立足图形结构 寻找解题路径 论文

立足图形结构寻找解题路径——以《与角平分线有关的问题》复习课为例摘要：初中数学课程主要是培养学生的逻辑思维，促进学生的思考能力，从而促进全面持续和谐的发展。培养数学思维是学生健全发展不可或缺的部分，其中从基本图形中获取到出题人暗示的重要信息是数学思维的一种体现。学生思维从形象思维到经验型和理论型的逻辑思维与教师教学中有意识培养学生搭建思维桥梁有着不可分割的关系。所以我们应该更新教育理念，以解题为途径，高效学习，培养学生的数学思维。关键词：基本图形；数学思维；初中数学数学学得好与坏很大程度取决于是否会解题，因此，学会解题对学生来说尤为重要。解题教学其实就是帮助学生寻找解题思路的过程。罗增儒教授曾说：“寻找解题思路的过程就是寻找条件知识与结论知识之间的逻辑联系或转化轨迹的过程，在这个过程中，我们激活知识、检索知识、提取知识、组织知识，使解题与发展通行”。复杂的几何图形往往蕴含着若干基本图形，这些基本图形中的固定结论往往就是求解问题的突破口。所以，快速分离出基本图形，及时发现一般结论，就可以为题目的条件和结论之间搭建思维的桥梁，达到事半功倍的效果。 下面以九年级《与角平分线有关的问题》的复习课为例，探讨如何借助基本图形特征，搭建解题思维的桥梁。一、理清图形性质，磨好解题武器初中阶段与角平分线有关的内容主要有：角平分线的定义和表示，用尺规作一个角的平分线，三角形内角平分线的概念和性质，角平分线的性质定理及逆定理。这些内容分布在初中的不同阶段，是以碎片化形式呈现，复习时如果能找到知识间的逻辑关系，将它们有机地串起来形成知识链，对学生理解这部分内容，解决与角平分线有关的问题是很有帮助的。教师：角平分线是初中几何的重要知识点之一，相信同学们在平时解题中经常遇到它。请思考以下问题：（1）如图1，如何用尺规作出∠MON的角平分线OP？这种作图法的原理是什么？有什么结论？（以O为圆心，以任意长为半径画弧交OM、ON于A、B两点；分别以A、B为圆心，以大于二分之一AB长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP就得到所要求作的角平分线。利用SSS证明△OAP≌△OBP,可得∠AOP=∠BOP.） （2）如果点P在角平分线上移动，什么时候可以得到特殊情形？每种情形又有什么特殊结论？（如图2，当PA⊥OM,PB⊥ON，有PA=PB；如图3，当A、P、B三点共线时，OP为等腰△OAB底边上的高和中线）MMAPAPOBNOBNMMAPQAP

图2图1O3BNO4BN图3图4（3）在图3中有OA=OB，AP=BP，此时OA=AP=，如图4，如果绕点P旋OBBP转直线AB，与OM、ON分别交于A、B，此时OAOB=AP还成立吗？如何证明？BP（结论成立，过P作PQ∥OB交OA于Q，则可得∠QPO=∠POB=∠POQ和△APQ∽△ABO，∴PQ=OQAP=AQ=AQ=OA）BPOQPQOB教师小结：由角平分线的定义可知图1属于“筝型”（或“飞镖型”），对称性是该图型的基本特征；如图2，当OA=OB且PA⊥OM，PB⊥ON时，由角平分线的性质定理可得PA=PB；如图3，当OA=OB且点P在线段AB上时，此时图形蕴涵等腰三角形的“三线合一”性质；当图3演变成图4时，有OAOB=APBP，此即三角形内角平分线定理，证明过程蕴涵“平行平分得等腰”的基本图形结构。通过师生共同回顾，理清与角平分线有关的四种基本图形结构：筝型、与边垂直类型、与角平分线垂直类型、平行平分等腰类型，并理顺它们之间的逻辑关系，归纳每种图形结构的基本性质和常用方法，为后续运用角平分线性质解题打磨好利器。 二、学会分析题意，练好解题内功

有了解题利器，还要学会分析题目条件和问题，还需要经历实战磨练，才能练好解题内功。为此，安排以下两道例题：

1.如图6，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的平分线与BC分别交于E、F点，若AB=4，BC=7，则EF=。 2.如图7，∠C=∠D=90º，AC=3，AB=5，AD平分∠BAC，求AD的长。 教几何解题，首先要引导学生分析条件和图形。由条件可以推出什么结论，由图形能分离出哪些基本图形，这些基本图形又包含哪些性质和结论?图6图7 其次要分析所要解决的问题，想需要哪些条件，这些需求和题目中已知条件如何建立联系？是否需要搭建适当的桥梁（辅助线）? 基于以上分析，第1题可做如下引导：

