线性代数同济六版共五章全

线性代数同济六版共五章全第1页/共249页一元一次方程

ax=b一元二次方程二元、三元线性方程组第2页/共249页行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性矩阵的特征值和特征向量第3页/共249页一元一次方程ax=b当a≠0时，二元（三元）线性方程组例解二元线性方程组得于是类似地，可得于是第一章行列式§1二阶与三阶行列式第4页/共249页线性方程组消去x2,的两边后,两式相加得消元法第5页/共249页记称它为二阶行列式，于是，线性方组（1）的解可以写为定义为类似地，可得第6页/共249页类似的，我们还可以定义三阶行列式为第7页/共249页n

阶排列共有n!个.排列的逆序数§2全排列及其逆序数把1,2,……,n

排成一列，称为一个

n

阶全排列.奇排列

逆序数为奇数的排列.在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有例1排列1

2……n

称为自然排列，所以是偶排列.一个逆序.偶排列

一个排列中所有逆序的总数.逆序数为偶数的排列.

它的逆序数为0，三阶排列共有3×2×1=3!个.第8页/共249页例2排列3251

4的逆序数为t(３２５１４)例3排列n(n−1)…321的逆序数为

t(n(n−1)…321)=0+1+2+…+(n−1)=排列32514为奇排列.＝０＋１＋０＋３＋１＝

5

第9页/共249页三阶行列式定义为§3n阶行列式的定义三阶行列式是

3!=6

项的代数和.123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3第10页/共249页三阶行列式可以写成第11页/共249页

定义由n2个数组成的数表，称为n

阶行列式,项的代数和，

即

规定为所有形如记成第12页/共249页例

1下三角行列式第13页/共249页例2下三角行列式例3

三阶行列式第14页/共249页

例5n

阶行列式

例4四阶行列式第15页/共249页经对换a与b,得排列

所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.§4对换

对换

定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

证先证相邻对换的情形.

那么设排列经对换a与b排列，得排列

相邻对换再证一般对换的情形.设排列第16页/共249页事实上，排列（1）经过2m+1

次相邻对换变为排列（2）.

定理2

n

阶行列式也可以定义为根据相邻对换的情形及2m+1

是奇数，性相反.所以这两个排列的奇偶第17页/共249页

53142解t(53142)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=8

53412求这两个排列的逆序数.经对换1与4得排列例1排列第18页/共249页1.选择i与

k使（1）25i1k成偶排列;（2）25i1k成奇排列.若是，指出应冠以的符号

3.计算n

阶行列式练习第19页/共249页行列式中的项.1.（1）i=4,k=3时，即排列25413

为偶排列；（2）i=3,k=4时，即排列25314

为奇排列.第20页/共249页

性质1

性质2

§5行列式的性质

推论

两行（列）相同的行列式值为零.数k,

推论行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号

性质4

性质3

式等于零.等于用数

k

乘此行列式.行列式与它的转置行列式相等.互换行列式的两行（列），行列式变号.行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列

外面.第21页/共249页若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，

例如则此行列式等于两个行列式之和.性质5第22页/共249页把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.性质6第23页/共249页设行列式DT

称为行列式

D

的转置行列式.记那么=第24页/共249页

设行列式D=det(aij)互换第i,j(i＜j)两行,得行列式

性质2的证明第25页/共249页其中，当k≠i,j

时,bkp=akp;当k=i,j

时，bip=ajp,,bjp=aip,其中,1…i…j…n是自然排列,所以于是=−D第26页/共249页例3第27页/共249页

r2-r1例5==0例6例7第28页/共249页

解r2-r1,r3-3r1,r4-r1

例8计算行列式第29页/共249页

r2÷2

r3+r2,r4-2r2第30页/共249页

r4÷(-3),r3←→r4

r4+3r3第31页/共249页

例9计算行列式

解从第4行开始，后行减前行得，第32页/共249页第33页/共249页

例10计算行列式

解各行都加到第一行，第34页/共249页

各行都减第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)第35页/共249页

§6行列式按行（列）展开

在

n

阶行列式det(aij)中，把元素aij

所在的第

i行和第j

列

Aij=(−1)i+jMij

记成Mij

,

称为元素aij

的余子式.

