2021-2022学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，，再根据集合的交运算，即可得答案；【详解】，，，故选：C.2．已知条件，条件，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由，得，即，由，得，即．推不出，但能推出，∴p是q的必要不充分条件.故选：B3．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据幂函数的图象与性质，分和讨论，利用单调性和截距，由排除法，即可得到答案.【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，若时，函数在递减，递减，所以当时，和单调性相同，故排除选项A，B，选项D中：由图象可知，此时与轴交点为，所以交于轴正半轴，可排除D，故选：C.4．下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】通过举反例可判断A，B，D；利用作差法可判断C，进而可得正确选项.【详解】对于A，当时，，故选项A错误；对于B，若，，，，则，故选项B错误；对于C，若，则，即，故选项C正确；对于D，若，，，则，故选项D错误.故选：C.5．已知，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的定义域,结合分式函数分母不为零求出的定义域.【详解】,,的定义域为.又，且.的定义域是.故选：A6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据为偶函数，可得在上的单调性，将所求整理为或，根据的性质，即可求得答案.【详解】因为在R上的偶函数，且上单调递减，所以在上单调递增，且，则等价于或，根据的单调性和奇偶性，解得或，故选：A7．已知函数是定义在R上的增函数，且函数的图象关于点对称.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的图象可由的图象向左平移个单位得到，则为奇函数，且是定义在上的增函数，可得即为，由参数分离和对勾函数的单调性，结合恒成立思想可得所求范围．【详解】函数的图象关于点对称，由的图象可由的图象向左平移个单位得到，则的图象关于原点对称，即为奇函数，且是定义在上的增函数，即为，由为上的增函数，可得，即有对任意恒成立，又2x3，有23，即，即，则，所以实数的取值范围是故选：B．8．已知在区间上的最大值为2，则t的值为（

）A．或3 B．3 C．或 D．或6【答案】C【分析】化简函数，求得，结合函数的最大值为，列出方程，进而求得的值.【详解】由函数，可得，因为函数在区间上的最大值为，令，即，若时，或；若时，或；当和时，函数的最大值分别为和，不符合题意；当和时，函数的最大值分别为，符合题意，所以的值为或.故选：C.9．下列说法错误的是（

）A．命题：，，，则：，，B．“，”是“”成立的充分不必要条件C．“”是“”的必要条件D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【答案】C【分析】选项A：根据全称命题的否定为特称命题即可判断选项A正确；选项B和选项C：可以通过举例说明；选项D：根据韦达定理两根之积小于0进行判断.【详解】选项A：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：，，，则：，，，故选项A正确；选项B：当，时可以得到；但由不一定得到，，例如：，满足，但不满足，，故“，”是“”成立的充分不必要条件，选项B正确；选项C：当时满足，但不满足；当时满足但不满足，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选项C错误；选项D：若关于的方程有一正一负根，设为其两根，则，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，选项D正确.故选：C.二、多选题10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为B．在上是增函数C．的解集为D．的解集为【答案】AD【分析】分析可知为偶函数，研究时的函数的单调性和最值，即可得出AB的正确与否；研究函数的零点，结合单调性，奇偶性，即可判定C错误；分类讨论求解，即可得到不等式的解集，从而判定D正确.【详解】，所以是偶函数，在时，,图象为开口向下的抛物线的部分，对称轴为,在内单调递增，在上单调递减，最大值为,∴函数在R上的最大值为,在内单调递增，在内单调递减，故A正确，B错误；由于,结合函数的单调性和偶函数的性质画出图象如图所示.可知的解集为,故C错误；画出图象如图所示：由图象可得不等式的解集为，故D正确.故选：AD.11．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（

）A． B． C．有最小值4 D．无最小值【答案】BCD【分析】对A，B，根据题意设，利用待定系数法分别求出关于的解析式，即可判断，对C，利用基本不等式即可判断；对D，根据在上的单调性即可判断.【详解】解：对A，设，由题意知：函数过点，即，，故A错误；对B，，由题意得：函数过点，即，解得：，，故B正确；对C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对D，在上单调递减，故无最小值，故D正确.故选：BCD.12．有下列几个命题，其中正确的命题是（

