2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：2第1课时指数函数的图象和性质一

4.2.2指数函数的图象和性质第1课时指数函数的图象和性质(一)必备知识・探新知基础知识■知识点指数函数的图象和性质0Va<1a>1图象%._ >定义域R值域_(0,+8)__性质过定点(0,1),即x=0时，y=1在R上是减函数在R上是增函数思考：(1)对于指数函数y=2X,y=3X,y=(1)X,y=(|)x，…，为什么一定过点(0,1)?(2)观察指数函数的图象，思考：在下表中，？号处y的范围是什么？底数X的范围y的范围a>1x>0?X<0?0<a<1X>0?X<0?提示：(1)当X=0时，a0=1(aW0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0,1)•(2)底数X的范围y的范围a>1X>0y>1X<00<y<10<a<1X>00<y<1X<0y>1

基础自测.下列说法正确的个数是(C)⑴指数函数的图象都在％轴的上方.(2)若指数函数y=ax是减函数，则0<a<1.(3)对于任意的x£R,一定有3x>2x.A.0 B.12 D.3［解析］对于(1)，由指数函数的性质可知正确.对于(2)，由指数函数的单调性可知正确.对于(3)，由y=3x,尸2x的图象可知，当x<0时，3x<2x，故(3)不正确..函数y=(\"3-1)x在R上是(D)A.增函数 B.奇函数C.偶函数 D.减函数［解析］■「0<\门T<1,.•.函数y二(\13-1)x在R上是减函数・.函数y=2f的图象是(B)［解析］函数y=2-x=§)x过点(0,1)，且在R上是减函数，故选B..函数y=1-2x,x£［0,1］的值域是（B）A.A.[0,1]C.[。，2—7,0[解析].「0WxW1，，1W2xW2，「•-1W1-2xW0，选B.关键能力•攻重难

题型探究题型一指数函数的图象*・例1如图所示是下列指数函数的图象：(1)y=ax；(2)y=bx；(3)y=cx；(4)y=dx.则a,b,c,d与1的大小关系是(B)A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c［分析］根据指数函数的底数与图象间的关系来进行判断.［解析］可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1,⑴(2)的底数一定小于1,然后再由(3)(4)比较，c,d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小.当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.［归纳提升］指数函数图象的变化规律指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大.【对点练习】(1)如图所示是指数函数的图象，已知a的值取%'2,4,13o,5,则相应曲线g,C2,C3,C4的a依次为（D）A.3,我，C.3A.3,我，C.310,B.\,2,3,D12D5‘10,311055［解析］按规律，C］,C2,C3,C4的底数a依次增大，故选D.(2)若函数y=ax+(b-1)(a>0,且aW1)的图象不经过第二象限，则有(D)

A.a>1且b<1 B.0Va<1且bW1C.0<a<1且b>0 D.a>1且bW0［解析］由函数图象不过第二象限知a>1,且％=0时，a0+(bT)WO,「.bWO，故选D.题型二与指数函数有关的定义域、值域问题“■例2求下列函数的定义域和值域：(1)y=2x-4；… 2(2)y=(3)一"1；(3)尸入J1-(⑤.［分析］定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解.［解析］(1)由题意知x-4W0，所以xW4,所以函数的定义域为{xIxER,xW4}.因为—x-4W0,所以2=W1,所以函数的值域为{yIy>0,且户1}.(2)由题意知函数的定义域为R.因为I因为Ix倍0,所以y=(2)-Ix=(2)x彦(3)0=1，所以函数的值域为{yIIy三1}.⑶由题意知1—J)x三0,所以(2)x<1=(1)0,所以x三0,所以函数的定义域为{xIx三0,x£R}.因为y关于x单调递增，所以函数的值域为{yIy三0}.［归纳提升］1.函数单调性在求函数值域中的应用⑴若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数，则f(a)Wf(x)Wf(b)，值域为［f(a),f(b)］.(2)若函数f(x)在区间［a,b］上是减函数，则f(a)Nfx)三加)，值域为f(b),f(a)］.2.函数y二af:x)定义域、值域的求法(1)定义域.函数y=af(x)的定义域与y=fx)的定义域相同.(2)值域.①换元，令t=f(x)；②求t=f(x)的定义域xED；③求t=f(x)的值域tEM；④利用y二at的单调性求y=at,tEM的值域.【对点练习】 求y=(3)\:‘二的定义域和值域.［解析］由］-2三0,得％三2，所以定义域为{xIx三2}.当x三2时，、j二三0，又因为0<£<1,所以y二(3)\：'二的值域为{yI0<yW1}.题型三幕式大小的比较2・例3比较下列各题中两个值的大小.(1)1.82.2,1.83；(2)0.7-030.7-0.4；(3)1.90.4,0.92.4；(4)(5)；,岛1.［分析］(1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进行比较；(4)借助中间量(■90)2进行比较.［解析］(1);1.8221.83可看作函数y=1.8x的两个函数值，•••1.8>1,「.y=1.8x在R上为增函数，又2.2<3,・•・L82.2<1.83.(2)Yy=0.7x在R上为减函数,又•••-0.3>-0.4,.,.0.7-0.3<0.7-0.4.(3:190.4>1.90=1，0.92.4<0.90=1，「•1.90.4>0.92.4.(4)7••y=(190)x在R上为减函数，又聂,［归纳提升］比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法

.或借助于同一坐标系中的图象求解.求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解.或借助于同一坐标系中的图象求解.【对点练习】 比较下列每组中两个数的大小：(1)1.72.5,1.73;(2)0.8-0.108-0.2；50-50-2一33(.50-3-4.•指数函数j=.•指数函数j=1,7x在(-8,+8)上j=(4)x的图象，如图所示，当x=-，・1.70,3>0.93,1.(4)1.70.3,0.93.1.［解析］(1)考查指数函数j=1.7「由于底数1.7>1,是增函数.,.25<3,,1.72.5<1.73.(2)考查函数j=0,8x，由于0<0.8<1,・♦・指数函数j=0.8x在(-8,+8)上为减函数..•.-0.1>-0.2,,0.8-0,1<0,8-0.2.⑶在同一平面直角坐标系中画出指数函数j=(2)x与230.5时，观察图象可得(3)-0.5>(4)-0.5.-0.5；O(4)由指数函数的性质得1.70,3>1,70=1,0.93,1<0,90=1课堂检测•固双基.函数f(x)=nx与g(x)=(\S］1,n\5)x的图象关于(C)A.原点对称 B.x轴对称j轴对称 D.直线j=-x对称［解析］设点(x,j)为函数f(x)=nx的图象上任意一点，则点(-x，j)为g(x)=n-x=(；)x的图象上的点.因为点(x,j)与点(-x,j)关于j轴对称，所以函数f(x)=nx与g(x)=d)x的图象关于j轴对称，选C.

2.若函数f(x)=(2a-1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是(C)A.(0,1)CA.(0,1)C.(\S］1,2S,1)(—8,1)［解析］由已知，得0<2a-1<1,则2Va<1,所以实数a的取值范围是4，1)•.(2019•安徽合肥众兴中学高一期末测试)函数y=ax-2+1(a>0且aW1)的图象必经过点(D)A.(0,1) B.(1,1)C.(2,0) D.(2,2)［解析］令x-2=0,即x=2,y=ao+L2，故选D-.