2021-2022学年安徽省六安市第一中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省六安市第一中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（）A．6 B．3 C．4 D．7【答案】B【分析】把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解．【详解】由直线方程变形为：，由，解得，所以直线恒经过定点，故点到直线的距离是，故选：B.2．已知复数（i为虚数单位，），若，从M中任取一个元素，其模为1的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】推导出的取值只有四个数，，0，1，从而，1，，，，，，中共7个元素，其中模为1的有3个元素，由此即可求出从中任取一个元素，其模为1的概率．【详解】解：因为，所以，，0，1，，，0，1，，即的取值只有四个数，，0，1，所以，1，，，，，，所以中共7个元素，其中模为1的有3个元素，所以从中任取一个元素，其模为1的概率为．故选：C．3．四棱锥中，底面ABCD是一个平行四边形，底面ABCD，，，．则四棱锥的体积为（）A．8 B．48 C．32 D．16【答案】D【分析】由题设易知、，利用空间向量夹角、模的坐标表示求夹角的余弦值、，进而求，再由三角形面积公式求，即可求体积.【详解】由题设，易知，而，∵，且，若夹角为，则，∴，则，即，又，∴.故选：D4．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形且，则在下列说法中，错误的为（）A． B．截面PQMNC． D．异面直线PM与BD所成的角为45°【答案】C【分析】A由题设易得，根据平行线的性质可证；B由线面平行的判定可证截面PQMN；C：为特殊位置的点时成立；D将异面直线平移到截面上即可知夹角大小.【详解】A：由题设，易知，又，，即有，正确；B：由，截面PQMN，截面PQMN，则截面PQMN，正确；C：仅当为中点时，故错误；D：由A知：异面直线PM与BD所成的角为，正确.故选：C5．如图所示，在中，，点F在线段CD上，设，，，则的最小值为（）A．8 B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，又，所以，由F在线段CD上，利用向量共线定理可得2x+y=1，再利用基本不等式即可求解．【详解】解：在中，，，，，在线段上，，又，，，当且仅当时取等号．的最小值为8．故选：A．6．平面过正方体的顶点A，平面，平面，平面，则m，n所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方体的性质，找到一个符合题设的平面即可知m，n所成角的大小，进而求其余弦值.【详解】由题意，若平面为面，则，分别为，如下图示，∴m，n所成角为，故其余弦值为.故选：C7．的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程（）A． B．C． D．【答案】B【解析】先由求出点的坐标为，再利用对称关系求出点关于直线的对称点，而在直线上，从而可得直线的方程，设点的坐标为，则，可求出点的坐标为，进而可求得直线的方程【详解】解：由，得，所以点的坐标为，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，因为点在直线上，所以直线的方程为，即，设点的坐标为，则的中点坐标为，所以，解得，所以点的坐标为，所以，所以边所在直线的方程为，即，故选：B【点睛】此题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式的应用，考查点关于线的对称点的求法，考查计算能力，属于中档题8．已知梯形CEPD如下图所示，其中，，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面PCE，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，由题设标注相关点的坐标，进而求面、面的法向量，根据空间向量垂直的坐标表示求参数.【详解】由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，∴，则，，若是面一个法向量，则，可得，若是面一个法向量，则，可得，∴由面面PCE，有，解得.故选：D9．随着我国人民生活水平日益提高，餐饮消费在国民经济活动中的比重逐步加大.某机构统计了2014年至2020年（1月至11月）我国餐饮业销售收入的情况，得到下面的条形图，则下面说法中不正确的是（）A．2014年至2019年，我国餐饮业销售收入逐年增加B．2019年我国餐饮业销售收入较2018年的增量超过4000亿元，同比增长接近10%C．2020年受新冠肺炎疫情影响，我国餐饮业销售收入有所下滑D．近年来，我国餐饮业销售收入同比增长率有上升趋势【答案】D【分析】结合给出的销售统计收入情况，依次分析选项即可得解.【详解】对于A，从条形图可以看出，2014年至2019年，我国餐饮业销售收入逐年增加，故A正确；对于B，2018年和2019年我国餐饮业销售收入分别为亿元和亿元，2019年较2018年多增量为亿元，从折线图可以看出，同比增长接近（实际增长为），故B正确；对于C，从条形图可以看出，2020年我国餐饮业销售收入有所下滑，故C正确；对于D，从折线图可以看出，我国餐饮业销售收入同比增长率并没有上升趋势，故D错误.二、多选题10．下列四个命题中是假命题的是（）A．若复数z满足，则z是虚数B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为C．若，，事件A，B相互独立和A，B相互互斥不能同时成立D．