称它为元素aij

的代数余子式.

划去,剩下的(n−1)2

个元素按原来的排法构成的n−1阶行列式,

记

例1三阶行列式中元素a23的余子式为第36页/共249页元素a23的代数余子式为

例2四阶行列式中元素x的代数余子式为=5第37页/共249页

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元

或

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

或的代数余子式乘积之和，即素的代数余子式乘积之和等于零.即定理3推论第38页/共249页

引理在行列式D中，如果它的第

i行中除

aij

外其余元素都为0,即

D=aijAij那么证明先证aij位于第1行，第1

列的情形，即第39页/共249页由行列式的定义，得再证一般情形，设用互换相邻两行和相邻两列，把aij

调到左上角，得行列式第40页/共249页利用前面的结果，得于是所以引理成立.第41页/共249页

定理3

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

证因为

或的代数余子式乘积之和，即第42页/共249页椐引理，就得到类似地可得第43页/共249页

例3计算四阶行列式解按第

1列展开，有第44页/共249页例4计算四阶行列式解按第1

行展开，有第45页/共249页对等式右端的两个

3

阶行列式都按第3

行展开，得解c3-c1c4-2c1例5计算四阶行列式第46页/共249页第1行提取2，第2行提取−1按第2行展开得第47页/共249页按第

1

行展开

r2+r1=−24c2-c1

，c3-c1第48页/共249页

例6证明范德蒙（Vandermonde

）行列式证用数学归纳法.所以当n=2时（*）式成立.

假设对于n–1

阶范德蒙

ri–x1ri-1

,i=n,n–1,…2,有因为对

n阶范德蒙行列式做运算行列式等式成立.第49页/共249页按第1列展开后，各列提取公因子(xi-x1)

得第50页/共249页椐归纳法假设，可得归纳法完成.

推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元

或元素的代数余子式乘积之和等于零.即第51页/共249页例7计算行列式解第52页/共249页先以3阶行列式为例，例如为了证得因为所以又第53页/共249页设行列式D=det(aij

)，因为行列式D1中第

i行与第

j

行元素对应相同，把行列式D1

按第

j

行展开，有类似地，也可以证明另一个式子.所以推论的证明取行列式第54页/共249页

§7Cramer法则

设线性方程组

定理4

（Cramer法则

）若线性方程组（1）的系数行列式不即等于零，第55页/共249页其中

则方程组有唯一解第56页/共249页

证先证（2）是（1）的解，即要证明

为此看n+1

阶行列式第1行展开，注意到，其第一行中

aij的代数余子式为首先，因为第

1

行与第i+1

行相同,所以它的值为零.再把它按第57页/共249页故有

因而

即是线性方程组（1）解.第58页/共249页

3

个恒等式A12,A22,An2

分别乘以上的3个等式得相加,得

设x1=c1,x2=c2,x3=c3

是线性方程组（1）的解,于是有第59页/共249页类似的可得于是也就是由于第60页/共249页

例1用Cramer法则解线性方程组

解因为第61页/共249页所以第62页/共249页

定理

5

如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0

，那么它只有零解.下述齐次方程组有非零解？第63页/共249页

解根据定理

5

，若此齐次线性方程组有非零解，则其系所述方程组确有非零解.行列式必为

0.而第64页/共249页

第二章矩阵及其运算§1矩阵行矩阵（行向量)，列矩阵（列向量)，n

阶矩阵(n阶方阵).

定义1

由

m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)实矩阵称为m×n

矩阵.排成的m行n列数表,记成第65页/共249页

例1（价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价这里的行表示商店，列表示商品．aij表示每生产一万元第

j类产品需要消耗的第a23

=0.20就表示每生产一万元

第3类产品需要消耗掉0.20万元

例2（投入—产出矩阵）设某地区有3个经济部门，假定每个（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用货币来表示,i

类产品的价值．的第2类产品的价值．第66页/共249页例３（通路矩阵）甲省两个城市s1,s2与乙省三个城市t1,t2

,s1s2t1t2t341322每条线上的数字表示连接该两s1s2t1t2t3同型矩阵.

