《高等数学》1(A)教学大纲

PAGEPAGE2《高等数学》=1\*ROMANI（A）教学大纲（供计算机科学与工程学院、电气信息工程学院、材料科学与工程学院、化学与化学工程学院各本科专业使用）课程编号：24100033/24100043课程名称：高等数学课程类型：公共基础课总学时：160学时讲课：160学时实验（实践）学时：0学分：10一、课程的目的与任务 《高等数学》=1\*ROMANI（A）是理工类(非数学)本科专业学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学；5、无穷级数；6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识、准备考研奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。二、课程有关说明１、课程简介高等数学是一门经典的数学课程，也是一门十分重要的基础理论课程。它的理论和方法是研究客观世界中连续模型的数学基础，是一门学时多、涉面广的重要的基础课。它的主要研究对象为实变实值函数，尤其是连续的实变实值函数。本课程包括的主要内容有：一元函数的极限、连续、微分、积分、无穷级数及多元函数的极限、连续、微分、积分、空间解析几何与向量代数、微分方程等。２、主要教学方式黑板讲授、多媒体课件辅助教学。考核评分方式考核方式：考试。评分方式：期末考试成绩占70%，平时成绩占30%。４、教改内容（1）《高等数学教学与初等数学的合理衔接问题》；（2）《高等数学多媒体教学与传统教学模式比较研究》；（3）《高等数学实验教学模式的研究与探索》；（4）《高等数学分类分层次教学模式教学实践》。三、教学内容函数与极限（20学时）映射与函数本节应掌握：集合的运算；映射及函数的概念；复合函数和反函数的概念；函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。熟悉：基本初等函数的概念、图像及性质。了解：简单实际问题函数关系式的建立。一、集合；二、映射；三、函数。第二节数列的极限本节应掌握：数列极限的概念；子数列的概念；数列的极限与其子数列的极限之间的关系。熟悉：数列极限的性质。一、数列极限的定义；二、收敛数列的性质。第三节函数的极限本节应掌握：函数极限的概念。熟悉：函数极限的性质。一、函数极限的定义；二、函数极限的性质。第四节无穷大与无穷小本节应掌握：无穷大与无穷小以及无穷小阶的概念。熟悉：用等价无穷小求极限。一、无穷小；二、无穷大。极限运算法则本节应掌握：极限四则运算法则及换元法则。熟悉：利用极限四则运算法则及换元法则求极限。一、极限运算法则。第六节极限存在准则两个重要极限本节应掌握：极限存在的夹逼准则；单调有界准则；两个重要极限。熟悉：利用两个重要极限求极限。了解：实数域的完备性。一、极限存在准则；二、两个重要极限。第七节无穷小的比较本节应掌握：无穷小的比较定义。熟悉：常用的等价无穷小。了解：利用等价无穷小求极限的方法。一、无穷小的比较。第八节函数的连续性与间断点本节应掌握：函数在一点连续和在一个区间上连续的概念；函数间断点类型的判别法。熟悉：判断间断点的类型。了解：区间上的连续函数。一、函数的连续性；二、函数的间断点。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性本节应掌握：连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性。熟悉：利用函数的连续性求函数极限。了解：初等函数的连续性。一、连续函数的和、差、积、商的连续性；二、反函数与复合函数的连续性；三、初等函数的连续性。闭区间上连续函数的性质本节应掌握：闭区间上连续函数的性质(最大最小值定理、零点定理、介值定理)。熟悉：闭区间上连续函数性质的应用。了解：一致连续性的概念。一、有界性与最大值最小值定理；二、零点定理与介值定理；三、一致连续性（自学）。导数与微分（10学时）导数概念本节应掌握：导数的定义。熟悉：导数的几何意义；函数的可导性与连续性之间的关系。了解：用导数描述一些物理量。引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导性与连续性的关系。