若，，，为锐角，则实数m的取值范围是【答案】BD【分析】对选项A：设，，由，可得，即可判断选项A正确；对选项B：由直线倾斜角的取值范围为，即可判断选项B错误；对选项C：由互斥事件及相互独立事件的概念即可判断选项C正确；对选项D：由与夹角为锐角或与共线同向即可判断选项错误.【详解】解：对选项A：设，，因为，所以，，即，所以z是虚数，故选项A正确；对选项B：若直线的斜率为，则直线的倾斜角不一定为，因为直线倾斜角的取值范围为，故选项B错误；对选项C：若事件A、B互斥，则事件A、B不可能同时发生，所以A与B不是相互独立事件，故选项C正确；对选项D：因为，，，所以，，因为为锐角，所以，则，但时，共线同向，故选项错误．故选：BD.11．在四面体中，以下说法正确的有（）A．若，则可知B．若Q为△的重心，则C．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则D．若，，则【答案】ABD【分析】A：令，利用平面向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求之间含的线性关系，结合已知即可求；B：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘运算，求的线性关系；C：由正四面体性质求的长度即可；D：由题设有，利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论.【详解】A：由，则在线段上，又，若，则，又，故，所以，即，正确；B：若为的中点，，又，而，所以，又，则，整理得，正确；C：由题设知：，即，且，故，错误；D：若，，则，又，所以，整理得，故，正确.故选：ABD12．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（）A．平面B．若是上的中点，则C．直线与平面所成角的正弦值为D．直线与直线所成角最小时，线段长为【答案】ACD【分析】由题意写出空间中的点的坐标，利用与平面法向量的数量积等于零可判断A；根据可判断B；求出平面的一个法向量，利用空间向量数量积求线面角可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法可判断D.【详解】由题意可得，，，，，，，设，，，直三棱柱中，，可得为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，对于A，，，即，又平面，所以平面，故A正确；对于B，若是上的中点，则，所以，所以与不垂直，故B不正确；对于C，由为平面的一个法向量，，设直线与平面所成角为，则，故C正确；对于D，设，则，当时，即时，取最大值，即直线与直线所成角最小，此时，，故D正确.故选：ACD三、填空题13．节约用水是中华民族的传统美德，某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为此希望已经学习过统计的小明，来给出建议．为了了解全市居民用水量的分布情况，小明通过随机走访，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如下图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），如果你是小明，你觉得x的估计值为__________．（精确到小数点后1位）【答案】2.9【分析】利用频率分布直方图的矩形面积之和为1计算出，然后估计所在区间，再计算区间的频率和为0.85时，求解即可.【详解】由频率分布直方图，可得，解得，前6组的频率之和为，而前5组的频率之和为，∴，由，解得．故答案为：2.9.【点睛】本题考查频率分布直方图的相关计算，属于基础题.14．已知直线l经过两直线和的交点，且到l的距离与到l的距离之比为，则直线l的方程是______.【答案】或【分析】先联立方程求出交点坐标，再讨论直线斜率存在和不存在两种情况，设出直线方程，利用点到直线的距离公式建立关系，即可求解.【详解】联立方程，解得，即交点为，当直线l的斜率不存在时，直线方程为，则到l的距离为1，到l的距离为3，满足题意；当直线l的斜率存在时，不妨设直线方程为，即，，解得，所求方程是，即，故直线l的方程是或.故答案为：或.【点睛】本题考查直线交点的求法，考查点到直线的距离公式，在用待定系数法求直线方程时，需要注意考虑斜率是否存在，属于基础题.15．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高，反之，降低，则甲以取得胜利的概率为______________.【答案】0.174【分析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，则所求概率为：，再根据概率计算公式计算即可.【详解】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，由题意，甲要以取胜的可能是，，，所以=.故答案为：0.174.【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.四、双空题16．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为________；与底面所成角的正弦值为____________.【答案】；【分析】取中点为，连接和，利用线面垂直求出平面，由三棱锥的性质可得、、两两垂直，由外接球半径即可求得三棱锥外接球的表面积；再由顶点在底面上的射影为底面三角形中心，找到点在在平面的投影为中点，找出线面角即，求出相应线段长，即可求出与底面所成角的正弦值.【详解】作正三棱柱如图所示，取中点为，连接和，则，，且，所以平面，又平面，所以，又，且，所以平面，所以由正三棱锥的性质，、、两两垂直，因为，所以，所以正三棱锥的外接球半径，正三棱锥的外接球表面积；由题，正三棱锥顶点在底面上的射影为底面三角形中心，点为中点，所以在平面的投影在上，且为中点，连接，则即与底面所成角，因为，，，所以,因为，，，所以，又，所以，所以,即即与底面所成角的正弦值为.