任意力系的平衡方程平衡条件：FR=0

Mo=0′平衡方程:空间平行力系平面任意力系§6-7空间约束类型及其约束反力（1）空间铰链：（2）径向轴承：（3）径向止推轴承：（4）空间固定端：§6-8空间力系平衡问题举例已知：

Q=100kN，P=20kN，a=5m，l=3.5m，=30°求：各轮的支持力。又当=0°时，最大载重Pmax是多少。例题6PAB,CDQHzCABEHDxy

解:

取起重机为研究对象FAFCFB解得:FA=19.3kN，FB=57.3kN，FC=43.4kN（2）当=0°，由上式第一个方程得：为确保安全，必须：FA≥0解得:FA=19.3kN，FB=57.3kN，FC=43.4kNPAB,CDQHzCABEHDxy

FAFCFBabcABPF1F2xzy已知：a=300mm，b=400mm，c=600mm，R=250mm，r=100mm，P=10kN，F1=2F2。求：

F1、F2

及A、B处反力。例题7解：取系统为研究对象abcABPF1F2xzyFAxFAzFBxFBzyABCDM1M2M3bcaxz例题8已知：力偶矩M2和M3求：平衡时M1和支座A、D的反力。yABCDM1M2M3bcaxzFAyFAzFDyFDzFDx解：取曲杆为研究对象解:

取板为研究对象例题9已知：等边三角形板的边长为a，在板面内作用一矩为M的力偶，板、杆自重不计；求：杆的内力。MACBDEF30°30°30°123456F1F4F3F6F5F21.重心的概念及其坐标公式zOxyPPiC△VixCyCzCxiyizi由合力矩定理，得若物体是均质的，得§6-9重心曲面：曲线：均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心（1）用组合法求重心(a)分割法x1=－15,y1=45,A1=300x2=5,y2=30,A2=400x3=15,y3=5,A3=300解:建立图示坐标系求：Z形截面重心。例题10oxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mm(b)负面积法（负体积法）40mm50mmxyo20mm解：建立图示坐标系，由对称性可知：yC=0求：图示截面重心。例题11（3）用实验方法测定重心的位置

(a)悬挂法AFAPABFBPCDE

(b)称重法F1F2第一步：第二步：1.

空间平行力系简化的最终结果一定不可能为力螺旋。2.

根据力的平移定理，一个力平移后得到一个力和一个力偶，反之一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。3.

作用于刚体上的任何三个相互平衡的力，必定共面。4.

空间任意力系总可以用两个力来平衡。5.若空间力系各力作用线都平行于某一平面，则其最多的独立平衡方程有

个；若各力的作用线都垂直于某平面，则其最多的独立平衡方程有

个；若各力的作用线都与某一直线相交，则其最多的独立平衡方程有

个。

思考题PPPabc6.沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等的力P，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则a、b、c

应满足关系：

。

7.

棱长为a

的正方体上作用的力系如图示。则其简化的最后结果是：

。oxyzF1F2F3oxyzF1F2F3F4

结论与讨论1.

力在空间直角坐标轴上的投影直接投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+FzkOxyFz二次投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+FzkyzOxFFxy2.力矩的计算（1）力对点的矩

OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)

MO(F)=Fh=2△OAB

OABabFFxyhz●力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。Mz(F)

=Mo(Fxy)=±Fxyh=±2△oab

（2）力对轴的矩

yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系●力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。3.合力矩定理●力系的合力对任一点（或任一轴）之矩等于力系中各力对同一点（或同一轴）之矩的矢量和（代数和）。4.空间力偶及其等效条件(1)力偶矩的大小；(2)力偶的转向；(3)力偶作用面的方位。M自由矢量空间力偶的定义:空间力偶的等效条件两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。AFBM5.空间力系的简化与合成主矢主矩最后