停车距离问题

停车距离问题一一数学建模案例摘要：汽车在行驶中，为规避险情，常常需要急刹车。怎样实施刹车操作，最大限度地规避险情，保障司乘人员、车辆、障碍物的安全呢？在交通事故发生后，交管部门对事故现场的勘探，也常常需要还原驾驶人员刹车的操作是否规范？车辆是否在事故发生时超速行驶？以便公正、公平地进行事故责任认定。所以，研究汽车刹车问题就具有现实意义。本文旨在通过对行驶中的汽车刹车距离问题的探索，用数学模型刻画影响汽车刹车距离的关键因素，及各因素之间的数量关系。为驾驶人的安全驾驶及交管部门的事故责任认定，提供有价值的参考。关键词：距离、速度、参数、假设、检验、线性回归、数学建模。一、符号说明驾驶人在实施刹车前，要根据险情判断何时开始刹车及刹车力度。从做出判断到实施刹车这段时间，我们定义为反应时间，记作，这段时间汽车滑行的速度记作，滑行的距离定义为反应距离，记作；从汽车刹车到汽车停车滑行的这段时间，定义为制动时间，记作，这段时间汽车滑行距离定义为制动距离，记作；从做出需要刹车得判断到汽车停止滑行的这段时间定义为停车时间，记作，这段时间汽车滑行的距离定义为停车距离，记作；汽车刹车时，车辆轮胎与路面的滚动摩擦力记作；汽车的质量记作；刹车时汽车滑行的加速度记作。二、基本假设在反应时间段内，驾驶人在判断需要刹车时，一般都会松开油门踏板。此时，汽车滑行仅受轮胎与地面滚动摩擦力的较小影响，我们假设这期间汽车保持油门踏板松开的那一时刻的瞬时速度匀速行驶。由于在现实生活中，因人而异，很难确定的具体数值，因此，最终只能确定与成正比。在制动时间段内，驾驶人在实际操作中，刹车受力大小一般是由小逐渐快速增大的，增大的速度也并不均匀，在汽车停止滑动的瞬间，受力又突然变为零。车辆的防抱死系统也是为了避免急刹车时，因驾驶人瞬间踩死刹车，使车辆仅受轮胎与路面的巨大滑动摩擦力控制，造成更大的危险（如爆胎、侧翻、方向盘失灵等）。这里，我们仅研究假设这期间刹车受力F的大小为定值，其近似等于车辆轮胎与路面的滚动摩擦力。三、问题的提出与分析问题提出：影响停车距离的主要因素有哪些？影响停车距离的最关键因素有哪些？你能建立停车距离与汽车刹车前瞬时速度之间的函数关系模型吗？如何确定上述函数关系中的参数？.问题分析：停车距离与汽车刹车前瞬时速度有关；与驾驶人的反应时间有关，因人而异；与车辆的刹车性能有关，因车而异；还与道路状况，天气状况等一些随机因素有关。.如果刹车性能良好，且在同一等级、路况基本相同的公路上。驾驶的反映时间和汽车刹车前瞬时速度，是两个关键因素。3.2.3.由"基本假设”，可以得到一个用生活语言表达的模型：停车距离=反应距离+制动距离，用数学符号表示为①由"基本假设〃知、都成正比，把这个关系表示为，其中为正的比例系数。由于很难确定具体的数值，因此，最终只能确定成正比，把这个关系表示为，可以认为用代替了。另外，汽车刹车时所做的功为，根据能量守恒定律得。再根据牛顿第二定律得。所以，，即。也就是说，制动距离与汽车刹车前瞬时速度的平方成正比，表示为，其中是待定系数，。依据①式，得：②3.2.4.模型中的参数是至关重要的，一般来说不可能通过理论计算得到，因为在构建模型的过程中有许多因素没有也不可能考虑清楚。在现实模型中，参数值通常是通过统计方法得到的，是通过现实数据估计出来的。大体上有三种方法可以得到现实数据：调查、实验和试验。四、试验、数据收集、数据处理表1是美国公路局公布的试验数据。注：表1中第5、6列的值是分别由它们前四列数，根据计算得到的。五、模型建立与参数求解模型一：由表1计算的每一行中相应的的值，我们发现、的波动都不是很大，它们的平均值分别为这组数据可以作为对参数、的一种估计。于是，通过试验数据得到了停车距离模型一：③模型二：由于在中线性相关，由线性回归分析知数组。由表1中的试验数据计算得，于是。同理，线性相关，可求得。于是，通过试验数据得到了停车距离模型二：④六、模型分析下面我们对两种模型进行比较。表1中的试验数据不变，分别令由③式④式计算所得的停车距离理论值为。即，则得表2：对表2,我们分别求最后两列值之和得：。因为＜,所以模型二误差更小。七、模型评价模型中参数的确定方法有时是不唯一的，科学地选择参数可以有效地减小模型的误差。从③式、④式可以看到，汽车的停车距离是汽车速度的二次函数，因此，从数学应用的角度可以认为，函数时候叫数学模型的有力工具。7.3.由于模型中的参数来源于实际，在一般情况下，这个模型能够经受实践的检验。因此，急刹车的停车距离模型③、④普遍应用于汽车刹车设计和道路交通管理。7.4在建立模型过程中，"基本假设〃没有考虑影响停车距离的非关键因素，但在实际生活中，由于各种客观因素影响，有时非关键因素也会成为关键因素。因此，驾驶人、汽车刹车设计人、交通管理人在实际操作过程中，是不能生搬硬套模型的。参考文献：《普通高中数学课程标准（2017年版）》，人民教育出版社，2018年1月第1版。FrankR.Giordano,MauriceD.W