文档：高考解析几何解答题的类型与解决策略

高考解析几何解答题的类型与解决策略Ⅰ.求曲线的方程1．曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。例1．已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代MONxPy入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.MONxPy例2．在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。MNQO分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为MNQO2．曲线的形状未知-----求轨迹方程例3．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。OAxOAxBC例4．给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。分析：设C（x,y）,B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0若，y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)；若y=0，则b=0,∠AOB=180º,点C的坐标为（0，0），也满足上式。所以，点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)。当a=1时，方程表示抛物线弧；当0<a<1时，方程表示椭圆弧；当a>1时，方程表示双曲线一支的弧。一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题1．有关最值问题例5．椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。设椭圆方程为，则由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:|PQ|==(-byb).若b<，则-<-b,当y=-b时，|PQ|max=.解得：b=->与b<矛盾；若b，则当y=-时|PQ|max=,解得:b=1,a=2.2．有关范围问题例6．已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p。 （1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则,又y1=x1-a,y2=x2-a,解得:(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：,所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S△NAB=,即△NAB面积的最大值为2。例7．已知椭圆，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，证明：.分析：欲证x0满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a≤x≤a,因此问题转化为寻求x0与x的关系。由题设知，点P在线段A