线性代数的应用

线性代数的应用第1页，共42页，2023年，2月20日，星期六广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域。应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程。

线性代数是最有趣最有价值的大学数学课程

---DavidC.Lay第2页，共42页，2023年，2月20日，星期六电路网络问题

在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫（Kirchhoff）定律来解决。以图3-2所示的电路网络部分为例来加以说明。

第3页，共42页，2023年，2月20日，星期六第4页，共42页，2023年，2月20日，星期六设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律（简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流定律），有对于节点A：

对于节点B：对于节点C：对于节点D：第5页，共42页，2023年，2月20日，星期六于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解相应MATLAB代码为（dianlu.m）clearA=[1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0];b=[0;0;0;0];[R,s]=rref([A,b]);r=length(s);disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r')第6页，共42页，2023年，2月20日，星期六其中:由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的3个任意常数应满足以下条件：

如果则：解之，得其解为第7页，共42页，2023年，2月20日，星期六

2.联合收入问题

已知三家公司X,Y,Z具有图2-1所示的股份关系，即X公司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另两家公司控制等等。第8页，共42页，2023年，2月20日，星期六现设X，Y和Z公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入、试确定各公司的联合收入及实际收入。第9页，共42页，2023年，2月20日，星期六

解

依照图2-1所示各个公司的股份比例可知，若设X、Y、Z三公司的联合收入分别为x,y,z,则其实际上各自公司自身的收入（实际收入）分别为0.7x，0.2y，0.3z。联合收入由两部分组成，即营业净收入及从其他公司的提成收入，故对每个公司可列出一个方程第10页，共42页，2023年，2月20日，星期六x=12+0.5z对Y公司为y=10+0.1z对Z公司为z=8+0.3x+0.2y故得线性方程组

x-0.5z=12y–0.1z=100.3x+0.2y–z=-8对X公司为（X，Y和Z公司各自的营业净收

入分别是12万元、10万元、8万元）第11页，共42页，2023年，2月20日，星期六Matalb计算>>A=[10-0.512;01-0.110;0.30.2-1-8]>>rref(A)ans=10020.192801011.638600116.3855第12页，共42页，2023年，2月20日，星期六Y公司的联合收入为y=11.6386(元)实际收入为0.2*11.6386=2.3277(万元)Z公司的联合收入为z=16.3855(元)实际收入为0.3*16.3855=4.9157(元)于是X公司的联合收入为X=20.1928(万元)实际收入为0.7*20.1928=14.1350（万元）第13页，共42页，2023年，2月20日，星期六3.决策问题某大三学生的第一学期的必修课程只有1门(2个学分)；限选课程8门，任选课程10门。由于有些课程之间有联系，所以可能在选修的某门课程时必须同时选修其课程，这18门课程的学分数和要求以及相应信息如表1所示。按学校规定,每个学生每学期选修的总学分不能少于21学分，因此，学生必须在上述18门课程中至少选修19学分，任意选修课的学分不能少于3学分,也不能超过6学分。试为该学生确定一种选课方案。第14页，共42页，2023年，2月20日，星期六12345678554433321291011121314151617183332221111864576表118门课的学分数及要求课号选修课学分选修要求课号选修课学分选修要求第15页，共42页，2023年，2月20日，星期六解：列线性方程组如下：假设该学生所选的任意选修课的学分为3分，18门课程共选修19个学分，则有如下的线性方程组：解：列线性方程组如下：解：列线性方程组如下：假设该学生所选的任意选修课的学分为3分，18门课程共选修19个学分，则有如下的线性方程组：第16页，共42页，2023年，2月20日，星期六矩阵A=,b=则通解为第17页，共42页，2023年，2月20日，星期六又因为的值为0或1，所以或为例，则此方程的通解为：第18页，共42页，2023年，2月20日，星期六由=0或1得，=0或1，假设=1，可令m2=…=m5=0,m1=m6=1,这样可得，则第19页，共42页，2023年，2月20日，星期六由=0或1得，=0或1，不妨设=0，此方程的通解为：第20页，共42页，2023年，2月20日，星期六由=0或1得，=0或1.又因为，所以由题意可得，所以可令m1=m2=m3=m4=0，m5=m6=m7=1，m8=0，则第21页，共42页，2023年，2月20日，星期六所以可得到方程组的一个解，这组解对应的选课方案为：选1,2,3,8,15,16,17第22页，共42页，2023年，2月20日，星期六Matlab实现如下:输入内容为：clearA=[5,5,4,4,3,3,3,2,3,3,3,2,2,2,1,1,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,3,3,3,2,2,2,1,1,1,1];b=[19;3];x0=A\bnull(A,'r')第23页，共42页，2023年，2月20日，星期六clearA=[-1,-0.8,-0.8,-0.6,-0.6,-0.6,-0.4];b=[-2.2];k0=A\bnull(A,'r')A=[-1,-1,-2/3,-2/3,-2/3,-1/3,-1/3,-1/3,-1/3];b=[-1];k0=A\bnull(A,'r')第24页，共42页，2023年，2月20日，星期六人口迁徙问题

