浅谈一类指对数不等式同构问题 论文

2022年安徽省基础教育教育教学论文浅谈一类指对数不等式同构问题摘要：函数、方程和不等式是高考命题的热点内容之一．这类试题往往综合函数、不等式、三角、数列等知识，一种基于函数单调性的同构式思想方法。关键词：同构构造单调性方程不等式引言同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，这个母函数需要满足：①指对跨阶；②单调性和最值易求。同构式一旦搞定，剩下的就是基本的函数方程不等式的问题。对复合函数能解决的一切问题，同构式均能解决。一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式.如，若Fx()≥0能等价变形为fgx[()]≥fhx[()],然后利用fx()的单调性,如递增，再转化为g()≥hx().2、同构式的应用：在方程中的应用中，如果方程fa=() 0和fb=() 0呈现同构特征，则,ab可视为方程fx=() 0的两个根；在不等式中的应用中，如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，通过函数的单调性找到联系，从而可比较大小或解不等式.二、指对同构式exx与xlnx属于跨阶函数，而exlnx属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进同构，即hx()ì

ï

=íï

îxex-1Þh(ln)ì

=ïíïîxlnxx-1我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问x+exx+lnex-xx-lnx题通过跨阶函数的同构，变成了两阶问题，类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列，所以，通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算.三、考题例证【全国新高考Ⅰ，22题】已知函数fx()=x(1lnx). 1

+>2.（1）讨论fx()的单调性；(解答略)（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=-b，证明：1ab（1）函数的定义域为(0,+¥)，又f¢()1lnx-1=-lnx，当xÎ(0,1)时，f¢()>0，当xÎ(1,+¥)时，f¢()<0，故fx()的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+¥).（2）【分析】因为blna-alnb=-b,故b(lna+1)=a(ln+1)，12022年安徽省基础教育教育教学论文等价为同构式lna+=ln+1bÞ1(1ln1) 1=b(1ln1)，故fæöç÷=èøfæö

ç÷，

èøaaab设1=x1,1=x2，由（1）可知不妨设0<x1<1,x2>1.原不等式等价于x+x2>2ab1即证x1>-x2，故即证fx()=fx()>f(2-x2)，再构造函数()=fx()-f(2-x),证明gx()在(1,2)为增函数，gx()>g()=0即可.【全国高考甲卷数学理，21题】已知a>0且a¹1,函数fx()=xa(x>0)．ax（1）（略）；（2）若曲线y=fx()与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．（2）【分析】利用指数对数的运算法则，可以将曲线y=fx()与直线y=1有且仅有两个交点等价为()=xa=Ûax=xaÛxlna=alnxax等价于同构等式lnx=lna，可转化为方程有两个不同的实数根，即曲线gx()=lnxxax与直线y=ga()=lna有两个交点.a则g¢() 1lnx=x2,令g¢()=0，得x=e,在(0,e)内g¢()>0,gx()单调递增；在(,e+¥)上g¢()<0,gx()单调递减；\gx()max=ge() 1=e,又g()=0，当x趋近于+¥时，gx()趋近于0，可得0<lna 1<e,即g()1=0<ga() 1<e=ge(),a所以a的取值范围是(1,e)(e,+¥).【2021年全国高考甲卷数学理，12题】设a=21.01,b=ln1.02,c=1.04-1,则)A．a<<cB．b<<aC．b<<cD．c<<b【分析】构造函数fx()=2ln(1+x)-1+4x+1，0<<1，利用导数和函数的单调性即可判断．由Qa=21.01=ln1.0201>b=ln1.02，则排除AD,结合选项BC，只需判断a,c的大小，故设fx()=2ln(1+x)- 1+4x+1，∴f¢()=

2-

2=2

1+4x-(1+x)(0<<1)，1+x 1+4x (1+x)1+4x又∵( 1+4x) -(1+x)2=2x-x2=x(2-x)>0 222022年安徽省基础教育教育教学论文∴1+4x>+x，,转化为同构形式构造函数，利用导数和∴f¢()>0，∴fx()在(0,1)上单增，∴f(0.01)>f(0)=0，∴2ln1.01>1.04-1，∴a>c，故选B【反思】本题将1.01视为1+x1.04视为1+x函数的单调性，考查了转化思想．【2020年全国新课标Ⅱ，11题】若2x-2y<3-x-3-y，则 )A．lny-x+>0 B．lny- x+<0C．lnx- y|0 D．lnx- y|0分析：由2x- 2y<3-x-3-y，可得2x-3-x<2y-3-y，令fx()=2x-3-x，则fx()在R上单调递增，且fx()<fy()，结合函数的单调性可得，y的大小关系．解析：由2x- 2y<3-x-3-y，可得2x-3-x<2y-3-y，令fx()=2x-3-x，则fx()在R上单调递增，且fx()<fy()，所以x<y，即y- x>0，由于y-x+>1，故lny-x+>ln1=0，故选：A．【2020年全国新课标Ⅰ，12题】若2a+log2a=4b+2log4b，则 )A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2分析：先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a+log2a<22b+log22 b；再借助于函数的单调性即可求解结论．解析：因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b；因为22b+log2b<22b+log22 b即2a+log2a<22b+log22 b；令fx()=2x+log2x，由指对数函数的单调性可得fx()在(0,+¥)内单调递增；且fa()<f(2)Þ a<2b；故选：B．【2020年山东卷新高考，21题】已知函数fx()=aex-1-lnx+lna．（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．=elnax+-1-lnx+lna³1等价于解：（2）（常规解法略）因为fx()=aex-1-lnx+lnaelnax+-+lna+-1³lnx+=elnx+lnx,glnx(),lna³lnx-x+1，令gx()=ex+x,上述不等式等价于glna(+-1)³显然gx()为单调增函数，∴又等价于lna+-1³lnx，即32022年安徽省基础教育教育教学论文令hx()=lnx-x+1,则hx()1

