导数综合应用中的两个重要不等式 论文

导数综合应用中的两个重要不等式摘要：自新课程改革以来，以导数为工具在解决曲线的切线、讨论函数的单调性、求函数的极值与最值、函数零点问题、恒成立与存在性问题、不等式的证明等成为各省市高考数学命题的热点和难点，这类问题涉及的知识点多，综合性强，对数学思想方法要求较高，具有很强的综合性和灵活性，考查学生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，在高考中常以压轴题的形式出现，在解决这类问题时，经常会用到两个常见的不等式，利用这两个不等式可以将问题变得简单化，达到化繁为简的作用，现在主要来介绍这两个不等式及应用。关键词：指数不等式；对数不等式；切线方程；单调性；不等式的应用1.两个重要不等式引例1：求函数yxe在点()1,0处的切线方程.分析：函数yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为yf(x0)fx0)(xx0)解：yxe即kyx01则切线方程为：yx1如图1，直线yx1是曲线yxe在点()1,0处的切线，函数yxe的图像始终在切线yx1图像的上方。exx1.结论1：对xR，都有证明：令f(x)exx1，则fx)xe1所以f(x)在(0,)上单调递减，在[)上单调递增，则f(xf(0)0图1)即exx1，故不等式成立.推论1：对x0，都有exax1恒成立，则a1.证明：令f(x)exax1，且f(0)0，即求f(x)min0，又因为f)exa因为f(x)在[)是单调递增函数，则fx)f0)1a.（1）当a1时，fx)0，即函数f(x)在[)上递增，满足题意。（2）当a1时，f(x)在,0lna)递减，在[lna,)上单调递增，则f(x)minf(lna)f(0)，不满足题意。综上：则a的取值范围为a1。拓展延伸1：对xR，都有exax1恒成立，则a1证明：令f(x)exax1，即求f(x)min0，又因为f)exa（1）当a0时，f(x)在R上递增，且x0R,有f(x0)0，不满足题意，舍去。（2）当a0时，f(x)在(,lna)上单调递减，在[lna,)上单调递增，则f(x)f(lna)aalna10令g(a)aalna1，即g(a)0；则ga)lna，所以，g(a)在()1,0单增，在,1[)单减，则g(a)g)1(0，所以g(a)0，则a.1推论2：对x0，都有exa()1恒成立，则a1.（证明略）拓展延伸2：对xR，都有exa()1恒成立，则a1.（证明略）引例2：求函数ylnx在点0,1()处的切线方程.分析：函数yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为yf(x0)fx0)(xx0)解：y1即kyx01则切线方程为：yx1x如图2，直线yx1是曲线ylnx在点0,1()处的切线，函数ylnx的图像始终在切线yx1图像的下方。lnxx1.（证明略）结论2：对x0，都有推论1:对x0，都有lnxax1恒成立，则a1.证明：因为lnxax1，即alnx1，则ag(x)max图2x令g(x)lnx1，则gx)lnxxx2所以g(x)在()1,0上递增，,1[)递减，即g(x)max1，则a的范围为a1推论2：对x1，都有lnxa(x)1恒成立，则a1.证明：令f(x)lnxa(x)1，则fx)1ax（1）当a1时，则fx)0，即f(x)在,1[)递减，则f(x)f)1(0，满足。（2）当a0时，则fx)0，即f(x)在,1[)递增，则f(x)f)1(0，不满足。（3）当0a1时，f(x)在1,1(a)上递增，当x1,1(a)时，f(x)f)1(0，不满足。综上所述，a的取值范围为a1.延伸拓展：对x0，都有lnxa(x)1恒成立，则a1.（证明略）2.不等式的应用例1（2017年全国卷理科第21题节选）已知函数f(x)ax2axxlnx,且f(x)0，求a.解：由结论2的延伸拓展可知，a1.例2（2012年山东省理科数学第22题）已知函数f(x)lnx1.xex,0g(x)1e2.(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)(x2x)fx),其中f(x)为f(x)的导函数，证明：对分析：引导学生用导数证明不等式问题，基本思路是通过构造函数求最值，但是如何构造函数是难点，指导学生运用函数与方程、化归与转化、数形结合等数学思想。解：（1）略（2）因为fx)1xxlnx,x(,0)，则g(x)x11(xxlnx)xexexe2，令h(x)1xxlnx，则hx)lnx2.e2当x(,0e2)时，hx)0，h(x)单调递增；当x(e2)时，hx)0，h(x)单调递减。所以h(x)的最大值为h(e2)1e2，即1xxlnx1由结论1可知：exx1，则x11，所以x11(xxlnx)1xeex因此对x,0g(x)1e2.小结：引导学生学会把不等式问题转化为函数最值问题，分类和整合的思想方法贯穿其中，解题时常把不等式问题转化为函数最值问题。例3（2018年安庆重点中学联考理科数学第21题）已知函数f(x)2lnx2.xe（1）求函数f(x)的单调区间；（2）证明：当x0时，都有fx)ln(x)122.exex2解：（1）略；（2）要证明fx)ln(x)12e22exx即证1(xxlnx)ln(x)11(1)xe2由结论2可知，0ln(x)1x，即证：1xxlnx11。e2令g(x)1xxlnx，则gx)2lnx，当0x1时，gx)0；当x1时，gx)0；e2e2所以函数当g(x)在(,01)上单调递增，在(1

e2)上单调递减，2e所以g(x)g(1)11，即1xxlnx11。e2e2e2综上所述，当x0时，都有fx)ln(x)12e22。exx小结：证明函数不等式，最终要化归为构造函数，利用导数研究函数的性质；利用函数的特点，挖掘结构特征，注重不等式的合理代换。数与函数不等式的综合，融合了许多知识点和数学方法，导数是解决与函数有关问题的强有力工具，通过构造函数运用导函数解决问