不等式的性质知识点及题型归纳总结

．．．．．．．．．．．不式性知点题归总．．．．．．．．．．．知点讲一不式基性不等式的性质是证明和解不等式的主要依.运用时对每一条性质要弄清条件和论注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失两不等式的同向合成，一律为“

分必要条件）（1）（2）（3）

（传递性，注意找中间量）（同向可加性）（同正可乘性，注意条件为正）注：如

，其逆命题不成立，如

但是

一不等式的等价变形，一律为“（1）

要件是等式解法的理论依据（2）

（对称性）（3）（4）（5）（6）（7）

（乘正保号性）（不等量加等量）（乘方保号性，注意条件为正）（开方保号性，注意条件为正）（8）

（同号可倒性

最为重要的不等式性质为

；③，不式问题中都有重要的应用，但应注意他们的适用条件，可以用口诀“同向同正可乘同号取倒需反向”来记.题归及路示题不式性思提应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效例7.1对于实数

，有以下命题：①若

，则

；②若

，则；③若

则；④若

，则

；⑤若

，则

其真命题的个数是（）个

C.4个

个分：判命题的真假，要紧扣等式的性质，应注意条件与结论之间的联.解中值正负或是否为零未知判断不等关系缺乏依据命是假命题中可知，

则

，故该命题是真命题；③中，等式两边同乘，得

，若同乘

得

知立该命题为真命题

可知

，

故有由已知

，又因，“同向同正乘”性可知，因为，，

成立故命题为真命题；⑤中，，所以，该命题真命题.综所述，②③④⑤都是真命题，故选评准确记忆各性质成立的条件是确应用的前.在等式的判断中特值法是非常有效的方法，如变式3.变设变设

，若是非零实数，若

，则下列不等式中正确的是（）C.D.，则下列不等式中成立的是（）C.变若

，则下列结论中正确的是（）

和

均不成立

和

均不成立C.不式不式

和和

均不成立均不成立变

，且

，则下列代数式中值最大的是题比数式的大与较证不式思提比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的调比较法又分为作差比较法和作商比较.作差法比较大小的步骤是：（1）作差）变形；3判断差式与0的小；（）下结.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商）变形）判断商式与1的小；（4）下结论其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于或较大作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若若

，则，则

；；

；；

；；例7.2若

且

，试比较

与

的大小

解：法一：且，所以，以解法二：，又，所以

，因为

且

，因为，所以变若

，试比较

与

的大小变设例7.3在锐角

且，比较中，若函数

与在

的大小上单调递减，则下列命题中正确的是（）C.

解因为在锐角

中有

由

在

上为单调递增函数，所以变已函数

，且，又函数，故选是上偶函数，且在区间上是增函数，令，则（）

在

上单调递减，所以

C.变已函数一定大于B.一定小于0C.等D.确题已不式关系求标的值围思提

，那么的值（）在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关.例7.4已

，且，则

的取值范围是

解：法一：令

得，

，解得

即

由

得

，所以

故

的取值范围是

解法二：本题还可以利用“线性规划”的方法求.如图所，当直线点的标为，所以

过点时取最值，；当直线

过点时取最值，当的标为又本题不取边界，因此的取值范围是

，所以

，评：能求出独立的

范围内，简单利用不等式性质求解，可结合后面线性规划理解并求.变已变设

且，，求为实数，满足，的最大值是最效练

的范围如

满足

，且，么下列选项中不定成立的是（）

C.设

，则下列不等式中成立的是（）已

，并且

C.，那么一定成立的是（）C.

若

为实数，则下列命题中正确的是（）若C.若若

，则，则

，则

，则若，则若的值是（）大于0B.等于0小于D.符号不能确定已

，下列四个条件中，使得

成立的必要而不充分条件是（）

C.

已四个条件：

能推出

成立的有

个若

，则