设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？第25页，共42页，2023年，2月20日，星期六

分析与求解这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，设市区和郊区初始人口数量分别为：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后，市区人口为xc1(10.06)xc00.02xs0，郊区人口xs10.06xc0(10.02)xs0用矩阵乘法来描述，可写成：

分析与求解这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，设市区和郊区初始人口数量分别为：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后，市区人口为xc1(10.06)xc00.02xs0，郊区人口xs10.06xc0(10.02)xs0用矩阵乘法来描述，可写成：第26页，共42页，2023年，2月20日，星期六

建立模型并用MATLAB求解从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可写为

输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],x0[0.3;0.7] x1A*x0,x10A^10*x0,x30A^30*x0,

x50A^50*x0得到：从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可写为

输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],x0[0.3;0.7] x1A*x0,x10A^10*x0,x30A^30*x0,

x50A^50*x0得到：从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可写为

输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],x0[0.3;0.7] x1A*x0,x10A^10*x0,x30A^30*x0,

x50A^50*x0得到：第27页，共42页，2023年，2月20日，星期六

人口分布趋势分析无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值。先求A的特征值和特征向量，得到第28页，共42页，2023年，2月20日，星期六将A对角化

第29页，共42页，2023年，2月20日，星期六

人口分布的趋势

式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k27，这第二项就可以忽略不计，从而得到

。第30页，共42页，2023年，2月20日，星期六5.多对基因型的遗传选种

在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.如人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A和a控制.基因对是AA和Aa的人,眼睛是棕色,基因对是aa的人,眼睛为蓝色.由于AA和Aa都表示了同一外部特征,或认为基因A支配a,也可认为基因a对于基因A来说是隐性的(或称A为显性基因,a为隐性基因).由于实际生活中动植物的特性一般都是有多对第31页，共42页，2023年，2月20日，星期六基因共同决定的。现考虑两对基因型的情况。假设某植物的性状主要由Aa,Bb两对基因型控制，其中含A和B基因型的植物表现为优良的性状。假设第一代植物的九种基因型（AABB，AaBB,aaBB,AABb,AaBb,aaBb,AAbb,Aabb,aabb）占植物总数的百分率分别为，则满足，记为第ｎ代植物的基因型分布。第32页，共42页，2023年，2月20日，星期六由于基因都是成对出现的,一般地,一对中的每个基因可以取两种不同的形式(等位基因)A和a,而两种等位基因可形成对应于特点位的三个基因型AA、Aa或aa。一个后代各以1/2的概率接受父亲的两个基因中的任一个,又以1/2的概率从母亲的两个基因中的任一个,故上代的基因型对下一代基因型之间的转移概率如表2所示:第33页，共42页，2023年，2月20日，星期六

父亲母亲基因

子女基因AA_AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21第34页，共42页，2023年，2月20日，星期六由基因自由组合定律，Aa和Bb为非同源染色体上的两对基因，当亲本进行结合时，非同源染色体上的基因自由组合，即A，a基因和B，b基因在亲本杂交过程中可自由组合。即子代基因型为CD的植物的概率与亲代在杂交时各自形成的基因型C和D的概率的关系为：P(CD)=P(C)P(D)（其中C为AA，Aa或aa,D为BB，Bb或bb）因此根据表1和上式可得表3第35页，共42页，2023年，2月20日，星期六母亲基因型（父亲基因型为AABB）子女基因AABBAaBBaaBBAABbAaBbaaBbAAbbAabbaabbAABB11/201/21/40000AaBB01/2101/41/2000aaBB000000000AABb0001/21/4011/20AaBb00001/41/201/21aaBb000000000AAbb000000000Aabb000000000aabb000000000第36页，共42页，2023年，2月20日，星期六现为了培育优良的品种，计划用AABB基因型的植物和每种基因型的植物结合培育后代，问经过若干年后,这种植物后代基因型分布将出现什么情形?

提示：先考虑第n代植物的各基因型所占比例和第n