本题由平行四边形可以得到哪些结论？（对边平行、对边相等、对角相等，即CD=AB=4，）由两条角平分线可以联想到哪种图形结构？（平行平分得等腰,即BE=AB=4，FC=CD=4）7=1)由以上结论可能求出EF的长？（EF=BE+FC-BC=4+4- 第2题可以做如下引导：

本题有哪些条件？（∠C=∠D=90º，AC=3，AB=5，AD平分∠BAC）由这些条件还可以得到哪些结论？(由勾股定理可以得到BC=4，由AD平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD)本题图形中还有哪些结论？（∠AEC=∠BED=∠BAE+∠ABE,∠CAE=∠DBE=∠BAE,∠CAE+∠CEA=∠CAB+∠ABC=∠BED+∠DBE=∠ABD+∠BAD=90°,∠BED=∠ABD=∠AEC）本题包含哪些基本图形？由这些基本图形可以得到怎样的解题思路? （1）包含角平分线中和角的一边垂直类型，AE平分∠BAC，EC⊥AC，由此可以想到过点E作EF⊥AB于F；

（2）包含和角平分线垂直的类型，AE平分∠BAC，BD⊥AD，由此可以想到延长BD交AC延长线于点G；

（3）包含图形相似，△ACE∽△BDE,△ABD∽△BED,由此可以利用比例线段求出相关线段的长，再利用勾股定理解题；

（4）包含共斜边直角三角形，可以得到A、B、D、C四点共圆，借助圆的有关知识解决问题；

（5）包含三角形内角平分线，可以运用角平分线定理或构造平行平分得等腰结构，再利用勾股定理求解。 （6）包含直角三角形和有关边长及角之间关系，可知图形是确定的，各边角是可解的，由此可以尝试运用三角函数求解。 通过对题目图形、条件和问题的分析，结合已有的解题经验可以得到解题思路。通过对例2的不同角度分析，可以得到如下几种常见的解题思路。思路1：如图8，由AE平分∠BAC，EC⊥AC，可以过E作EF⊥AB于F，设EF=EC=x，易知AF=AC=3，BC=4，BE=4-x，BF=5-3=2，在Rt△EFB中，利用勾股定理可列出方程x2+22=(4−x)2，求出x的值，再利用△AFE∽△ADB求出线段AD的长度。思路2：如图9，由AE平分∠BAC，BD⊥AD，可以延长BD交AC延长线于G，易证△ADG≌△ADB，由此可求得线段CG、BG、BD的长度，最终求出线段AD的长。思路3：如图10，由AD平分∠BAC，可运用三角形内角平分线定理，得CE=AC，进而求出CE的长，再利用△ACE∽△ADB，求出线段AD的长。BEAB思路4：如图11，由∠C=∠D=90º可得A、B、C、D四点共圆，以AB为直径构造辅助圆⊙O，连接OD，则△AOD为等腰三角形，由“平行平分等腰”的基本图形结构易知OD∥AC，则OD⊥BC，进而运用垂径定理、三角形相似依次求出BH、OH、DH、BD，最终求出线段AD的长。图8图10图7图31图22 思路5：由直角三角形有关边长及角之间关系，可以运用三角函数求出相关线段的长，如图12，延长CA至点M，使AM=AB=5,连接BM，可知cos∠DAB=cos∠CAB， AD

可得AB=MC

，利用勾股定理求出MB的长，即可求得AD的长。MB 以上5种不同的解题思路，都是充分分析和利用了图形的结构特征、已知条件和所求问题，将与角平分线有关的四种基本图形的性质和特征发挥到极致。 三、总结解题经验，提升解题能力

罗增儒教授曾说过，“解题好比是在黑屋子里摸东西，我们一会儿碰倒椅子，一会儿撞到桌子，好不容易摸到了目标物，然而解题远没有结束，此时我们应该拉开屋子里的电灯，看清楚屋子里的东西。”

在例2的解题教学中，不再是单纯地追求问题的标准答案。在“黑屋子里摸索目标物”的过程已结束，不妨“拉开屋子里的电灯”，重新审视刚才的摸索过程，抓住取得重大突破的关键步骤，看看有没有走多余的路，进而优化前面的求索路程。 通过对例2的教学反思和总结，我们可以得到以下解几何题的经验： 首先，要观察和分析图形。领悟图形的直观提示，将复杂的图形分解成若干个基本图形，或者通过添加辅助线补全或构造基本图形，由基本图形联想相关的性质和特征，以及常用的解题方法。其次，要分析条件和问题。由已知条件可以联想已有的解题经验，并深入挖掘题目隐含的条件，进而发展条件，为解题创造条件打好基础。由未知问题联想需求，通过不断转化条件和结论来探求解题思路，找到解决问