函数的求导法则本节应掌握：可导函数的和、差、积、商的求导法则；反函数的求导法则；复合函数的求导法则；基本求导法则与导数公式。熟悉：可导函数的求导法则与导数公式；反函数的求导法则；复合函数的求导法则。了解：特殊函数的求导方法。一、函数的和、差、积、商的求导法则；二、反函数的求导法则；三、复合函数的求导法则；四、基本求导法则与导数公式。第三节高阶导数本节应掌握：高阶导数的概念；逐阶求导法。熟悉：高阶导数的莱布尼茨公式。了解：常用初等函数的n阶导数公式。一、高阶导数。第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率本节应掌握：隐函数的求导法则；参数方程的求导法则。熟悉：隐函数的概念；参数方程的概念。了解：相关变化率的概念及求法。一、隐函数的导数；二、由参数方程所确定的函数的导数；三、相关变化率。第五节函数的微分本节应掌握：函数微分的概念；基本初等函数的微分公式与微分运算法则。熟悉：函数微分的几何意义；一阶微分形式的不变性。了解：微分在近似计算中的应用。一、微分的定义；二、微分的几何意义；三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则；四、微分在近似计算中的应用（自学）。微分中值定理与导数的应用（15学时）第一节微分中值定理本节应掌握：费马引理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；微分中值定理的应用。熟悉：微分中值定理的条件及结论；利用微分中值定理证明简单的不等式及方程解的存在性。了解：微分中值定理的证明。一、罗尔定理；二、拉格朗日中值定理；三、柯西中值定理。第二节洛必达法则本节应掌握：洛必达法则及其应用。熟悉：用洛必达法则求各种类型的未定式极限的方法。了解：洛必达法则的证明。一、洛必达法则。第三节泰勒公式本节应掌握：泰勒中值定理及其应用。熟悉：泰勒公式及麦克劳林公式。了解：五种基本的初等函数的麦克劳林展开式。一、泰勒公式。第四节函数的单调性与曲线的凹凸性本节应掌握：函数单调性的判别法；曲线凹凸性的判定与拐点的求法。熟悉：利用导数判定函数的单调性与曲线的凹凸性。了解：用函数的单调性和凹凸性证明不等式。一、函数单调性的判定法；二、曲线的凹凸性与拐点。第五节函数的极值与最大值最小值本节应掌握：函数的极值及其求法；函数取得极值的充分条件和必要条件；建立实际问题的目标函数并求最大值或最小值。熟悉：函数极值点与驻点的相互关系，函数最大值最小值的求法。了解：函数最大值最小值的物理应用。一、函数的极值及其求法；二、最大值最小值问题。函数图形的描绘本节应掌握：利用导数描绘函数图形的方法。熟悉：利用导数描绘函数图形的一般步骤。了解：函数图形的一般描绘方法。一、函数图形的描绘。第七节曲率本节应掌握：弧微分；曲率；曲率圆和曲率半径的概念。熟悉：曲率、曲率半径的计算方法。了解：曲率中心的计算公式、渐屈线与渐伸线的概念。一、弧微分；二、曲率及其计算公式；三、曲率圆与曲率半径；四、曲率中心的计算公式、渐屈线与渐伸线（自学）。第八节方程的近似解（自学）本节应了解：利用二分法及切线法求方程的近似解。一、二分法；二、切线法。第四章不定积分（10学时）第一节不定积分的概念与性质本节应掌握：原函数与不定积分之间的相互关系；不定积分的性质。熟悉：不定积分的基本性质；利用基本积分公式计算不定积分。了解：不定积分的概念。一、原函数与不定积分的概念；二、基本积分表；三、不定积分的性质。第二节换元积分法本节应掌握：不定积分的两类换元积分法。熟悉：第一类换元积分法和第二类换元积分法计算不定积分。了解：两类换元积分法的证明。第一类换元法；第二类换元法。第三节分部积分法本节应掌握：不定积分的分部积分法。熟悉：分部积分法的使用原则。了解：多次使用分部积分法。一、分部积分法。第四节有理函数的积分本节应掌握：有理函数的不定积分方法。熟悉：可化为有理函数的不定积分方法。了解：有理函数的有关概念。一、有理函数的积分；二、可化为有理函数的积分举例。第五节积分表的使用本节应掌握：积分表的使用方法。熟悉：常用的积分公式。了解：积分表的灵活使用方法。一、积分表的使用。第五章定积分（10学时）第一节定积分的概念与性质本节应掌握：定积分的概念与性质；可积的充分条件。