矩阵A与B相等,

记成A=B.

零矩阵,记成0.城市的不同通路的总数．以由此得到的通路信息，可用矩阵表示为：t3的交通连接情况如下图所示，第67页/共249页§2矩阵的运算一矩阵的加法

定义2

设A=(aij

),B=(bij

)都是m×n矩阵,矩阵A与B的和例1记成A+B,规定为第68页/共249页

矩阵的加法运算满足规律2.(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)3.A+0=A4.设A=(aij

),记–A=(−aij

),规定A−B=A+(−

B)二数与矩阵的乘法

定义3

规定为

称–A

为A

的负矩阵,1.A+B=B+A(交换律)

易知

A+(−A)=0第69页/共249页例2若那么3A=A3第70页/共249页数乘矩阵的运算满足规律：A,B为矩阵.三矩阵与矩阵的乘法

定义4

设A=(aij)是一个m×s

矩阵,B=(bij

)是一个

s×nA

与B的乘积记成

AB，即C=AB.规定

A与B

的积为一个m×n

矩阵C=(cij

)，其中

AB=ABm×ss×nm×n

矩阵,第71页/共249页例3

例4第72页/共249页例5

例6第73页/共249页一般来说，AB≠BA,

若矩阵

A、B

满足AB=0,n阶矩阵

称为单位矩阵.如果A为

m×n

矩阵，那么

即矩阵的乘法不满足交换律.未必有A=0或B=0

的结论.第74页/共249页

n阶矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律第75页/共249页解1解2第76页/共249页矩阵的幂

A是一个n阶矩阵,k

是一个正整数,规定矩阵的幂满足规律其中k,l

为正整数.对于两个n阶矩阵A与B，一般说例8第77页/共249页

解一

解二第78页/共249页

例10已知线性方程组如果记那么上述线性方程组可记成于是第79页/共249页四矩阵的转置

定义5

将矩阵

A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为

A

矩阵的转置满足下述运算规律记为AT.的转置矩阵,第80页/共249页

解一因为所以

解二第81页/共249页

矩阵

A称为对称矩阵，

容易知道,A=(aij)n×n是对称矩阵的充要条件是

例13如果A是一个

n

阶矩阵，那么，A+AＴ是对称矩阵．i,j=1,2,……,n.

矩阵

A称为反对称矩阵，如果AT=A.如果AT=−A.

矩阵A=(aij)n×n是反对称矩阵的充要条件是aij=−aji,

证因为A−AＴ是反对称矩阵．所以A+AＴ是对称矩阵．

aij=aji,i,j=1,2,……,n.

因为所以A−AＴ是反对称矩阵．第82页/共249页

例14设

A为m×n

矩阵,证由矩阵的乘法可知AAＴ是

m阶的.所以AAＴ是对称矩阵.1.证明H为对称矩阵.1.证因为所以H为对称矩阵.

因为2.计算H2

.第83页/共249页=E.第84页/共249页方阵的行列式运算满足下述规律，

例16

设A

是

n阶矩阵，称为矩阵A的伴随矩阵.式Aij

所构成的矩阵五方阵的行列式

定义6

由n

阶矩阵

A的元素（按原来的位置）构成的行列式，称为方阵A

的行列式,

证明

由行列式|A|的各元素的代数余子第85页/共249页那么于是第86页/共249页2.设

A

为3

阶矩阵,那么于是第87页/共249页

先就3阶矩阵给出证明.证设于是有因此同理可证，=0=0=0第88页/共249页

证设A=(aij

)n×n,也就是于是有因此同理可证，第89页/共249页§3逆矩阵

定义7

设

A

是n

阶矩阵，如果有

n

阶矩阵

B，使

如果矩阵A

是可逆的，则A

的逆矩阵是唯一的，记其为A-1.

定理1

若矩阵

A是可逆的，

证因为

A可逆，

定理2

若|A|≠0，则A

可逆,且则称A

是可逆矩阵，且称

B为A的逆矩阵.

AB=BA=E

即有A-1

使AA-1=E.所以|A|≠0.则|A|≠0.第90页/共249页

证由§2的例16可知根据逆矩阵的定义，即有所以有因为|A|≠0

，

设

A

是n

阶矩阵，如果|A|≠0,那么A称为非奇异矩阵.

