偏微分数值解

偏微分方程数值解的研究摘要：本文从偏微分方程问题的起源着手，介绍从18世纪起，达朗贝尔首先研究弦振动方程。然后介绍边界积分方程组的两类常见的数值解方法，投影法和机械求积法。最后介绍两种非线性偏微分方程的展开解法，Exp-function方法和(G/G)展开法。关键词：投影法：机械求积法；Exp-function方法；(G/G)展开法；0偏微分方程问题的起源微积分创立不久之后，从18世纪初开始，达朗贝尔(JeanLeRondd’Alembert,1717一1783)首先研究了弦振动方程。傅立叶(J.Fourier,1768一1830)第一个发现并求解了热传导方程，其平衡态则用拉普拉斯方程刻画。这几类方程是最经典的偏微分方程，由它们而产生大量的求解方法以及通解，但是，不存在求解偏微分方程的一般方法。虽然19世纪初期柯西(A.L.Cauehy，1789一1851)、拉格朗日(J.L.Lagrange，1736一1813)等人解决了一阶偏微分方程的求解问题，但这种化为一阶常微分方程组求解的基本方法，对于二阶偏微分方程并不适用。从数学研究来讲，数学家们一直相信通解的存在，并且以此为出发点，先求通解，最后确定常数和函数。1820年柯西首先证明了一阶常微分方程初值问题解的存在性和唯一性。而且很快从实数推广到复数范围了，对于偏微分方程他只需要证明一阶偏微分方程组在复数范围内的解的存在性。正是在这里，他创造性地发明了优函数方法：首先应用幕级数展开式给出形式解，然后与某个己知收敛的幕级数相比较来证明形式解的收敛性，从而证明了解析解的存在性。30多年之后，魏尔斯托拉斯(K.WeierstraSS，1815一1897)的学生俄国数学家科瓦列夫斯卡娅独立地证明了偏微分方程组柯西问题解析解的存在唯一性，即柯西一科瓦列夫斯卡娅定理。柯西一科瓦列夫斯卡娅定理是偏微分方程理论中第一个普遍的存在定理。这样普遍适用的、不依赖于方程类型的性质的一直引人关注，是偏微分方程理论的一个主要发展方向；但另一方面，18世纪以来对几类特殊方程的研究结果表明，把微分方程分成不同的类型：双曲型、抛物型和椭圆型方程。这些是二阶线性偏微分方程的三种基本类型，数学物理中常见的波动方程、热传导方程及调和方程分别为它们的代表，其定解问题的提法、解的性质以及求解方法，多数可以推广到创门所代表的三种类型上去。有些方程在区域的一部分可能是双曲型的，而在另外某一部分可能是椭圆型的，在分界部分或者退化为抛物型的或者是不确定的，这样的方程称为混合型。1923年F.G特里科米(F.Tricomi)首先研究了这样的方程，并得到了深刻的结果。关于各种各样的定解问题的提法，既有其物理上的依据，在数学上又能按照一定的准则被证明是合理的，这些准则中最常用的是解的存在性、唯一性以及解关于定解数据的连续依赖性。如果一个定解问题的解是存在、唯一且连续地依赖于定解条件，则这个定解问题就称为适定的，此概念是阿达玛(JacuqesHdamaard，1565一1963)提出来的。双曲型方程柯西问题的现代理论,是由阿达玛对二阶双曲型方程柯西问题的先驱工作开始的。他通过构造在特征劈锥面上具有奇性的解------基本解来求解柯西问题，并采用发散积分的有限部分的方法来克服所遇到的奇性困难。他的工作经过里斯及索伯烈夫等人的发展，对广义函数论的建立是一个重要的推动，而阿达玛的方法在广义函数论的框架中也得到了更清晰和完善的表达。黎曼(GF.B.Rimenan，1826一1866)依据所谓的狄里克雷原理断言狄里克雷问题有解，魏尔斯托拉斯指出了黎曼这个论断的逻辑缺陷，并举出了反例。多年之后，希尔伯特(D.Hilbert，1862一1943)给出了狄里克雷原理的完整无缺的证明。(狄里克雷问题解的存在性证明，有庞加莱一佩隆扫除法，施瓦兹交替法，差分法等等。)这方面的研究极大地推动了泛函分析的发展，也使得变分法成为研究偏微分方程的强有力的工具。拉普拉斯方程的狄里克雷问题解的存在性，波动方程的特征初值问题解的存在性等具体方程的一般理论问题，在19世纪也同样受到关注并分别推广到更为一般的一类方程。