课件中值定理

2012-11-Fermat引 y=f(x)在x0且f(x)f(x0f(x则f(x

在x0的该邻域内任取则f(x0xf(x0

f(x)limf

x)f(x0

f(x0)

(x0)

f(x)

(x0

f(x0 2012-11- yf(x yf(x)abxyf(x在[ab]在(a,b)内可导 f(a)=f则至少存在一点(ab),f(证明思路：y=f(x)在[ab]M,M=m

(abMm,2012-11-0, xf(x) 00, xyo1xf(xxyo1xf(x)x xf(x在x0

f(x)x,x[0,1]f(0)f(1)

2012-11-推论.y=f(x(abf(af(b则至少存在一点(ab),f(f(a),F(x)f(x),f(b),

xaxb,xb.则F(x)在[a,b]上满 注：函数延拓的思想！P502012-11-例1.f(x)x1)(x2)(x3)(x4则方程f(x有3(12),(2,3),(34)内P82例 例2.f(x[0,1上连续，在(0,1内可导，f(1求证至少存在一点 nf()f()提示：构造辅助函数(x)xnf在[0,1]上

P82例3.n=2情形2012-11-例3.f(xC0且在0)内可导，证明至0),使f(f(cot.提示：构造辅助函数F(xf(xsin在[0,π]上 例4.f(xf(xf(x的零点提示:构造辅助函数F(x)exf(x在[x1,x2]上 2012-11-例5.证明x55x10有且仅有一个小于1的正实根.设f(x)x55x1,则f(xC[0,1].存在性.（零点定理∵f(0)1,f(13.方程f(x)01的正根唯一性.（ 设x0,x1(0,1),x0x1,f(x0)f(x1)0,则f(x)在[x0,x1]满 故至少存在一点(x0x1)(01),f()但f(x)5(x41)0,x 即证2012-11-P87 Lagrange中值定理 设y=f(x)满足：

yF(a

2012-11-yfF(b

[a,

a (2)在(ab)则至少存在一点(ab),使f(f(bf(a)bF(x)f(x)f(b)f(a)b在[a,b]用定理

P872012-11-注：(1RolleLagrange(2)Lagrange中值定理的其它形式： f(b)f(a)f()(ba).

yf(xx)ff(x (0推论1.在区间I上，f(x)0 f(x)常数证法提示在区间I上任取两点构成的区间用Lagrange中值定理推论2.I上，f(x)g(x)证法提示令F(xf(xg(x)，用推论

f(x)g(x)P87例6.证明：arcsinxarccosx,x[12证：设f(xarcsinxarccosx,

2012-11-1f(1

x(1,1 f(x)arcsinxarccosx1x0,得C2 f(x).即证2又f(122012-11-P85例P88 Cauchy中值定 (1[ab]

f(x),g(x

2012-11-(2(ab)内可导，g(x则至少存在一点(ab),使f(bf(a)f(g(b)g(a) g((x)f(b)f(a)g(x)fg(b)g(a)在[a,b]用定理 P872012-11-P86例例