广东省梅州市华亭中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

广东省梅州市华亭中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】确定第二节课的上课时间和时长，从而得到听课时间不少于分钟所需的达到教室的时间，根据几何概型概率公式求得结果.【详解】由题意可知，第二节课的上课时间为：，时长分钟若听第二节课的时间不少于分钟，则需在之间到达教室，时长分钟听第二节课的时间不少于分钟的概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.2.已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝

（

）A．－2或2

B．－9或3C．－1或1

D．－3或1参考答案：A3.“数列{an}既是等差数列又是等比数列”是“数列{an}是常数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列和等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}为常数列，且an≠0，则反之当an=0时，满足数列{an}为常数列，但数列{an}不是等比数列，即“数列{an}既是等差数列又是等比数列”是“数列{an}是常数列”的充分不必要条件，故选：A4.若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则称点(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f(x)＝，则f(x)的“姊妹点对”有(

)A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C5.如图所示，向量的模是向量的模的倍，的夹角为,那么我们称向量经过一次变换得到向量.在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（

）A.

B.C.D.参考答案：D略6.已知为虚数单位，若复数（）的实部为，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知向量=（，k），=（k﹣1，4），若⊥，则实数k的值为（）A． B． C．﹣ D．2参考答案：A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得?=（k﹣1）+4k=0，解方程可得．【解答】解：∵向量=（，k），=（k﹣1，4），且⊥，∴?=（k﹣1）+4k=0，解得k=，故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积和垂直关系，属基础题．8.若，则的大小关系为A.

B.

C.

D.参考答案：B9.如果双曲线的渐近线方程渐近线为，则双曲线的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3

B．100cm3

C．92cm3

D．84cm3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知四棱锥的所有侧棱长都相等，底面为正方形，若四棱锥的高为，体积为，则这个四棱锥的外接球的体积为

．参考答案：略12.已知非零向量，满足，且与的夹角为30°，则的取值范围是____．参考答案：略13.函数，则函数的所有零点所构成的集合为________．参考答案：【知识点】函数的零点问题

B9.解析：当时，，∴∴当时，，

∴；当时，；

当时，所以函数的所有零点所构成的集合为：，故答案为.【思路点拨】欲求函数函数的零点，即求方程的解，下面分：当时，当时分别求出函数的所有零点所构成的集合即可．14.（文）若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是___．参考答案：由得，即，设。设，则函数在上递减，在上递增，所以，即，即，所以，即则实数a的取值范围是。15.一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥的体积是．参考答案：【考点】构成空间几何体的基本元素．【分析】由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，△PAD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，即可求出它的体积．【解答】解：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，△PAD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，所以四棱锥的体积为V==．故答案为．【点评】本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算，考查线面垂直的判断，考查学生的推理能力．16.（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．参考答案：【考点】：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．故答案为：【点评】：本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．17.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是

.参考答案：y=cos2x+1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于另一点，交轴于点，．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，连接（为坐标原点）并延长交椭圆于点，求面积的最大值及取最大值时直线的方程．参考答案：（Ⅰ）由题知，故，……………1分代入椭圆的方程得，……………2分

又，……………3分故，……………4分

椭圆；……………5分（Ⅱ）由题知，直线不与轴重合，故可设，由得，……………8分设，则，由与关于原点对称知，，……………10分，，即，当且仅当时等号成立，面积的最大值为3，此时直线的方程为……………12分19.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=BC，E是底边BC上的一点，且EC=3BE．现将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到如图2所示的四棱锥C1﹣ABED，且C1A=AB．（1）求证：C1A⊥平面ABED；（2）若M是棱C1E的中点，求直线BM与平面C1DE所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）设AD=AB==1，利用勾股定理的逆定理可以判断C1A⊥AD，C1A⊥AE；（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，明确平面的法向量的坐标和的坐标，利用直线与平面的法向量的夹角的余弦值等于线面角的正弦值解答．【解答】解：（1）设AD=AB==1，则C1A=1，C1D=，∴，∴C1A⊥AD，…又∵BE=，C1E=∴AE2=AB2+BE2=∴∴C1A⊥AE…又AD∩AE=E∴C1A⊥平面ABED；…（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分别以AB，AD，AC1为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，…则B（1，0，0），C1（0，0，1），E（1，，0），D（0，1，0），∵M是C1E的中点，∴M（），∴=（），…设平面C1DE的法向量为=（x，y，z），，由即，令y=2，得=（1，2，2）…设直线BM与平面C1DE所成角为θ，则sinθ=||=∴直线BM与平面C1DE所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了线面垂直的判定定理的运用以及利用空间向量解决线面角的问题，属于中档题．20.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出曲线C的直角坐标方程，可得参数方程；（2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为：==，由此得出结论．【解答】解：（1）由ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0及得：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，所以曲线C的参数方程为：；（2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为：==所以当时，点，此时，即，k∈z．所以，所以点P坐标为，点P到直线l的距离最大值为．【点评】本题考查参数方程的运用，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，属于中档题．21.已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，通过求导得出斜率k的值，从而求出切线方程；（Ⅱ）只需f′（）＞0即可，解不等式求出即可；（Ⅲ）由题设可得，由判别式△＞0，求出m的范围，对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，从而综合得出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，∴f′（x）=﹣x2+2x+3，故k=f′（3）=0，又∵f（3）=9，∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，即存在某个子区间（a，b）?（，+∞）使得f′（x）＞0，∴只需f′（）＞0即可，f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞，由于m＞0，∴m＞．（Ⅲ）由题设可得，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且解得：（舍去）