=-x1 1=-x在

∴x(0,1)上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，hx()max=h()=0,则lna³0，即a³1，∴a的取值范围是[1,+∞).常见六个函数常用的几个以=f()=×x为母函数的变形：1.y=x=×-x=--(xe-x)=-f(-x)=mx()与y=fx()=×x关于原点对称ex2.xlnx=lnxelnx=f(lnx)=gx()3.y=ex=--1-x=-f1x)=hx()xxe(-4.y=xx=-x1x=-len1x1x=-f(-1x)=h(ln)ln×ln×lnln2022年安徽省基础教育教育教学论文Qf¢()=0,\x>0时,mæ11ö,f¢()>f¢()=0,fx()单调递增,又f()=0,x>0时,fx()>f()=0,符合题意（2）当m>0时，f¢¢¢()=ex2m+ 3(x+1)恒成立，f¢¢()单调递增,f¢¢()=-m.当1-m…0,即0<„1时,与（1）同理,m符合题意当1-m<0,即m>1时，f¢¢()=e0-m=-m<0，f¢()=ex-1-f(01) 2ç

èx+1÷ø¢¢()=ex-(xm+1)

2另一方面,显然当x充分大时,有f¢¢()=ex-(xm>0，f¢¢()连续,+1)

2∴由零点定理,$x0Î(0,+¥),使得f¢¢()=0,\0<<x0时,f¢¢()<0,f¢()单调递减\f¢()<f¢()=0，则fx()单调递减，所以fx()<f()=0,不符合题意综上所述,m的取值范围是(-¥,1]方法二：分离参数m<xxe-x-1，易知xe-x-1>0,x-ln(x+>0-ln(x+1)由洛必达法则可得，limx®0xex-x-1=limx®01ex-1=limx®0(xex2=1-ln(x+1)-11x+1+1)方法三：因为xex-x-1=xex-x-1=eln(ex-x-1，-ln(x+1)+-1ln(x+1)1x+1)-ln(x+-1)1设g()=ex-x-1Þg(ln(x+1))=eln(x+1)-ln(x+1)1，则xxe-x-1=ggx()，-ln(x+1)(ln(x+1))易知ln(x+£x仅当x=0时取得，g()=ex-x-1在(0,+¥)为增函数所以xxe-x-1Î(1,+¥)，则m„1-ln(x+1)易知xe-x-1>0,x-ln(x+>0附注：指对跨阶同构，同左、同右和取对数.积型示例：aeablnb同右：ealneablnb同左：aealnblnb取对：alnalnblnfxlnxxlnxfxexlnbf说明：上述三个方法“取对”是最快捷和直观的。商型、和差型方法类似形式不对称，凑好形式是关键，凑常数或凑参数或凑变量.52022年安徽省基础教育教育教学论文例：23lnxmemx2lnx2memx。xxx反函数形式：axlogaxxexlnalnxxlnaxlnaxlnxlna另解：因为axloga互为反函数，所以还可以这样转化axlogaxaxxlnalnx。¹1)恒成立，则a的取值范围是（，1+¥）．ax（注：不等式x>logaxa>0,且a【2019•衡水金卷】已知a<0，不等式xa+×+alnx³0对任意的实数x>1恒成立，则实数a的最小值是（）A．1B．2eC．1D．e2ee解：由题意得：xa+×+alnx³0恒成立,对任意的实数x>1，则xex³-alnx=1ln1=lnx(-a)elnx(-a)xaxaxa设fx()=xex,则xex³lnx(-a)elnx(-a)Ûfx()…flnx-(a)对任意的x>1恒成立，此时fx()是(1,+¥)上的增函数,\x…-a×lnx，则-a„æxçèlnxö

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ømin=e\a…ae故选:D.【2020年全国新课标Ⅰ，21题】已知函数fx()=ex+ax2-x．（1）当a=1时，讨论fx()的单调性；（2）当x0时，f()1x31，求的取值范围．2分析（2）讨论x=0，不等式恒成立；x>0时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而得到所求范围．【解析】：（2）当x0时，f(x)1x31恒成立，即xe³1x3-ax2+x+122（命题理论基础来源于xe的泰勒展开式1 1+1!x1 1+2!x2+1x3+×××）3!1 2æöçe2÷ççx ÷