2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义第八章第四节直线与圆圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[小题体验]1．(2018·宁波一中月考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C由题意得圆心为(a,0)，半径为eq\r(2).圆心到直线的距离为d＝eq\f(|a＋1|,\r(2))，由直线与圆有公共点可得eq\f(|a＋1|,\r(2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.∴实数a的取值范围是[－3,1]．2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是()A．－2 B．－4C．－6 D．－8解析：选B将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝eq\r(2－a)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，又r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3．(2018·宁波调研)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________；|PQ|的最大值是________．解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，分别为(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝eq\r(4＋22＋2＋12)＝3eq\r(5).所以|PQ|的最小值是3eq\r(5)－5，|PQ|的最大值为3eq\r(5)＋5.答案：3eq\r(5)－53eq\r(5)＋51．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[小题纠偏]1．过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．解析：①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k＝eq\f(4,3)，所以切线方程为4x－3y＋1＝0，②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝02．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.答案：±2eq\r(5)或0eq\a\vs4\al(考点一直线与圆的位置关系)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．直线y＝－eq\f(\r(3),3)x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A．(eq\r(3)，2) B．(eq\r(3)，3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))解析：选D当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时圆心到直线的距离d＝eq\f(|m|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2))＝1，解得m＝eq\f(2\r(3),3)(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜eq\f(2\r(3),3).2．(2018·大庆二模)已知P是直线l：kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积最小为2，则k的值为()A．3 B．2C．1 D.eq\f(1,2)解析：选B易知圆C的圆心C(0,1)，半径r＝1，∴S四边形PACB＝PA·AC＝PA＝eq\r(CP2－AC2)＝eq\r(CP2－1)，∴当|CP|最小，即CP⊥直线kx＋y＋4＝0时，四边形PACB的面积最小，由四边形PACB的面积最小为eq\r(CP2－1)＝2，得|CP|min＝eq\r(5)，由点到直线的距离公式得|CP|min＝eq\f(5,\r(1＋k2))＝eq\r(5)，∵k＞0，∴k＝2.3．(2018·衡水中学期中考试)若圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为eq\r(2)的点，则实数a的取值范围是________________．解析：∵圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|eq\r(2)a|，半径r＝2eq\r(2)，且圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为eq\r(2)的点，∴2eq\r(2)－eq\r(2)≤|eq\r(2)a|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．答案：[－3，－1]∪[1,3][谨记通法]判断直线与圆的位置关系一般有2种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．eq\a\vs4\al(考点二切线、弦长问题)eq\a\vs4\al(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：(1)求圆的切线方程(切线长)；(2)求弦长；(3)由弦长及切线问题求参数．[题点全练]角度一：求圆的切线方程(切线长)1．(2018·金华调研)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：选B∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，∵圆心与切点连线的斜率k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，∴切线的斜率为－2，∴圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.角度二：求弦长2．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.∵圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)角度三：由弦长及切线问题求参数3．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2eq\r(3)，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))解析：选B设圆心C(2,3)到直线y＝kx＋3的距离为d，若|MN|≥2eq\r(3)，则d2＝r2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|MN|))2≤4－3＝1，即eq\f(|2k|2,k2＋1)≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).[通法在握]1．圆的切线方程的2种求法(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.[提醒]若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．弦长的2种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).[演练冲关]1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)解析：选D由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，可知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).2．(2018·山西三地五校联考)过原点且与直线eq\r(6)x－eq\r(3)y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋(y－eq\r(3))2＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l的方程为eq\r(2)x－y＝0，∵圆心(0，eq\r(3))到l的距离d＝eq\f(\r(3),\r(3))＝1，∴所求弦长l＝2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(7－1)＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)eq\a\vs4\al(考点三圆与圆的位置关系)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·浙江五校联考)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解：因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为eq\r(11)，eq\r(61－m)，(1)当两圆外切时，由eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m)，得m＝25＋10eq\r(11).(2)当两圆内切时，因为定圆半径eq\r(11)小于两圆圆心之间的距离5，所以eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，解得m＝25－10eq\r(11).(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.故两圆的公共弦的长为2eq\r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq\r(7).[由题悟法]解决圆与圆位置关系问题的2大通法(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[即时应用]1．(2018·嘉兴调研)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为()A．1 B．3C.eq\r(6) D．9解析：选D由题可知，圆C1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以eq\r(－2a－02＋0－b2)＝2－1，即4a2＋b2a，b∈R且ab≠0，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))·(4a2＋b2)＝5＋eq\f(b2,a2)＋eq\f(4a2,b2)≥5＋2eq\r(\f(b2,a2)·\f(4a2,b2))＝9，当且仅当eq\f(b2,a2)＝eq\f(4a2,b2)，即a2＝eq\f(1,6)，b2＝eq\f(1,3)时等号成立．