20世纪30年代彼得罗夫斯基(1.G.Petrovky，1901一1973)的工作成为偏微分方程理论发展的又一个里程碑，他对古典分型理论进行了推广，并同时研究了每一类方程的特点。1边界积分方程数值解在积分方程的解析解很难求或无法求出时，借助数值方法求解它的近似解就显得非常重要。从已有的成果来看，方法的应用先于理论分析，也就是说，不少方法已被提出或应用，但其数学基础的研究则不甚深入。随着应用的愈高要求，近年人们已把着眼点转向方法的数学原理研究上。我国对奇异积分方程的数值解法的研究起步较晚，但自82年全国积分方程会议强调开展这方面的研究后，很快引起了一些学者的兴趣和关注，特别是数值方法的理论分析方面，近年来我国学者做了不少工作。这里仅考虑方程的常见数值解法。1.1投影法常见的投影法通常有配置法，Galerkin有限元法和最小二乘法。设中.⑴(j=1,2,...,n)是化的基函数，近似解vex可表示为这组基函数的线性组合hhhv=^nc中(x)(1)j=1投影法都要归结为求解以c,=(j=1,2,...,n)为未知量的线性方程组。配置法：设"eD是一组适当选取的配置点(数目为n个)，令Av-f在配置点上恒等于零就得到n个线性方程工［Ap(t)］c=f(t),i=1,2,・..,n(2)jijij=1一般说来，系数矩阵［A%(t^)］是不对称的。配置点的选取要取决于积分算子的性质和边界的几何状态，它对于离散方程(2)的适定性有决定性的影响。Galerkin方法：在这种方法中，基函数系具有有限支集，系数七是通过下面的Galerkin有限方程得到的工(Ap,甲)c=(f，甲),i=1,2,...,n(3)jijij=1如果A是自伴的，则上面方程组的系数矩阵是对称的。最小二乘法：这种方法要求||Av-f||取得最小值。如果方程的解存在唯12(.D)一，则最小二乘法将导致一个对称，正定的线性方程组工(Ap.俱M=(f,Api),i=1,2,...,nj=1以上方法都可以看作Galerkin-Petrov方法的特例。它们采用相同的试探函数，但选择不同的检验函数。所得到的线性代数方程组的系数矩阵都是满阵。1.2机械求积法选取一个适当的求积公式来近似积分算子Av有A(s)=h^L^k(k,t)v(t),t=jh,h=(b一a)/n,j=1,2,…,n(4)njjjj=1然后赋值就可以求出离散矩阵的每一个元素，离散方程为h^k(s,t)v(t)=f(s),s=ih,i=1,2,…,n(5)ijjiij=1机械求积法对连续核可以借助Anselone聚紧收敛理论得到它的收敛性证明，但是对边界积分方程由于核的奇性，则必须另辟蹊径。2两种非线性偏微分方程的展开解法2.1Exp-function方法描写浅水波的KdV方程，它的一般形式如下：u+uux+=0KdV方程应用非常广泛，它也是许多领域的孤波现象的模型：如等离子体声波，弹性杆中纵向色散波，低温下非线性晶格的声子波包的热激发等。我们考虑如下的KdV方程：u+6uu+uu=0利用变换u=u（&）,&=kx+wt代入上述方程，则方程转化为常微分方程：wu'+6kuu+k3u=0。现假设方程的解具有如下形式:£daexp（诣）

fpbexp（用）我们平衡最高阶线性项u”以及最高阶非线性项uu':c[exp(d+7q)&]+…+c[exp(-c-7p)&]"='[£q=一七凉用)]8cexp[(2d+q)&]++cexp[(-2c-p)&]uu'=3寸4[乙qb.exp(j&)]3于是，我们有：d+7q=2d+6q以及-c-7p=-2c-6p从而我们得到c,d,p,q的关系为：p=c,q=d。取p=c=1,q=d=1则上式为u=aiexp(&)+"aiexp([&)exp(&)+b+bexp(-&)TOC\o"1-5"\h\z0-1带回原方程中我们得到exp(-2&)+cexp(-3&)]=03[cexp(3&)+cexp(2&)+cexp(-2&)+cexp(-3&)]=033210-1-2A=(exp(&)+b+bexp(-&))4其中0-1c=-wa+6ka2b+wab—k3ab—k3a—6kaa30101010010c=-6ka2-2wa-8k3a+2wab-12kaa+8k3ab+2wab2-2wab-4k3