A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0

．

A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的．

例1判断下列矩阵是否为可逆矩阵？第91页/共249页

推论设A,B都为

n

阶矩阵,于是则A

为可逆矩阵，若AB=E（或BA=E），所以|A|≠0

，

解因为所以A

为可逆矩阵，B是不可逆矩阵．

证因为|A||B|=|AB|=|E|=1,

例2因为所以第92页/共249页方阵的逆矩阵满足下述运算规律：因为因为3.设A,B

为同阶可逆矩阵,则AB也可逆，且3.设A,B

为同阶可逆矩阵,第93页/共249页

例3求矩阵的逆矩阵.

解由知A

的逆矩阵A-1

存在.4.设A

为可逆矩阵,因为第94页/共249页再由得第95页/共249页

例4已知求矩阵X满足AX=C.

解由例3知A-1存在，于是得X=A-1C

，即第96页/共249页§4矩阵的分块法子块

用分块法计算矩阵A与B的乘积,左矩阵

A

的列的分法与右

解把A，B

分块成其运算规则与普通矩阵的运算规则类似.矩阵B

的行的分法一致.

分块矩阵

分块法计算矩阵的乘积第97页/共249页则其中而第98页/共249页所以分块矩阵的转置设分块矩阵那么第99页/共249页分块矩阵其中

Ai都是方阵，则A是可逆矩阵，并有称为分块对角矩阵．第100页/共249页解用分块法.令可得第101页/共249页

例3设B

为n阶矩阵，若把按B列分块为则于是第102页/共249页若A

也是n

阶矩阵,便有AB=第103页/共249页

第三章矩阵的初等变换与

用消元法解线性方程组，§1矩阵的初等变换1.互换两个方程；2.以非零数乘某个方程；

3.一个方程的倍数加到另一个方程.

例1解线性方程组①←→②,×③

对方程组用到三种变换：

线性方程组第104页/共249页②−2①,×②，③+5②③−2①第105页/共249页

定义1下述三种变换称为矩阵的初等行变换:1.对调两行;2.以非零数乘某行的所有元素;3.把矩阵某行的所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去.

初等列变换.初等变换.

如果矩阵A经初等变换得到矩阵B,

下述形状的矩阵叫做行阶梯形矩阵

任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵.

那么称矩阵A与

B等价.记为A～B.第106页/共249页B1是矩阵A经初等行变换得到的阶梯形矩阵.

例2用初等行变换把矩阵～～～

解A变成行阶梯形矩阵.第107页/共249页称B2为行最简形矩阵.～再作初等行变换B1又可以变为

任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行最简形矩阵.对B2再作初等列变换又可得

任何m×n矩阵A

都可经过初等变换化为形如的矩阵．称矩阵F为A的标准形.第108页/共249页

例3用初等行变换将矩阵变成行最简形矩阵.

解A～～第109页/共249页～～第110页/共249页§2矩阵的秩

定义2

在m×n矩阵A中任取k

个行与k个列,

定义3

如果矩阵A中有一个

k

阶子式D≠0，零矩阵的秩规定为0.数

k

称

解在A中有一个2阶子式且A的所有的所以R(A)=2.3阶子式都等于零，

称为矩阵A的一个

位于这且所有的k+1

则称D为A的一个最高阶非零子式.阶子式都等于0,

为矩阵A的秩，矩阵A的秩记成R(A).些行与列交叉处的元素而得的k

阶行列式,

k阶子式.第111页/共249页

据定义3可知，

解在A中有一个3阶子式

且A中所有的4阶子式都等零，所以R(A)=3.

行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数.第112页/共249页Dr相应的一个r阶子式Mr,因而

若把矩阵A的第i行乘数k≠0得矩阵B，且Mr=Dr,或Mr=−Dr,

那么B中存在一个且Mr=Dr或Mr=kDr.与Dr相应的一个r阶子式Mr,

设R(A)=r，且A的某个r阶子式Dr≠0.

当A对调第i行,第j行得矩阵B时.

