探索分形的奥秘

探索分形的奥秘第1页，共56页，2023年，2月20日，星期六目录欣赏曼德勃罗分形艺术大赛获奖作品什么是分形自然界中的分形分形理论的诞生分形树Koch雪花Cantor三分集分形几何与欧氏几何生活中的分形第2页，共56页，2023年，2月20日，星期六下面您欣赏的作品来自

曼德勃罗分形艺术大赛获奖作品

第3页，共56页，2023年，2月20日，星期六第4页，共56页，2023年，2月20日，星期六第5页，共56页，2023年，2月20日，星期六此比赛是由美国IBM公司数学实验室举办

第6页，共56页，2023年，2月20日，星期六第7页，共56页，2023年，2月20日，星期六第8页，共56页，2023年，2月20日，星期六比赛一年举办一次

第9页，共56页，2023年，2月20日，星期六第10页，共56页，2023年，2月20日，星期六第11页，共56页，2023年，2月20日，星期六每年都会吸引大量的分形爱好者参加比赛

第12页，共56页，2023年，2月20日，星期六第13页，共56页，2023年，2月20日，星期六第14页，共56页，2023年，2月20日，星期六第15页，共56页，2023年，2月20日，星期六第16页，共56页，2023年，2月20日，星期六第17页，共56页，2023年，2月20日，星期六什么是分形（Fractal）

第18页，共56页，2023年，2月20日，星期六

Fractal本意是不规则的、破碎的、分数的，来源于拉丁文Frangere。曼德勃罗用Fractal来形容自然界中传统欧氏几何学所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象第19页，共56页，2023年，2月20日，星期六我们再来欣赏一下刚刚看过的图片第20页，共56页，2023年，2月20日，星期六第21页，共56页，2023年，2月20日，星期六

大家是否可以发现图中的每一朵花中又有另外一朵花？图中每一朵花都是形状相似，只是大小不同而已？图像可以无限细分，仿佛无穷无尽？整幅图案都由一朵花生成？第22页，共56页，2023年，2月20日，星期六

不规则几何元素Fractal，是由IBM研究室的数学家曼德布络特（BenoitMandelbrot,1924-）提出。其维度并非整数的几何图形，而是在越来越细微的尺度上不断自我重复，是一项研究不规则性的科学。第23页，共56页，2023年，2月20日，星期六

1986年，曼德勃罗曾给分形下过这样一个定义：组成部分和整体以某种方式相似的形。分形是一种粗糙的或破碎的几何图形，它的组成部分可以被无限细分，而且它的局部的形状一般与整体相似。第24页，共56页，2023年，2月20日，星期六自然界中的分形第25页，共56页，2023年，2月20日，星期六蜿蜒曲折的海岸线第26页，共56页，2023年，2月20日，星期六起伏不定的山脉第27页，共56页，2023年，2月20日，星期六变幻无常的浮云第28页，共56页，2023年，2月20日，星期六九曲回肠的河流第29页，共56页，2023年，2月20日，星期六纵横交错的血管第30页，共56页，2023年，2月20日，星期六令人眼花缭乱的星空第31页，共56页，2023年，2月20日，星期六分形理论的诞生

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1975年，曼德勃罗出版了《分形对象：形、机遇与维数》（法文），分形理论正式诞生，1977年，该书的英译本正式出版。第33页，共56页，2023年，2月20日，星期六

1982年曼德勃罗出版了《大自然的分形几何学》，此书为前书的增补本，曼德勃罗认为它是分形理论的“宣言书”，此书旁征博引、图文并茂，从分形的角度考察了自然界中的诸多现象，引起了学术界的广泛注意，曼德勃罗也因此一举成名第34页，共56页，2023年，2月20日，星期六

曼德勃罗(BenoitB.Mandelbrot)，数学家，经济学家，分形理论的创始人。1924年生于波兰华沙；1936年随全家移居法国巴黎，在那里经历了动荡的二战时期；1948年在帕萨迪纳获得航空硕士学位；1952年在巴黎大学获得数学博士学位；曾经是普林斯顿、日内瓦、巴黎的访问教授，哈佛大学的“数学实践讲座”的教授，IBM公司的研究成员和会员。第35页，共56页，2023年，2月20日，星期六分形树以自然界中的丫字形树杈为生成元，将生成元在每一个层次上不断重复，会得到分形树。第36页，共56页，2023年，2月20日，星期六