熟悉：定积分的性质。了解：定积分的近似计算；积分中值定理的几何解释。一、定积分的问题举例；二、定积分的定义；三、定积分的近似计算（自学）；四、定积分的性质。第二节微积分基本公式本节应掌握：积分上限函数的概念及其性质；牛顿—莱布尼茨公式。熟悉：积分上限函数及其求导方法；运用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分。了解：微分基本公式和积分基本公式之间的联系与运用。一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系；二、积分上限的函数及其导数；三、牛顿—莱布尼茨公式。第三节定积分的换元法和分部积分法本节应掌握：定积分的换元积分法与分部积分法。熟悉：定积分的换元积分公式与分部积分公式。了解：两种换元积分公式之间的区别与联系。一、定积分的换元法；二、定积分的分部积分法。第四节反常积分本节应掌握：无穷限反常积分和无界函数反常积分。熟悉：反常积分的收敛性。了解：两类反常积分的概念。一、无穷限的反常积分；二、无界函数的反常积分。第五节反常积分的审敛法函数（自学）本节应熟悉：无穷限反常积分的审敛法和无界函数反常积分的审敛法；。了解：函数。一、无穷限反常积分的审敛法；二、无界函数反常积分的审敛法；三、函数。第六章定积分的应用（10学时）第一节定积分的元素法本节应掌握：定积分的元素法。熟悉：定积分元素法的使用步骤。了解：利用定积分元素法解决实际问题的使用条件。一、定积分的元素法。第二节定积分在几何学上的应用本节应掌握：利用定积分计算平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长。熟悉：利用直角坐标、参数方程、极坐标计算平面图形的面积；平面曲线弧长的计算；旋转体体积的计算。了解：曲线可求长的概念；平行截面面积为已知的立体的体积。一、平面图形的面积；二、体积；三、平面曲线的弧长。第三节定积分在物理学上的应用本节应掌握：利用定积分计算变力作功，水压力。熟悉：定积分在变力作功，水压力等物理问题上的引用举例。了解：利用定积分计算引力；实际问题的物理背景。一、变力沿直线所作的功；二、水压力；三、引力（自学）。第七章微分方程（15学时）第一节微分方程的基本概念本节应掌握：微分方程、微分方程的阶、微分方程的解、初值条件的概念；。熟悉：微分方程通解与特解的概念。了解：积分曲线的概念。一、微分方程的基本概念。第二节可分离变量的微分方程本节应掌握：可分离变量的微分方程的解法。熟悉：可分离变量的微分方程的基本解法。了解：可分离变量的微分方程的概念。一、可分离变量的微分方程。第三节齐次方程本节应掌握：齐次方程的解法。熟悉：齐次方程的基本解法。了解：可化为齐次方程的解法。一、齐次方程；二、可化为齐次方程的方程（自学）。第四节一阶线性微分方程本节应掌握：一阶线性微分方程及其解法。熟悉：一阶线性微分方程的标准形式及其解法。了解：伯努利方程及其解法。一、线性方程；二、伯努利方程。第五节可降阶的高阶微分方程本节应掌握：三种可降阶的高阶微分方程的解法。熟悉：利用降阶法求二阶微分方程。了解：特殊的高阶微分方程的求法。一、型的微分方程；二、型的微分方程；三、型的微分方程。第六节高阶线性微分方程本节应掌握：高阶线性微分方程解的标准形式；高阶齐次和非齐次线性微分方程解的结构。熟悉：二阶齐次与非齐次线性微分方程通解的结构。了解：线性相关与线性无关的概念；n阶齐次和非齐次线性微分方程解的结构。一、二阶线性微分方程举例；二、线性微分方程的解的结构；三、常数变易法。第七节常系数齐次线性微分方程本节应掌握：常系数齐次线性微分方程的标准形式；特征方程的表示及其通解的形式。熟悉：利用欧拉指数法求二阶或高阶常系数齐次线性微分方程的通解。了解：高阶常系数齐次线性方程的解法和实际问题中建立微分方程解决问题。一、常系数齐次线性微分方程。第八节常系数非齐次线性微分方程本节应掌握：常系数非齐次线性微分方程的解法。熟悉：型微分方程的解法。了解：型微分方程的解法。一、型；二、型。第九节欧拉方程（自学）本节应了解：欧拉方程及其解法。一、欧拉方程。第十节常系数线性微分方程组解法举例（自学）本节应了解：常系数线性微分方程组解法。一、常系数线性微分方程组。