在矩阵B中存在一个与定理1

若A～B，则R(A)=R(B).

证明先证明,如果矩阵A经一次初等行变换得矩阵B，那么R(A)≤R(B).

我们也可以证明，如果把矩阵A的第j行的k倍加到第i行得到矩阵B,

那么矩阵B中必有一个r阶子式Mr≠0.因而因而第113页/共249页

这样，我们就证明了，

如果矩阵A经一次初等行变换得矩阵B,则有R(B)=R(A).

由矩阵经一次初等行变换秩不变，类似的可以证明，经有限次初等列变换总之，若A～B，则R(A)=R(B).则R(A)≤R(B)成立.所以也应有R(B)≤R(A).

若矩阵A经一次初等行变换得矩B，那么矩阵B也可以

这样，我们就证明了，若矩阵A经一次初等行变换得矩阵B,变换矩阵的秩也不变.经一次初等行变换得矩阵A,

即可知经有限次初等行矩阵的秩也不变.第114页/共249页

例3

求下列矩阵的秩

求矩阵A的秩1.根据矩阵秩的定义.2.根据定理1.

用初等变换把矩阵A化成行阶梯形矩阵，

行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数（定义3）.

解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.Ar1←→r2～r2-2r1r2←→r3～r3+4r2因此，R(A)=3.

矩阵A的秩=此行阶梯形矩阵的秩（据定理1）．第115页/共249页

例4求下述矩阵的秩

解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.Ar1←→r3r2-2r1r3-2r1～～因此，R(A)=2.第116页/共249页

线性方程组称为n元齐次线性方程组.A称为方程组的系数矩阵．于是，这个齐次方程组可以记为§3线性方程组的解记第117页/共249页

定理2

n

元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要

证必要性设方程组Ax=0有非零解.假设R(A)=n，根据Cramer法则，D所对应的n个方程构成的齐次线性方程组

从而原方程组Ax=0也只有零解，矛盾.

充分性设R(A)=r＜n,那么A1只含r个非零行，

用反证法来证明条件是系数矩阵A的秩R(A)<

n

.R(A)<n.

故R(A)<n.

对A施行初等行变换得到行阶梯形矩阵A1.那么在A中应有一个n阶子式|D|≠0.只有零解，不妨设为第118页/共249页于是齐次线性方程组Ax=0与这个方程组有n-r>0个自由未知量,也有非零解.同解.把它改写成

因此有非零解.故Ax=0第119页/共249页

例1

3元齐次线性方程组是否有非零解？

解由r2-r1r3-3r1

r4-r1r3-r2

r4-2r2因为R(A)=2＜3所以此齐次线性方程组有非可知R(A)=2.～～零解.第120页/共249页

解用初等行变换化系数矩阵可知，有非零解.R(A)=2<3.性方程组有非零解.～～第121页/共249页n元非齐次线性方程组A称为非齐次线性方程组的系数矩阵,B称为增广矩阵.记于是，Ax=b这个非齐次方程组可以记为其中第122页/共249页

定理3n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条

证明必要性

则B可化成行阶梯形矩阵件是R(A)=R(B),假设R(A)<R(B)，

其中B=(Ab)为非齐次线性方程组

用反证法,设非齐次线性方程组Ax=b有解，要证R(A)=R(B).Ax=b的增广矩阵.第123页/共249页于是得到与原方程组Ax=b同解的方程组：第124页/共249页因为它含有矛盾方程0=1，所以这个方程组无解，

这与原方程

充分性设R(A)=R(B)=r.则B1中含r个非零行.用初等行变换化增广矩阵B为组有解矛盾.故R(A)=R(B).行阶梯形矩阵B1，

不妨设B1为B1对应的方程组为第125页/共249页这个方程组有解.

它与原方程组Ax=b同解，所以非齐次线性方程组Ax=b有解.

