高中数学课件第二章10节函数模型及其应用

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数

类型增长的含义.呈现目标2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、

分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)

的广泛应用.

三种函数模型的性质

函数

性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳单调递增单调递增单调递增复习检测

函数

性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴随x增大逐渐表现为与x轴随n值变化而不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax平行一样平行一样[思考探究]以上三种函数都是单调增函数，它们的增长速度相同吗？在(0，＋∞)上随着x的增大，三种函数的函数值间有什么关系？提示：三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有ax＞xn＞logax.1.下列函数中随x的增大而增大速度最快的是(

)A.y＝B.y＝100lnxC.y＝x100D.y＝100·2x解析：因为指数函数的增大速度较快，故可排除B、C.又∵e＞2＞1，∴y＝的增大速度要比y＝100·2x的增大速度要快.答案：A自学检测2.在一定范围中，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，如果购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是(

)

A.820元B.840元

C.860元D.880元解析：设y＝ax＋b，则解得∴y＝－10x＋9000，由400＝－10x＋9000得x＝860(元).答案：C3.2006年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，则到2011年7月1日可取款(

)

A.a(1＋x)5元B.a(1＋x)6元

C.a＋(1＋x)5元D.a(1＋x5)元解析：因为年利率按复利计算，所以到2011年7月1日可取款a(1＋x)5.答案：A4.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3公里以内为起

步价8元(即行程不超过3公里，一律收费8元)，若超过3公

里除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若某

乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客

下车时乘车里程数为7.4公里，则乘客应付的车费是

.解析：乘车里程数为7.4，则付费应为8＋1.5×4.4＝14.6，四舍五入后乘客应付的车费为15元.答案：15元5.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，求围成的矩形最大面积(围墙厚度不计).解：设矩形的长为xm，宽为，则S＝当x＝100时，Smax＝2500m2.答：围成矩形最大面积为2500m2.

1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次

函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)

或直线下降(自变量的系数小于0).2.很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给

出，而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票

价与路程之间的关系，就是分段函数.知识为例寻找工具[特别警示]分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起.要注意各段变量的范围，特别是端点值.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨).(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.[思路点拨][课堂笔记]

(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4且5x＞4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x＞4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.所以y＝(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增.当x∈[0，]时，y≤f()＝11.52；当x∈(，]时，y≤f()＝22.4；当x∈(，＋∞)时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元).

保持两户用水比例不变，若两户用水均不超过4吨，则两户共交水费的最大值是多少？解：只要甲户不超过4吨，则乙户一定不超过4吨，∴5x≤4，即x≤，∴ymax＝1.8×(4＋3×)＝11.52(元).

有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错.某人要做一批地砖，每块地砖(如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？[思路点拨][课堂笔记]

(1)图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴△CFE为等腰直角三角形，∴四边形EFGH是正方形.(2)设CE＝x，则BE＝0.4－x，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，W＝·3a＋×(0.4－x)×0.4×2a＋[0.16－－×0.4×(0.4－x)]a＝a(x2－0.2x＋0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)，由a＞0，当x＝0.1时，W有最小值，即总费用最省.答：当CE＝CF＝0.1米时，总费用最省.指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查.在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示.通常可表示为y＝a·(1＋p)x(其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039)[思路点拨][课堂笔记]

(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%).2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.012＝log1.0121.20≈16(年).(4)由100×(1＋x%)20≤120，得(1＋x%)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x%)≤lg1.2＝0.079，所以lg(1＋x%)≤＝0.00395，所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9%，即年自然增长率应该控制在0.9%.

高考数学应用题的命题背景常常关注一些与现实生活中密切相关的人文性问题，人口现状、失学儿童的求助、世界环保、人文与社会，这些源于生活而应用于生活的命题形式，是高考命题的首选.09年浙江高考以与居民生活密切相关的生活用电问题为背景考查了函数在实际问题中的应用，是高考的一个新的考查方向.感悟验证拓展提高

[考题印证](2009·浙江高考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为

元(用数字作答).【解析】

高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元).低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元).故该家庭本月用电量为a＋b＝148.4(元).【答案】

148.4[自主体验]据调查，某地区100万从事传统农业的农民人均年收入为3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计，如果有x(x＞0)万农民进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a元(a＞1).(1)在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这100万农民的人均年收入达到最大.解：(1)由题意得(100－x)·3000·(1＋2x%)≥100×3000，即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，又∵x＞0，∴0＜x≤50.(2)设这100万农民的人均年收入为y元，则y＝＝＝－[x－25(a＋1)]2＋3000＋375(a＋1)2(0＜x≤50).又∵a＞1，∴25(a＋1)＞50，又函数y在(0,50]上单调递增，∴当x＝50时，y最大.答：安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大.1.某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分)与细

胞数n(单位：个)的部分数据如下：t02060140n128128达标总结根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于(

)A.200

B.220C.240D.260解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝，令n＝1000，得＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分.答案：A2.某企业去年销售收入1000万元，年成本分为年生产成本500万元与年广告费成本200万元两部分.若利润的

P%为国税且年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按P%征国税，其他不纳税，已知该企业去年共纳税120万元，则税率P%为(

)A.10%B.12%C.25%D.40%解析：(1000－500－200)P%＋(200－1000×2%)P%＝120，所以P%＝25%.答案：C3.某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数.若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为(

)A.15B.40C.25D.30解析：根据分段函数关系，面试对象人数为60即y＝60，则应用y＝2x＋10＝60，可得x＝25，即该公司拟录用人数为25.答案：C4.某超市销售一种奥运纪念品，每件售价11.7元，后来，此

纪念品的进价降低了6.4%，售价不变，从而超市销售这种

纪念品的利润提高了8%.则这种纪念品的原进价是

元.解析：设原进价为x元，则依题意有(11.7－x)(1＋8%)＝11.7－(1－6.4%)x，解得x＝6.5.答案：6.55.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为

km，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2008km，那么在t∈[1,2]时，汽车里程表读数S与时间t的函数解析式为

.解析：汽车在前3小时内行驶的路程为三个矩形的面积50×1＋80×1＋90×1＝220；当t＝1时，汽车的里程表读数为2008＋50＝2058，则t∈[1,2]时，汽车的里程表读数为S＝2058＋80(t－1)＝80t＋1978