垂直平分线的习题一式多解

《段直平分线》中一道习题的式辽宁省锦州市第三中学岳伟北师大版九年级上段垂平分线》课后习题中三题：例：如图，在△中已知AC=27，的直分线交于D，交AC于点，的周长等于50求BC的长解析：由线段垂平分线定理得出，由此的长等于AC+BC，进而可以求得BC的为23.点评：此题是ABC中一边AB的直平分线AC相;那么垂直平分线与BC相交时如图对应是△的周长它的周也等于AC+BC.图形变但结论不变AAD

DEB

CB

图

C

图变式：如图，在△ABC中，AB的直平分线交于点D交AC于，若∠BEC=70°，则∠A=解析：由线段垂平分线定理得出AE=BE，可得△ABE是等腰三角形，由“三角形的一个外角等和它不相邻的两个内角的和得出∠A进而出A=35°.点评：此题变式角的计算方法，应用了两个定按照同样的方图也能得出相应的结论：AEC=2变式：如图3，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中AB的直平分线交BC边于点。BE=2，∠B°求：AC的。

图解析：由线段垂平分线定理得出AE=BE应用变式1的结论，可求得AEC=30°，再应用“直角三形30°所对的直角边等于斜边的一”性质，可出求AC=1.

点评：此题为图变式，由一般三角形变为直角角形，上面我们总结的结论不变然后再应用直角角形的有关性质。[变式练习1]如图4在RtABC中，的垂直平分线交BC边点若BE=2，∠=22.5°求：AC的长

图

提示与答案：AEC是等腰直角三角形,AE=2,应用勾股定理得

2例如，在△中，AB=AC,BC=12,BAC°的垂平分线交BC边点AC的直分线交BC边点N.(1)求△AEN的.(2)求∠EAN的.(3)判断△的形.

A

MB

EN图

解析：此题图形一个顶角是钝角的等腰三角形两腰的垂直平分线都与底边相交（）用线段垂直平分线定理得出AE=BE，AN=NC因此AEN的周长等于BC的长.（）应用变式1的论∠AEN=2∠B=60°，∠ENA=2∠C=60°所∠EAN=60.3）由（）知△AEN是边三角.[变式练习2]:如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=130,AB的垂平分线交BC边点E,AC的垂平线交BC边点N.(1)求△AEN的.(2)求∠EAN的.(3)判断△的形.

M

N图

提示与答案AEN的周长不.2∠AEN=2∠B=50，ENA=2∠°所以∠EAN=80°）由（）△是等腰角.

[变式练习3]:如图7在ABC中，BC=12,∠=100°,AB的直平分线交BC边于点E,AC的垂平分线交BC边于N.(1)求△AEN的.(2)求∠EAN的.

AD

MBE

N

C图7提示与答案eq\o\ac(△,）)的周不2AEN=2BENA=2∠为B+°所以∠AEN+∠ENA=160°所以EAN=20°点评：例2和它的道变式练习题中发现：三个图由特殊到一般，从顶角是°的等腰三角形到角是钝角的一般的等腰三角形一般钝角三角形，AEN形状也不断的变化，的度数也变化，但AEN的周长不变，因此出结论）AEN的周长BC长2）△的形状变化规律是由等边三角形等腰三角形到一般三角形，与的状有关3）∠EAN的数与∠的度数有.因为∠°∠B-2∠C=180-2∠B+∠）=180-2（-∠BAC）=2∠BAC°.从等式也得出BAC必大90°[变式练习4]如图8，ABC中∠BAC°BC=12,AB的垂直平分线BC边点E,AC的直平分线交BC边于点N.求∠EAN的度数.答案:∠°点评:由题的方法得出∠∠BNA∠∠C,由角性质可得:∠AEB+∠CNA=360°-(2∠B+2∠C),由三角形内角和定理得EAN=180°-2∠BAC

C图8

总评从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件变化，都和本图形及由基本图形出的结论有关.此同学们在以后的学习或解题中善于在复杂图形中找出基本