高数课件第十章作业解答

1根据二重积分的性质，比较下列各积分大小：

(2)与其中D是由圆周所围成区域。解：如图,D位于半平面从而内，所以(3)与其中D是三角形闭区域，顶点是解：D位于内，故积分区域上的点满足因此2

利用二重积分性质，估计积分的值。

其中D是圆解：因为所以于是即3

计算二重积分：

(1)解：(2)其中D的顶点是的三角形闭区域。解：(3)其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；解：(4)D是由直线所围成的区域；解：4

化二重积分为二次积分：

(1)D是由y=x与抛物线所围成的区域；

解：如图直线y=x与抛物线的交点是，于是或(2)D是由直线y=x与x=2及双曲线所围成的区域；解：如图选择先对y后对x积分解：（1）积分区域D为改写为于是原式(2)积分区域D为改写为于是原式5

改变下列二次积分的积分次序：

(1)(2)(3)积分区域改写为因此解：(4)积分区域改写为所以解：6

设平面薄片所占的闭区域D由直线及x

轴所围成，它的面密度求该薄片的质量。解：如图所示7

计算由四个平面所围成的柱体被平面截得立体体积。解：如图所示8

化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1)解：（1）积分区域如图所示所以(2)9

化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1)解：所以(2)10

利用极坐标计算下列各题:(1)其中D是由圆周所围区域；解：在极坐标系下(2)其中D是由圆周所围成的在第一象限内的闭区域；在极坐标系下解：(3)其中D是由所围成的在第一象限内的闭区域；在极坐标系下解：11

选择适当坐标计算下列各题:(1)

其中D是由直线所围成的闭区域；解：选择直角坐标系，(2)

其中D是由圆周所围成的在第一象限内的闭区域；选择极坐标系，12

计算以面上圆周为顶的曲顶柱体的体积。解：曲顶柱体在面上的投影区域为：为底，以曲面由三重积分的物理意义可得13

设有一物体,占有空间闭区域在点处的体密度为计算该物体的质量.解,其中14

计算是由曲面与平面和所围成的闭区域.解是由球面15

计算

其中及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.在面上的投影区域为解

方法一于是利用直角坐标计算方法二利用柱面坐标计算于是方法三利用球面坐标计算是由平面计算,其中以及抛物柱面所围成的闭区域．16

方法一

在

于是解面上的投影区域为为奇函数，故方法二关于面对称，且被积函数关于因为与平面所围成的闭区域．是由锥面计算,其中17

解当截得立体的截面为圆域时

过作平行于面的平面于是利用柱面坐标计算下列三重积分：18

是由曲面,其中与所围成的闭区域；（1）在柱面坐标系下,解

（2）是由曲面,其中与平面所围成的闭区域．在柱面坐标系下,解

是由曲面在柱面坐标系下,（3）,其中及平面所围成的闭区域.解

是由球面

利用球面坐标计算下列三重积分：其中所围成.19

（1）在球面坐标系下,解

（2）,其中闭区域是由不等式所确定.的边界曲面为和解

求上下分别为球面和抛物面所围立体的体积.20

解

利用直角坐标计算方法一立体在面的投影为利用柱面坐标计算方法二21

求球面含在圆柱面内部的那部分面积.解：设第一卦限内，球面圆柱所截部分在面的投影为截得的面积为在第一卦限曲面的方程面积元素22

求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.解：由消去z得两曲面交线关于面上的投影面的投影柱面故在面上投影区域为锥面被割下部分方程面积元素所求曲面面积是23

设平面薄片所占闭区域D由抛物线与直线所围成，它在点处的面密度为求该薄片的质心。解：质心坐标为（密度）求由曲面

所围立体的质