由上述证明还可以知道，

n

元非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是

R(A)=R(B)=n.第126页/共249页

例3判断下列非齐次线性方程组是否有解解用初等行变换化其增广矩阵～第127页/共249页～由此可知，R(A)=3,R(B)=4，即R(A)≠R(B)，因此方程组

例4a,b取何值时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？无解.第128页/共249页

解用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，～

（1）当a≠−1时，R(A)=R(B)=4,（2）当a=−1，b≠0时，R(A)=2,而R(B)=3,（3）当a=−1，b=0时，R(A)=R(B)=2,由此可知：～方程组有唯一解；方程组无解；方程组有无穷多个解.第129页/共249页§4初等矩阵

定义4

由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有三种：E～第130页/共249页EE～～第131页/共249页

例1矩阵且有都是初等矩阵，所以第132页/共249页由于也都是初等矩阵，第133页/共249页所以初等矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵.一般的有第134页/共249页=E.因此，由于第135页/共249页=E.因此，由于第136页/共249页=E.因此，由于第137页/共249页

定理4

对矩阵A施行一次初等行（列）变换相当于以相应

证明设A是m×n矩阵,记其中a1,…,ai,…,aj,…,am分别是A的第1,…,i,…,j,…,m行.用初等矩阵E(i,j)左乘矩阵A,得的初等矩阵左（右）乘A.第138页/共249页同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也成立.类似的，可以得到初等列变换的情形.第139页/共249页

例2

例3第140页/共249页

定理5

设A为n阶矩阵,则A是可逆矩阵的充分必要条件是

证明必要性设A为可逆矩阵.A=P1……PiE

Pi+1……Pk即A=P1P2……Pk.

充分性因为初等矩阵是可逆矩阵，可逆矩阵的乘积也是可

推论矩阵A～B(A与B等价）的充要条件是存在可逆矩

用初等变换求矩阵的逆矩阵

设A为可逆矩阵,据定理5，有初等矩阵P1,P2,…,Pk,使存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pk

，使A=P1P2…Pk.也就是存在初等矩阵P1,P2,…,Pk,使

所以,当P1,P2,…,Pk为初等矩阵,

A=P1P2…Pk

时，

因为A～E,

所以E经有限次初等变换可以化为A，逆矩阵.A是可逆矩阵.矩阵P和Q使PAQ=B.第141页/共249页还有所以由（1）和（2）式，根据定理4可知，可逆矩阵A经一些初等E经同样一些初等行变换可变为A-1.初等行变换～A=P1P2…Pk.于是有行变换可化为E,第142页/共249页～～～

解第143页/共249页所以～第144页/共249页～～～所以第145页/共249页

第四章向量组的线性相关性§1n维向量

定义1

由

n

个数a1,a2,……,an

组成的有序数组，叫做

n

维向量,实向量

向量的加法，

列向量，称

ai

为向量

a

的第

i个分量.行向量.数乘.记成第146页/共249页§2向量组的线性相关性

向量组

如果A=(aij)是m×n

矩阵，称为矩阵A的列向量组.m×n

矩阵A=(aij

)又有m个

n

维行向量:称为矩阵

A的行向量组.另一方面，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵.例如，由向量组（*）可以构成m×n矩阵那么A有n

个m

维列向量:A=(a1,

a2,……,an

)第147页/共249页

定义2

设向量组A:a1,a2,……,am,任取一组实数称向量是向量组A

的一个线性组合.

给定向量组A:a1,a2,……,am和向量b,使则称向量

b

能由向量组A线性表示.因为b=2a1–a2，所以

若存在一组数第148页/共249页也就是说非齐次线性方程组无解.第149页/共249页就是说非齐次线性方程组有解.

一般地，向量

b

能由向量组A:a1,

a2,……,am线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组有解.据第3章定理3，所以有

定理1

向量

b

能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=

R(B),其中矩阵A=(a1,

a2,……,am

),B=(a1,

a2,……,am,b)

.第150页/共249页～解因为第151页/共249页由此可知，R(A)=3,R(B)=4，

定义3

设有向量组A:a1,

a2,……,am和向量组

B:b1,b2,若向量组

A与向量组

因此向量b

即R(A)

≠R(B)，那么称向量组B

能由向量组A线性表示.如果组B

的每个向量都能由向量组

A线性表示，则称这两个向量组等价.