所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为9，故选D.2．(2018·嘉兴高级中学模拟)圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交所得公共弦所在的直线方程为________；其长度为________．解析：由题可得，公共弦所在直线方程为2x＋4y－5＝0，因为圆心(0,0)到直线的距离d＝eq\f(|5|,\r(22＋42))＝eq\f(\r(5),2)，所以公共弦长为2eq\r(4－\f(5,4))＝eq\r(11).答案：2x＋4y－5＝0eq\r(11)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切 B．相交但不过圆心C．相交过圆心 D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝eq\f(|2×1－2－5|,\r(22＋12))＝eq\r(5)＜eq\r(6)且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2018·洛阳一模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，设p：0＜r≤3，q：圆上至多有两个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B圆心C到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离d＝eq\f(|1－\r(3)×0＋3|,\r(1＋3))＝2，当0＜r＜1时，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，圆上恰有一个点到直线的距离为1；当1＜r＜3时，圆上有两个点到直线的距离为1.∴当q成立时，0＜r＜3，而p：0＜r≤3，∴q⇒p，而p⇒/q，∴p是q的必要不充分条件，故选B.3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝eq\r(25－m)(m＜25)．从而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9.4．(2018·绍兴五校联考)已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为()A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0解析：选D当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的坐标分别为(2，eq\r(5))，(2，－eq\r(5))，所以S△OPQ＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(5)＝2eq\r(5).当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠\f(1,2)))，则圆心O到直线l的距离d＝eq\f(|2k－1|,\r(1＋k2))，由平面几何知识得|PQ|＝2eq\r(9－d2)，则S△OPQ＝eq\f(1,2)×|PQ|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(9－d2)×d＝eq\r(9－d2d2)≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9－d2＋d2,2)))2)＝eq\f(9,2)，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝eq\f(9,2)时，S△OPQ取得最大值eq\f(9,2).因为2eq\r(5)＜eq\f(9,2)，所以S△OPQ的最大值为eq\f(9,2)，此时eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2k－1|,\r(1＋k2))))2＝eq\f(9,2)，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0.故选D.5．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________.解析：设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1).要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2).所以|PM|的最小值为2eq\r(2).所以|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)≥eq\r(2\r(2)2－1)＝eq\r(7)，即切线长的最小值为eq\r(7).答案：eq\r(7)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,x2＋y2－2x－2y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1－\r(3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1＋\r(3)，))∴|AB|＝2eq\r(3)，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝eq\f(|k－1＋3|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1)).∵d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝r2，∴eq\f(k＋22,k2＋1)＋3＝4，解得k＝－eq\f(3,4)，∴直线l的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.2．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定解析：选A因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为eq\r(2)，因为直线l与圆C相切．所以eq\f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1，因为k＜0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝eq\f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)＜eq\r(3)，所以直线l与圆D相交．3．(2018·温州调研)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A．y＝－eq\f(\r(3),4) B．y＝－eq\f(1,2)C．y＝－eq\f(\r(3),2) D．y＝－eq\f(1,4)解析：选B圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2).4．(2018·台州调研)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\f(3,2)C.eq\f(9,4) D．2eq\r(3)解析：选C由圆C1与圆C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(3,2)时等号成立，即ab的最大值为eq\f(9,4).5．过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为()A.eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)解析：选B由S△AOB＝eq\f(1,2)|OA||OB|sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB，可知当∠AOB＝eq\f(π,2)时，△AOB的面积最大，为eq\f(1,2).此时点O到直线AB的距离d＝eq\f(\r(2),2).设直线AB的方程为y＝k(x－eq\r(2))(k＜0)，即kx－y－eq\r(2)k＝0.则d＝eq\f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，解得k＝－eq\f(\r(3),3).6．(2019·台州模拟)已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝k2－2k＋3的公共点，则ab的最大值为()A．15 B．9C．1 D．－eq\f(5,3)解析：选B由题意得eq\f(|－2k|,\r(2))≤eq\r(k2－2k＋3)，且k2－2k＋3＞0，解得－3≤k≤ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,3)))2－eq\f(10,3)，所以当k＝－3时，2ab取得最大值18，即ab取得最大值9.7．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(3\r(2),2)，由点到直线的距离公式可得eq\f(|－1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，解得a＝0或a＝6.答案：0或68．(2018·衡水周测)若点P在圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝1上，点Q在圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4上，则|PQ|的最小值是________．解析：因为圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝1的圆心坐标为C1(2,2)，半径r1＝1，圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心坐标为C2(－2，－1)，半径r2＝2，则|C1C2|＝5＞2＋1，所以两圆的位置关系是相离．又点P在圆C1上，点Q在圆C2上，则|PQ|的最小值是|C1C2|－(r1＋r2)＝5－3＝2.答案：29．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．解：(1)证明：因为不论k为何实数，直线l总过定点P(0,1)，而|PC|＝eq\r(5)＜2eq\r(3)，所以点P(0,1)在圆C的内部．