第37页，共56页，2023年，2月20日，星期六

分形树的编程实现方法：

分形树的编程实现方法：递归算法LS文法迭代函数系统算法第38页，共56页，2023年，2月20日，星期六Koch雪花第39页，共56页，2023年，2月20日，星期六Koch曲线1904年，瑞典数学家科赫（H.vonKoch，1870~1924）构造了一种“妖魔曲线”，被称为Koch曲线。取一条欧式长度为L0的直线段，将其三等分，保留两端的线段，将中间的一段改为夹角为60o的两个等长的直线，再将长度为L0/3的4个直线段分别三等分，并将中间部分改换成60o的两段长为L0/9的直线段，以此类推，重复至无穷，便得到像雪花一样的具有自相似结构的折线，这便是Koch曲线。第40页，共56页，2023年，2月20日，星期六

Koch曲线构造规则：

1．三等分一条线段；

2．用一个等边三角形替你代第一步划分三等分的中间部分；

3．在每一条直线上，重复第二步。

Koch曲线是以上步骤地无限重复的极限结果。

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Koch曲线的长度为无穷大，因为以上的变换都是一条线段变四条线段，每一条线段的长度是上一级的1/3，因此操作n步的总长度是(4/3)n：若n→∞，则总长度趋于无穷。Koch曲线的分形维数是log

4/log

3

≈

1.26，其维数大于线的维数（1）Koch曲线是连续的，但是处处不可导的Koch雪花的面积是这里的s是最初三角形的边长，Koch雪花的面积是原三角形面积的8/5，它成为一条无限长的边界围绕着一个有限的面积的几何对象。第42页，共56页，2023年，2月20日，星期六Cantor三分集德国数学家康托（G.Cantor，1845~1918）在1883年曾构造了一种三分集:

取一条欧式长度为L0的直线段，L0叫做初始操作长度。将这条直线段三等分之后，保留两端的线段，将中间的一段扔掉，再将剩下的两条直线段分别三等分，然后将中间部分扔掉，以此重复至无穷，便形成了无数个尘埃似的点，这就是著名的Cantor三分集。第43页，共56页，2023年，2月20日，星期六在数学方面，康托集是由德国数学家康托于1883年引入的（但在1875年就由Henry

John

Stephen

Smith发现了），它是一个取自简单直线段上的点集，它有若干非凡而又深刻的性质。通过对它的思考，康托和其他助手奠定了现代一般拓扑学基础。虽然康托自己用抽象的方法定义了这个集合，但一般而言，现代最流行的构造是康托三分集，它是通过将一条线段的中间部分去掉而获得的。康托自己只是顺便提及了三重构造，作为无处稠密的完备集的一般例子。三分集的构造

康托三分集是由重复删除直线段中间的三分之一开区间而创造出来的。先从区间[0，1]中间删除开区间(1/3,

2/3)，留下两边线段：[0,

1/3]

∪

[2/3,

1]。下一步，删除留下的线段的各自的三分之一中间段，剩下四条直线段：[0,

1/9]

∪

[2/9,

1/3]

∪

[2/3,

7/9]

∪

[8/9,

1]。无限重复这一过程，则第n个集合是。康托三分集包含区间[0,

1]内在每一步没被删除的所有的点。

第44页，共56页，2023年，2月20日，星期六

康托集的被扣下去的部分是等比级数，其长度

这样，康托集的总长度为1-1=0。

计算表明康托集不包括任何非零的长度。事实上，令人惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它的最初的长度。然而，仔细观察这个过程却有很重要的东西被剩下，因为重复地消除只是中间的1/3开集（这个集合不包含它的端点）。从最初的[0，1]线段中除去(1/3,

2/3)，而两个端点1/3和

2/3被留下。随后的操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部分的内部。所以康托集是非空的，而事实上，它包括无限多个点。

第45页，共56页，2023年，2月20日，星期六欧氏几何与分形几何欧式几何分形几何经典的（2000多年的历史）现代数学怪物（30多年的历史）基于特征长度与比例无特征长度与比例适合于人工制品实用于大自然现象用公式描述用（递归或迭代）算法描述图形规则图形不规则图形的结构层次有限图形的结构层次无限局部一般不具有整体的信息局部往往具有整体的信息图形越复杂，背后的规则也越复杂图形复杂，其背后的规则经常是简单的第46页，共56页，2023年，2月20日，星期六生活中的分形第47页，共56页，2023年，2月20日，星期六菜花的剖面第48页，共56页，2023年，2月20日，星期六植物的叶脉第49页，共56页，2023年，2月20日，星期六树木的枝干第50页，共56页，2023年，2月20日，星期六闪电第51页，共56页，2023年，2月20日，星期六海岸的卫星照片第52页，共56页，2023年，2月20日，星期六山脉的俯瞰第53页，共56页，2023年，2月20日，星期六结束语分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。如