故答案为：；【点睛】本题主要考查空间中线面垂直的证明与性质、正三棱锥外接球表面积的求法以及线面角的求法，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题.五、解答题17．在中，为所在平面内的两点，，．（1）以和作为一组基底表示，并求；（2）为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）利用基底法，以和作为一组基底表示即可；（2）因为直线经过的垂心，所以，即，分别表示出代入即可．【详解】（1）由，所以为线段上靠近的三等分点．由，所以为线段的中点，，因为，所以；（2）为直线上一点，设，则，所以，，因为直线经过的垂心，所以，即，所以，解得，所以，因为，所以．【点睛】本题关键之处在于第二问中“直线经过的垂心”转化为“”，进而有“”．18．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.【详解】解：(1)第六组的频率为，∴第七组的频率为．(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，由于，，设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，由得，所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为．(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．19．已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，点P到A，B，C的距离均为．设二面角与二面角的大小分别为，．（1）求的值；（2）若，求平面APC与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）连结PO，OC，有，由圆的性质易得，由线面垂直的判定可得平面ABC，再取AC，BC的中点M，N，连接PM，OM，PN，ON，由线面垂直的判定易知面PMO，则，同理得，进而根据各线段的关系求即可.（2）构建以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，确定对应点的坐标，求面PAC、面PBC的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值.【详解】（1）连结PO，OC．由，O为AB的中点，则．∵C是圆O上异于A，B的一点，AB是圆O的直径，∴，从而，又，，∴，即，即，，又，∴平面ABC．分别取AC，BC的中点M，N，连接PM，OM，PN，ON，∴在圆O中，而平面ABC得，又，∴面PMO，即．同理可知：．∴．（2）由，即，又，得．在圆O中，，以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系．∴，，，又平面ABC，即轴，则．∴，，．设面PAC的法向量为，则，即，不妨取，则，，此时．设面PBC的法向量为，则，即，不妨取，则，，此时．∴．∴平面APC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．已知直线，，过点的直线分别与直线，交于，其中点在第三象限，点在第二象限，点；（1）若的面积为，求直线的方程；（2）直线交于点，直线交于点，若直线的斜率均存在，分别设为，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．【答案】（1）（2）为定值，详见解析【分析】（1）设直线方程为，与直线，分别联立，可得的纵坐标，再由的面积为，解方程可得k，进而得到所求直线方程；（2）求得A，B的坐标，设，运用三点共线的条件：斜率相等，求得，，再由两点的斜率公式，化简整理，计算即可得到所求定值．【详解】解：（1）设直线方程为，与直线，分别联立，可得的纵坐标分别为，∵的面积为16，∴即，解得，∴直线l的方程为；（2）由（1）可得，又，设，由共线，可得，解得，即有，由共线，可得，解得，即有，则，即有为定值．【点睛】本题考查直线方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线交点问题注意联立方程，考查三点共线的条件：斜率相等，以及斜率公式的运用，属于中档题．21．设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．（1）若函数为“函数”，求实数的值；（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；（3）已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）1.【分析】（1）由题意可得，根据解析式即可求解.（2）由题意可得，根据解析式整理可得，讨论或，使方程有根即可求解.（3）根据函数，求出，，设，从而可得，得出，构造函数，使其在区间上单调递增即可.【详解】解：（1）由为“函数”，得即，解得，故实数的值为；（2）由函数为“G(1)函数”可知，存在实数，使得，，即；由，得，整理得.①当时，，符合题意；②当时，由，即，解得且；综上，实数的取值范围是；（3）由为“函数”，得，即，从而，，不妨设，则由，即，得，令，则在区间上单调递增，又，如图，可知，故实数的最大值为1.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数为“函数”的定义，对于（3）将问题转化为在区间上单调递增，考查了分析能力、转化能力.22．如图,多面体中,平面,底面是菱形,,四边形是正方形.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点,使得