所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2eq\r(12－5)＝2eq\r(7)，即直线l被圆C截得的最短弦长为2eq\r(7).10．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．解：把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．当l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，则eq\f(|－k－2＋3－k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(3,4).∴切线l的方程为y－3＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－15＝0.综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理得2x－4y＋1＝0，∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为()A．1 B．3C.eq\f(1,9) D.eq\f(4,9)解析：选Ax2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，化为标准形式为(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，化为标准形式为x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则eq\r(a2＋2b2)＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋4b2,9)))＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(a2,b2)＋\f(4b2,a2)))≥eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(a2,b2)·\f(4b2,a2))))＝1，当且仅当eq\f(a2,b2)＝eq\f(4b2,a2)，即a＝±eq\r(2)b时取等号，故eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为1.2．(2018·宁波十校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C(a,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞－\f(5,2)))，则eq\f(|4a＋10|,5)＝2⇒a＝0或a＝－5(舍去)．所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB成立．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝kx－1))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq\f(k2－4,k2＋1).若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒eq\f(y1,x1－t)＋eq\f(y2,x2－t)＝0⇒eq\f(kx1－1,x1－t)＋eq\f(kx2－1,x2－t)＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒eq\f(2k2－4,k2＋1)－eq\f(2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．故当点N为(4,0)时，使得x轴平分∠ANB.命题点一直线的方程、两条直线的位置关系1．(2013·天津高考)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()A．－eq\f(1,2) B．1C．2 D.eq\f(1,2)解析：选C由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以eq\f(2－0,2－1)＝a，解得a＝2.2．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C由题知点P(cosθ，sinθ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－my－2＝0恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离eq\f(2,\r(1＋m2))的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.3．(2016·上海高考)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为________．解析：因为l1∥l2，所以两直线的距离d＝eq\f(|－1－1|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)命题点二圆的方程、直线与圆的位置关系1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选D圆的半径r＝eq\r(1－02＋1－02)＝eq\r(2)，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(\r(21),3)C.eq\f(2\r(5),3) D.eq\f(4,3)解析：选B∵A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，又等边△ABC的高为eq\r(3)，故中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(21),3).3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－eq\r(3)y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－eq\r(3)y＋6＝0，∴kAB＝eq\f(\r(3),3)，∴∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.在Rt△BOD中，∵|OB|＝2eq\r(3)，∴|OD|＝2.取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，∴OH为直角梯形ABDC的中位线，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.答案：44．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，则点A的橫坐标为________．解析：法一：设A(a,2a)，则a＞0.又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0.由题意知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋5,2)，a)).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5x－a＋yy－2a＝0，,y＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝2a.))∴D(1,2)．又eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(5－a，－2a)，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋5,2)，2－a))，∴(5－a，－2a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋5,2)，2－a))＝eq\f(5,2)a2－5a－eq\f(15,2)＝0，解得a＝3或a＝－1.又∵a＞0，∴a＝3.法二：如图，∵AB为圆C的直径，∴AD⊥BD，∴BD为B到直线l的距离，且BD＝eq\f(10,\r(5))＝2eq\r(5).∵CD＝AC＝BC，CD⊥AB，∴AB＝eq\r(2)BD＝2eq\r(10)，设A(a,2a)，a＞0，则AB＝eq\r(5－a2＋4a2)＝2eq\r(10)，解得a＝－1或a＝3.又∵a＞0，∴a＝3.答案：35．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则圆C的面积为________．解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝eq\r(a2＋2)，因为|AB|＝2eq\r(3)，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2))，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.答案：4π6．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．解析：设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．又点P在圆x2＋y2＝50上，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋5，,x2＋y2＝50，))解得x＝－5或x＝1，结合图象，可得－5eq\r(2)≤x≤1，故点P的横坐标的取值范围是[－5eq\r(2)，1]．答案：[－5eq\r(2)，1]7．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋4＝r2，,4－m2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2)，,r2＝\f(25,4).))所以圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2eq\r(3)，则|CD|＝________.解析：由直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0知其过定点(－3，eq\r(3))，圆心O到直线l的距离为d＝eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1)).由|AB|＝2eq\r(3)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m－\r(3),\r(m2＋1))))2＋(eq\r(3))2＝12，解得m＝－eq\f(\r(3),3).又直线l的斜率为－m＝eq\f(\r(3),3)，所以直线l的倾斜角α＝eq\f(