第八章空间解析几何与向量代数（15学时）第一节向量及其线性运算本节应掌握：向量、空间直角坐标系、向量的模、方向角、投影等概念。熟悉：向量的线性运算。了解：向量在轴上的投影。一、向量概念；二、向量的线性运算；三、空间直角坐标系；四、利用坐标作向量的线性运算；五、向量的模、方向角、投影。第二节数量积向量积混合积本节应掌握：向量的数量积与向量积的概念。熟悉：向量的数量积与向量积的计算。了解：向量的混合积。一、两向量的数量积；二、两向量的数量积；三、向量的混合积。第三节曲面及其方程本节应掌握：曲面方程的概念；旋转曲面、柱面方程的方程及图形。熟悉：旋转曲面、柱面的方程形式及图形。了解：二次曲面的方程及图形。一、曲面方程的概念；二、旋转曲面；三、柱面；四、二次曲面。第四节空间曲线及其方程本节应掌握：空间曲线的一般方程及其参数方程形式。熟悉：空间曲线的一般方程及其参数方程的建立。了解：空间曲线在坐标平面上的投影。一、空间曲线的一般方程；二、空间曲线的参数方程；三、空间曲线在坐标面上的投影。第五节平面及其方程本节应掌握：空间平面的点法式方程及一般方程。熟悉：空间平面方程的点法式方程及一般方程的建立；特殊平面方程；两平面的夹角。了解：点到平面的距离公式。一、平面的点法式方程；二、平面的一般方程；三、两平面的夹角。第六节空间直线及其方程本节应掌握：空间直线的一般方程、对称式方程与参数式方程。熟悉：两直线的夹角；平面与直线的夹角。了解：平面束的方程。一、空间直线的一般方程；二、空间直线的对称式方程与参数方程；三、两直线的夹角；四、直线与平面的夹角。第九章多元函数微分法及其应用（20学时）第一节多元函数的基本概念本节应掌握：平面点集、多元函数、多元函数的极限及多元函数连续的定义。熟悉：多元函数定义域、二元函数极限的求法；二元函数连续性的判断；了解：维空间的概念。一、平面点集维空间；二、多元函数概念；三、多元函数的极限；四、多元函数的连续性。第二节偏导数本节应掌握：多元函数偏导数的定义及其计算法；混合偏导数与求导次序无关的充分条件。熟悉：多元函数二阶偏导数的求法。了解：多元函数三阶偏导数的求法。一、偏导数的定义及其计算法；二、高阶偏导数。第三节全微分本节应掌握：多元函数全微分的概念，多元函数全微分的求法。熟悉；二元函数全微分的计算。了解：全微分在近似计算中的应用。一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用（自学）。第四节多元复合函数的求导法则本节应掌握：一般复合情况下的多元复合函数的求导法则；全微分形式的不变性。熟悉：特殊情况下的多元复合函数的求导法则。了解：利用全微分形式的不变性求多元函数的偏导数的方法。一、多元复合函数的求导法则。第五节隐函数的求导公式本节应掌握：隐函数存在定理及隐函数求导法则。熟悉：利用隐函数求导公式的求导方法。了解：隐函数存在定理的证明。一、一个方程的情形；二、方程组的情形。第六节多元函数微分学的几何应用本节应掌握：空间曲线的切线及法平面；曲面的切平面及法线。熟悉：空间曲线的切线及法平面方程、曲面的切平面及法线方程的建立。了解：一元向量值函数及其导数。一、一元向量值函数及其导数；二、空间曲线的切线与法平面；三、曲面的切平面与法线。第七节方向导数与梯度本节应掌握：方向导数与梯度的概念。熟悉：方向导数与梯度的计算方法。了解：数量场与向量场的概念。一、方向导数；二、梯度。第八节多元函数的极值及其求法本节应掌握：多元函数的极值及最大值、最小值。熟悉：多元函数取得极值的必要条件和判断极值的充分条件；多元函数极值的计算方法；多元函数的最大值、最小值在实际中的应用；条件极值；拉格朗日乘数法。了解：了解多元函数极值在物理学上的应用。一、多元函数的极值及最大值、最小值；二、条件极值，拉格朗日乘数法。第九节二元函数的泰勒公式（自学）本节应了解：二元函数的泰勒公式；极值充分条件的证明。一、二元函数的泰勒公式；二、极值充分条件的证明。第十节最小二乘法（自学）本节应了解：最小二乘法的思想和方法。一、最小二乘法。第十章重积分（10学时）二重积分的概念和性质本节应掌握：二重积分的定义；二重积分的性质。熟悉：二重积分性质的应用。了解：利用二重积分计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量。二重积分的概念；二重积分的性质。