数列求和方法大全例题变式解析标准答案-强烈推荐

#/13变式2：求数列a,2a2,3a3,,nan,；的前n项和••••••TOC\o"1-5"\h\z一 o1 2 3n变式3：求和：S-+ + ^ Hnaa2 a3 an考点三：分组划归法一 .1,11 .11 1例三：求数列1,1+—,1+—+—, ,1+—+v+ +^一的和.2 24 24 2n-1变式1：5,55,555,5555,…，5(10〃-1),…；9变式2：1x3,2x4,3x5,,n(n+2),；变式3：数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+22+…+2n-1),……前n项的和是 (A.2n B.2n-2 C.2n+i-n-2D.n2n考点四：奇偶求合法例四：S-1-3+5+7+ +(-1)n-1(2n-1)n

(ngN+)寸”卡工门SJ5+9—13++( 1(ngN+)变式1：求和：n变式2：已知数歹巾an｝中a1=2,an+an+i=1,Sn为｛a/前n项和，求Sn变式3已知数列仇｝中ai=1，a2=4，an=an-2+2（n^3），Sn为｛为｝前n项和，求Sn考点五：裂项相消法… …… … 1 1 1例五：｛a｝为首项为a1,公差为d的等差数列，求S=——+——+——+n 1 1变式： 1 1变式：1x3,2x4,3x5,1+ aan-11+ aan-1n变式2：数列通项公式为an1nn+n++1求该数列前n项和c 22 42 (2n)2变式3：：求和S——+ + + n1-33-5 (2n-1)(2n+1)考点六：分类讨论法例六：在公差为d的等差数列｛an｝中，已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.求，；TOC\o"1-5"\h\z若<求+ + + +变式1：在等差数列｛a｝中，a+a+a=a=—36,其前n项和为S.n 16 17 18 9 n(1)求S的最小值，并求出S的最小值时n的值；n n(2)求T=|a+|aIH HlaI.n11 12 n变式2:设数列｛a｝满足a=—5,a=2a+3n+1,已知存在常数p,q使数列n 1 n+1 n｛a+pn+q｝为等比数列.求|a|+a|+…+a|.n 1 2 n变式3：已知等比数列｛a｝中，a=64,q=1，设b=loga，求数列｛|b|｝的前n项和S.n 1 2 n2n n n答案及解析考点一例一：等差数列求和S=a+a++an1 2 na+(a+d): +[a+(n—1)d]①把项的次序反过来，则:+[a—(n—1)d]②n①②得:2S=(a+a)+(an1n1n(a+a)S- 1 n—n2变式1：思路分析：由Cm-Cn-m可用倒序相加法求和。nnTOC\o"1-5"\h\z证：令S -C0 +3C1 +5C2 +…+(2n+1)Cn (1)nn n n n则S-(2n+1)Cn+(2n—1)Cn-1+….+5c2+3C1+C0 (2)n n n n nnCm-Cn—mnn:.(1)+(2)有:2S-(2n+2)C0+(2n+2)C1+(2n+2)C2+…+(2n+2)Cnn n n n nS-(n+1)[C0+C1+C2+…+Cn]-(n+1)-2n等式成立n nnn n变式2：设S-sin21+sin22+sin23+ +sin289,又・.,S-sin289+°sin288+sin287+ +sin21,089 0 0 0・・.2S-89,S-—.2 \o"CurrentDocument"考点二P八、、 4例二：S-1+2x+3x2+ +nxn—1(x中0)n

n(n+1)解：①若x=1,则USn=1+2+3+…+n= 乙②若xW1,则S=1+2x+3x2+ +nxn-1nxS-x+2x2+3x3++nxnn两式相减得:(1-x)Sn-1+x+x2•・・xn-1(1-x)Sn1-xn nxn1-x1-xn nxn(1-x2) -x变式1:思路分析：已知数列各项是等差数列1,思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5,…2n-1与等比数列a。,a,a2,…,an-1对应项积，可用错位相减法求和。S-1+3a+5a2+…+(2n-1)an-1G)naS-a+3a2+5a3+ +(2n-1)an(2)nG)-(2):(1-a)S-1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)anna丰1a丰1时,(1-a)S=1+n2a(1-an-1)(1-a)2-(2n-1)n1+a-(2n+1)an+(2n-1)an+1(1-a)2当a-1时,S-n2n变式2：S-a+2a2+3a3+ +nan,n当a=1时,当a丰1时,n(n+1)S-1+2+3+…+n= ,n 2S—a+2a2+3a3+…+nan,naS—a2+2a3+3a4+…+nan+1,n两式相减得a两式相减得a(1-an) nan+1,1-a(1-a)S-a+a2+a3+ +an-nan+1-n...S―

nnan+2-(n+1)an+1+a•(1-a)2变式3：S-1+A+a+..・+2annan解：⑴a=1时，S—1+2+3•一+nnn(n+1)