不能由向量组A线性表示.……,bs，B能互相线性表示，等价．第152页/共249页

定义4

设有向量组A:a1,

a2,…,am,则称向量组

A

是线性相关的.否则，称它是线性无关的.才能使（＊）式成立，也就是，则称向量组

A

是线性无关的.如果存在不全为零的数因为有第153页/共249页

向量组A:a1,

a2,……,am

线性相关的充分必要条件是齐次线有非零解.

定理2

向量组a1,

a2,……,am

线性相关的充分必要条件是矩阵A的秩R(A)<

m.其中矩阵

A=(a1,

a2,……,am

).所以向量组E线性无关.因为只有当性方程组第154页/共249页

例7向量组向量组a1,a2,a3是线性无关的.因为矩阵A=(a1,a2,a3

)的行列式|A|≠0,

例8讨论向量组

的线性相关性.解先求矩阵（a1,a2,a3)的秩.由～所以R(A)=

3.

由定理2知，第155页/共249页知R(a1,a2,a3)=2<3,所以向量组a1,a2,a3

线性相关.

解由～～的线性相关性.第156页/共249页

例10已知向量组a1,a2,a3

线性无关，

证设有一组数x1,x2,x3

使x1(a1+a2

)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0⑴可知R(a1,a2,a3,a4)=3,同时,由可见

R(a1,a2,a4)=3,因此，向量组a1,a2,

a4

线性无关.～所以向量组a1,a2,a3,a4

线性相关.

a1+a2，

a2+a3，

a3+a1

证明向量组也线性无关.第157页/共249页因为向量组a1,a2,a3

线性无关,(x1+x3)a1+(x1+x2

)a2+(x2+x3)

a3=0所以有由于此齐次线性方程组的系数行列式故只有零解x1=0，x2=0，x3=0，

所以向量组a1+a2

，a2+a3

，a3+

a1也就是线性无关.第158页/共249页于是就有即a1能由

a2,……,am线性表示.

如果向量组A中有一个向量能由其余向量线性表示.

证明如果向量组A:a1,

a2,……,am(m≥2)

线性相关，

例11向量组A:a1,

a2,……,am(m≥2)

线性相关的充分设am能由a1,a2,……,am–1线性表示:于是所以向量组A线性相关.则有不全为零的数不妨必要条件是向量组A中至少有一个向量能由其余向量线性表示.第159页/共249页

定理3⑴若向量组A:a1,a2,……,am

线性相关,组B:a1,

a2,……,am,am+1也线性相关.⑵若向量组

A:线性无关，也线性无关.则向量组B:

则向量第160页/共249页⑶n+1

个

n

维向量必线性相关.⑷如果向量组

A:a1,

a2,……,am

线性无关，a1,

a2,……,am,b线性相关,

那么向量b可由向量组

A

线性表示.且表法唯一.

证⑴记矩阵A=(a1,

a2,……,am),B=(a1,

a2,……,am,am+1)于是R(B

)≤R(A)+1.

若向量组

A:a1,

a2,……,am

线性相关,有R(A)<m，再由定理2向量组B

也线性相关.⑵记矩阵A=(a1,

a2,……,am),B=(b1,b2,……,bm

),这里A

若向量组A

线性无关，则R(A)=m，于是R(B)=m，

因此向量⑶设a1,

a2,……,an+1

都是

n

维列向量,则有R(A)≤n＜n+1,

故n+1

个

n

维向量a1,

a2,……,an+1据定理2,就可知，所以R(B

)≤R(A)+1＜m+1,而向量组B:An×(n+1)=(a1,……,an,an+1)记矩阵组B

也线性无关.为n×m

矩阵,B为(n+1)×m矩阵,有R(A)≤R(B)≤m.第161页/共249页⑷记矩阵A=(a1,

a2,……,am)和B=(a1,

a2,……,am,b)，有R(A)≤R(B).因为向量组A线性无关，而向量组B线性相关，所以R(A)=m，R(B)＜

m+1，因此R(B)=m.由R(A)=R(B)=m,据定理1可知，向量b可由向量组

A

线性表示.根据第3章定理3后面的结果可以得到，

向量b能由向量组

A

必线性相关.