）A．函数在上是减函数B．函数的单调减区间是C．已知函数对任意的，都有，的图象关于对称，则D．已知函数是奇函数，则【答案】BC【分析】对选项A，根据函数的单调区间不能用“”连接，即可判断A错误，对选项B，根据复合函数的单调性即可判断B错误，对选项C，根据函数的单调性和对称性即可判断C正确，对选项D，根据奇函数的性质即可得到，即可判断D错误.【详解】对选项A，函数的单调区间不能用“”连接，故A错误；对选项B，函数的定义域为，设，，为增函数，，为减函数，又因为为增函数，所以函数的单调减区间是，故B正确.对选项C，根据函数对任意的，都有，得到函数在区间为减函数，又因为的图象关于对称，所以函数在区间为增函数，所以距离对称轴越近，则函数值越大，所以，故C正确.对选项D，当时，，，解得，故D错误.故选：BC三、填空题13．设函数，则的值为___________.【答案】【分析】根据分段函数的形式，利用代入法进行求解即可.【详解】,,,.故答案为：14．已知，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用基本不等式求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，故答案为：15．已知函数满足，则___________.【答案】【分析】将变为，由构造方程组法求函数解析式．【详解】解：因为①，所以②，②①得，．故答案为：．16．定义区间的长度均为.已知，满足的x构成的区间的长度之和为___________.【答案】2【分析】根据不等式进行化简，求出不等式对应的解集，根据区间长度的定义进行求解即可．【详解】解：因为，所以，即，则，设的根为和．由求根公式得，，，数轴标根，穿针引线如图所示：解得或即原不等式的解集为，则构成的区间的长度之和，故答案为：2．四、解答题17．已知集合.(1)若，求；(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）时，求出集合，由此能求出；（2）由可得，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围．(1)解：时，集合，，．(2)解：，，当时，，解得，当时，，解得，实数的取值范围是．18．对于实数a和b，定义运算“”：，设.(1)求的解析式；(2)关于x的方程恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据代数式和之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数的解析式；（2）画出函数的图象，将方程的解的个数转化为与的交点个数问题，利用数形结合求出的取值范围．(1)解：由可得，由可得，所以根据题意得，即．(2)解：作出函数的图象如图，当时，开口向下，对称轴为，所以当时，函数的最大值为，因为方程恰有三个互不相等的实数根，所以函数的图象和直线有三个不同的交点，可得的取值范围是．19．已知函数对任意，都有，且当时，恒成立.(1)证明：函数是奇函数；(2)证明：为定义域上的单调减函数.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）令求出，再令，即可得到，即可得证；（2）设，则，利用可求得，又当时，，从而得，可证明函数在上单调递减．(1)证明：函数对任意，都有，令，则，所以，令，得，即，而，，即函数是奇函数，(2)证明：设，则，而，又当时，恒成立，，函数是上的减函数．20．为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调查发现，某水果树的单株产量V（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元.已知该水果的市场售价为25元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.(1)求函数的解析式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为元．【分析】（1）利用利润收入成本，列出函数关系即可；（2）分和两种情况，分别利用二次函数的性质以及基本不等式求解最值，比较即可得到答案．(1)解：（1）由题意，，故；(2)解：当时，，其对称轴为，故当时，函数取得最大值；当时，，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．因为，所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为元．21．已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)函数为方程的两个实根，求的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）写出二次函数对应的二次方程，计算判别式，判断方程根的情况，从而求出不等式的解集．（2）化简方程，利用方程的根与系数的关系，结合二次函数的性质，转化求解函数的最大值即可．(1)解：对于二次函数，其对应的二次方程为，所以，所以方程的两根为，．由，即，即当，即时，解得，即不等式的解集为；当，即时，原不等式等价于，所以不等式的解集为；当，即时，解得，即不等式的解集为；综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式无解；当时，不等式的解集为．(2)解：函数，函数，方程，可得，即，，为方程的两个实根，，即，解得，可得，，，开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减，所以即的最大值为．22．表示不超过的最大整数，例.已知函数，.(1)求函数的定义域；(2)求证：当且时，总有，并指出当为何值时取等号；(3)解关于的不等式.【答案】(1)；(2)证明见解析，当时取等号；(3)【分析】（1）、求出