ab+6ka2b2+12ka2b1-1100000101-1c=-18k3abb+6wabb+18ka2bb+wab3+wab2—6ka2b+k3ab3110-110-110-110000010一k3ab2+6kaab2—18kaa一wab一23k3ab一5k3ab一5wab+12000100-10-10-1-10-10kaab一12kaab10-11-10c=-4wab2+12ka2b2+32k3ab2-4k3ab2-12ka2-4wab-24kaab+24kaabb+4wab2+4wab?b+4k3ab2b0-1010-101-110-110-1

c=6ka2bb+18kaab2—12kaab+5wabb^+12kaabb—wab3—k3ab3+wabb2—6kaab2-100—110—10—1—110—1—11—10—10—100—100—10TOC\o"1-5"\h\z+wab2+5k3abb2—18ka2b—23k3ab—6wabb+18k3abbkaab—12kaab0—110—1—100—1—10—1—10—110—11—10c=—2wab2b+4k3ab2b—4k3ab2b+2wab3—8k3ab2—6ka2b2—2—10—1—10—10—101—1—1—10—1—6ka2b2—2wab2—12ka2b+8k3ab3+2wab2b+12kaab—10—1—1—1—1—1—10—10—11—1c=6kaab+k3ab3—k3abb2+wab3—wabb2—6ka2bb—3—10—10—1—10—10—1—10—1—10—1上述式子中假若系数为0,得到如下的代数方程：C3=0，C2=0，「0<c=0c=0,c=0,c=0TOC\o"1-5"\h\z、—3—2—1利用MATLAB进行求解，得到如下的式子：a=ab+k2b0100w=-k3—6ak1aexp(&)+(ab+k2b)+上ab2exp(-g)将所得带入原方程为:1100410exp(&)+b+4b2exp(—g)将所得带入原方程为:其中&=akx—(k3+6ak)t,a「b0,k为方程中的任意常数。为了得到方程的周期解，我们采用如下的变换:k=iKexp(iKX)=cos(Kx)+isin(Kx)因此我们得到如下的周期解:为了得到方程的周期解，我们采用如下的变换:=+k2b1(1+m)cos(&')+b+i(1—m)sin(&')o1其中，&'=Kx—(—K3+6a1K)t,m=4bj。a,b0,k为方程中的任意常数。2.2(%)展开法Klein一Gordon方程的一般形式如下：u-u+au-Pu3=0它的应用非常广泛，它主要应用于非线性光学，电荷密度，JosePhson结等。我们考虑K一G方程具有如下形式：u-u+au-Pw3=0其中a,P为常数。首先，利用u=u(&),&=x-ct，并带入到原方程中，则方程转化为常微分方程：(c2-1)u"+au-pu3=0G'1假设其解具有如下形式：u=zma(2-)i=0iG我们平衡最高阶线性项um以及最高阶非线性uu'，有:u=c(—)m+2+,,G'、_u3=c(G)3m+因此：m+2=3m,m=1。G从而我们设为：u=叩存)”2+%GGG带入方程我们有，C(—)3+C(—)2+C(—)+C=0TOC\o"1-5"\h\z3G2、G1G0c=—2a+2ac2—Pa33111其中c=3ac2人一3aX-3Pa2ac=ac2X2+2ac2p-2ap-3Pa2a+aa-aX20111c=c2aXp-aXp+aa-Pa3令上述各系数为0，我们得到一个方程组：c=0,c=0c=0,c=0(34利用MATLAB对代数方程组进行求解，我们得到如下解：,"(c2-1)p,V2X(c2-1)1c2X2-2a-X2a1=±一P一,%=±2」c2-1)p,P=4一曰一其中，人,c为任意常数。将结果带入原方程：p=±Y2(c；-1)P(G)±v2X(c2-1)pG2.[(c2-1)p将通解带入，我们得到最开始方程的3类行波解。

TOC\o"1-5"\h\z一,一2a,当处一却〉0时，艮口>0时:C2—11;2a12au&)=ac1sinh[M立肉]+c2cosh[