线性表示式是唯一的.第162页/共249页知R(a1,a2,a3)=2,所以向量组a1,a2,a3

线性相关.根据定理3(1)可知，向量组a1,a2,a3,a4

也线性相关.例13讨论向量组a1,a2,a3

线性相关性,其中

解因为向量组线性无关，根据定理3(2),所以～～解因为第163页/共249页向量组a1,a2,a3

线性无关.例14已知向量组线性无关，由定理3(3)可知向量组线性相关，根据定理3(4)可得,能由向量组线性表示，且表法唯一．第164页/共249页§3向量组的秩

定义5

如果在向量组A

中有

r个向量a1,

a2,……,ar

满足条件：

⑴向量组a1,

a2,……,ar线性无关，⑵向量组A

中任意

r+1

个向量都线性相关.那么称向量组a1,

a2,……,ar

是向量组A

的一个最大线性无关向r

称为向量组A

的秩.

一般来说，向量组的最大无关组不是唯一的.简称为最大无关组.

量组，第165页/共249页

定理4

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，

证设矩阵An×m

=(a1,

a2,……,am),Dr所在的r

个列向量线性无关.再由定理2知，A中的任又由于A

中所有的r+1阶子式都为0，所以A的列向量组的秩等于

r.因此,Dr所在的

r列是A

的列向量

类似的可证,矩阵A的行向量组的秩也等于矩阵A

的秩R(A).

如果向量组的秩是r,

易知，向量组与它的最大无关组是等价的.

那么此向量组的任意r

个线性无关的也等于它的行量并设r

阶据定理2可知，子式Dr≠0.且R(A)=r,向量都可以是它的一个最大无关组.组的秩.意r+1个列向量都线性相关.组的一个最大无关组.都是向量组A的最大无关组.第166页/共249页

例2求下列向量组的秩和它的一个最大无关组：

解组成矩阵A=(a1,a2,a3,a4

),知R(A)=3，所以，向量组a1,a2,a3,a4的秩等于3.

因为，向量组a1,a2,a4构成的矩阵经初等行变换可以变成A

～用初等行变换把A

变成行阶梯形矩阵.第167页/共249页因此向量组a1,a2,a4线性无关.于是a1,a2,

a4是向量组a1,a2,a3,a4的一个最大无关组.～所以,向量组a1,a2,a4

的秩为3，

定理5

如果向量组B

能由向量组A线性表示，

那么向量组B的秩不大于向量组A的秩.

证设向量组A

的一个最大无关组为A0:a1,a2,……,as,向量组

B的一个最大无关组为B0:b1,b2,……,br.

要证

r≤s.

因为向量组B

能由向量组A线性表示，

所以向量组B0

能由第168页/共249页于是有s×r

矩阵K=(kij)使假设

r>s,看齐次线性方程组向量组A0

线性表示.它的系数矩阵的秩R(K)≤s<r,

所以有非零解.任取其一个就有第169页/共249页这与向量组B0线性无关矛盾，

推论1

等价的向量组秩相等.

推论2

设A是m×n

矩阵,B为n×s

矩阵，则R(AB)≤R(A),

推论3

设向量组A0是向量组A

的部分组,若向量组A0线性因此r≤s.

R(AB)≤R(B).无关,且向量组A

能由向量组A0线性表示,则向量组A0

是向量组A

的一个最大无关组.第170页/共249页例3向量组A:的秩相等，都为2.但向量组A

与B

不等价.

秩相等的向量组未必等价．第171页/共249页§4向量空间

定义6

设

V

是n

维向量的集合，那么称集合V为向量

例13维向量的全体R3是一个向量空间,

由单个零向量组成

例2集合是一个向量空间.

例3集合不是向量空间.

定义7

设有向量空间U

及V,

就称U

是V

的子空间.

定义8

设V为向量空间，如果

r

个向量且满足如果集合V

非空，且对任意的集合也是一个向量空间.空间.第172页/共249页⑵V中任意向量都可由a1,a2,……,ar线性表示.那么，向量组a1,a2,……,ar

就称为V的一个基，空间V的维数，

例1中R3的维数为3

，因为，是R3的一个基.

例2中V的维数为n-1,因为是它的一个基.

事实上，r维向量空间中的

r

个线性无关的向量就可以