二重积分的计算法本节应掌握：利用直角坐标、极坐标计算二重积分。熟悉：二重积分的计算方法。了解：二重积分的换元法。一、利用直角坐标计算二重积分；二、利用极坐标计算二重积分的；三、二重积分的换元法（自学）。三重积分本节应掌握：三重积分的定义，利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分。熟悉：三重积分的计算方法；利用三重积分计算空间几何体的体积。了解：三重积分的性质。一、三重积分的概念；二、三重积分的计算。第四节重积分的应用本节应掌握：利用重积分计算曲面的面积、几何体体积、质心和转动惯量。熟悉：利用重积分计算曲面面积和几何体体积的方法。了解：利用重积分计算引力。一、曲面的面积；二、质心；三、转动惯量；四、引力。第五节含参变量的积分（自学）本节应了解：含参变量的积分。一、含参变量的积分。第十一章曲线积分与曲面积分（15学时）第一节对弧长的曲线积分本节应掌握：对弧长的曲线积分的概念与性质，对弧长的曲线积分的计算。熟悉：对弧长的曲线积分的计算方法。了解：对弧长的曲线积分的性质。一、对弧长的曲线积分的概念与性质；二、对弧长的曲线积分的计算法。第二节对坐标的曲线积分本节应掌握：对坐标的曲线积分的概念与性质；对坐标的曲线积分的计算法。熟悉：对坐标的曲线积分的计算；两类曲线积分之间的联系。了解：两类曲线积分之间的相互转换。一、对坐标的曲线积分的概念与性质；二、对坐标的曲线积分的计算法；三、两类曲线积分之间的联系。第三节格林公式及其应用本节应掌握：格林(Green)公式及平面上曲线积分与路径无关的条件。熟悉：利用格林公式计算曲线积分的方法；二元函数的全微分求积。了解：曲线积分的基本定理。一、格林公式；二、平面上曲线积分与路径无关的条件；三、二元函数的全微分求积；四、曲线积分的基本定理（自学）。第四节对面积的曲面积分本节应掌握：对面积的曲面积分的概念与性质；对面积的曲面积分的计算法。熟悉：对面积的曲面积分的计算方法。了解：利用对面积的曲面积分计算曲面型构件的质量、对坐标轴的转动惯量。一、对面积的曲面积分的概念与性质；二、对面积的曲面积分的计算法。第五节对坐标的曲面积分本节应掌握：对坐标的曲面积分的概念与性质；对坐标的曲面积分的计算法。熟悉：对坐标的曲面积分的计算方法。了解：两类曲面积分之间的联系。一、对坐标的曲面积分的概念与性质；二、对坐标的曲面积分的计算法；三、两类曲面积分之间的联系。第六节高斯公式本节应掌握：高斯（Guass）公式。熟悉：应用高斯公式计算对坐标的曲面积分。了解：沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件；通量与散度。一、高斯（Guass）公式。二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件。三、通量与散度（自学）。斯托克斯公式环流量与旋度本节应掌握：斯托克斯公式。熟悉：斯托克斯公式及其应用。了解：空间曲线积分与路径无关的条件；环流量与旋度。斯托克斯公式。二、空间曲线积分与路径无关的条件（自学）。三、环流量与旋度（自学）。第十二章无穷级数（10学时）第一节常数项级数的概念和性质本节应掌握：常数项级数的概念；无穷级数收敛、发散以及和函数的概念。熟悉：收敛级数的基本性质及收敛的必要条件。了解：柯西审敛原理。一、常数项级数的概念；二、收敛级数的基本性质；三、柯西审敛原理（自学）。第二节常数项级数的审敛法本节应掌握：正项级数的比较审敛法和极限审敛法；比值审敛法；交错级数收敛的莱布尼兹(Leibniz)定理；绝对收敛与条件收敛。熟悉：几何级数和p--级数的收敛性；了解：绝对收敛级数的性质。一、正项级数及其审敛法；二、交错级数及其审敛法；三、绝对收敛与条件收敛；四、绝对收敛级数的性质。第三节幂级数本节应掌握：函数项级数的收敛域及和函数的概念；幂级数及其收敛性。熟悉：幂级数的收敛域和收敛半径的求法。了解：幂级数的运算。一、函数项级数的概念；二、幂级数及其收敛性；三、幂级数的运算。第四节函数展开成幂级数本节应掌握：会利用泰勒（Taylor）级数的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。熟悉：函数展开为泰勒级数的充分必要条件。一、泰勒级数；二、函数展开成幂级数。第五节函数的幂