-2-⑵a丰1时，因为a丰0 + H + ann-1 +nann-1 +10 1 2—S——+—+...+an an+1aan an+1由①一②得：(1-i)(1-i)S—1+

anaL+…+」an an+1(1-1)

anan+11-an+1a所以Sna(an—1)—n(a—1)an(a-1)2综上所述，(a=1)n((a=1)-2-a丰1)a(an-1)-n(aa丰1)an(a-1)2考点三P八、、 4一 1 1例二：求数列1,1+-,乙+——2n-1的和.解：：解：：an1+——2n-1-(2)n1-12-—2n-1・・.Sn=1+(1+2)+(1+2+4)+TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"11 1、+(1+—+—+ +--)24 2n-1二(2-1)+(2-扣(2-小++(2—2n-1+；)2n-1=2n-2+—2n-1变式1：n个 v n个S=5+55+555++555=-(9+99+999++999)=I[(10•-1)T(102-1)+(103-1)+ +(10^-1)]=5[10+102+103+ +10n-n]士H(10〃-1)-5n•变式2：n(n+1)(2n+7)n(n+2)=n(n+1)(2n+7)・，.原式=(12+22+32+…+n2)+2x(1+2+3+…+n)=变式3：C考点四例四：解：当 £时S=S=(1-3)+(5-7)+n 2k+[(4k-3)-(4k-1)]=-2k-—n当n-2k-1(k£N)时，+S-S-S-a--2k-[-(4k-1)]n 2k-1 2k 2k综合得：S=(-1)n+in

n变式1解：当n为偶数时：S=(1-5)+(9-13)+...+[(4n-7)-n-3)]=-(-4)=-2nn 2当n为奇数时：S=G-5)+(9-13+...+(4i-11)n-7)+(n)=n-1-)+(n3)=2n-l

n 2变式：解：①当n为偶数时：Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+,/ 、 , 、 / 、n-n-(a+a )+ (a +a)+•一+(a +a)=一・1=一1 2 3 4 n-1 n2 2②当n为奇数时:S-a+(a+a)+(a+a)+…+(an1 2 3 4 5 n-1n-1-2+——-2变式：解：:aa2=2(nN3)・・・nn-… 为等差数列；当n为奇数时：a-1+("1-1)•2-nn2为等差数列当n为偶数时：a-4+(n-1)•2-n+2

n2即G时，a-n+1+(-1)n

n 匚 」n-1-n(n+1) ,S-(1+2+3+…+n)+ •2- +n-1・①n为奇数时：n 2 2②n为偶数时:n n(n+1)-(1+2+3+…+n)+—•2 -+n^2 ^2考点、五例五：解：aaakk+1 k ।_；_k k

(a+d)d^a(a+d)LaLak+1--)]

an_1r1_ 1_1,1_TOC\o"1-5"\h\z (—— ) (——daa+ddakk k・・.S=1(1——ndaa1 2+ +j(-da1「J1、，1 1、—彳[(一——)+(————)+daaa1 2 2n—1n(n+2)=I-n+2),...s=1[(1—1)+d—，)+d—1)+

〃2 3 24 351 1+(—— nn+2、「 1「1 1)]——(1+—— —2 2n+1n+2变式2：解：：ann+n/n+1 Q：'n+n++1)(%：n+1—、；'n)・・.S=

n22+\.1\3+22n++1+nn二(<2—1)+(<3—、：2)+・・・+(Vn+T—nn)=jE—1.变式3：思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解(2k)2 (2k)2—1+1= = =1+(2k—1)(2k+1) (2k—1)(2k+1)(2k—1)(2k+1)―11/1 1、1+—( — )22k—12k+1=a+a+…+a=n+_[(1——)+(———)+…+(1 2 n2 3 3 5)]=n+*1(1—2 2n+12n(n+1)2n+1练习:求Snan答案：Snn(n+1) i2a(an—1)-n(a—1)an(a-1)2(a=1)考点六例六：解：（1）油题意得］2-22,2即2-所以=—1或=.所以=—n—11,n£n2设数列当nW11时，1.21的前n项和为.因为 n£,由1)=T，=—n+11,则=-.2十万n.当nN12时，-I \-=——2n n111=-n22n21,yn+11乙综上所述， 1.21

-2nF，n<11,1 21…15n2--^n+11,nN12.变式1：解：（1）当n=20或21时，的最小值