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利用空间向量计算距离问题【知识概述】利用空间向量计算距离问题1.空间两点间的距离已知空间两点,则A,B两点间的距离为.2.点到直线的距离已知直线l的方向向量为，P为l外一点，PO⊥l于O，PA与l交于A，则点P到直线l的距离3.点到平面的距离已知P为平面外一点，PA为平面的斜线段，PO⊥平面于O，的法向量为，则点P到平面的距离.直线到平面的距离，平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离.【学前诊断】1.[难度]中正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2eq\r(2)，侧棱长为4，点E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G，求点D1到平面B1EF的距离d.2．[难度]中已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1(1)求证：AC1⊥平面A1BC；(2)求点C1到平面A1AB的距离；3．[难度]难如图所示，在三棱锥P—ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角B—AP—C的余弦值；(3)求点C到平面APB的距离．【经典例题】例1.二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于________．例2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O为底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为()\f(1,2)\f(\r(2),4)\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)例3.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离.例4.已知在四边形ABCD中，AD求点D到平面PBC的距离.例5.如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直.点在上移动，点在上移动，若.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）当为何值时，的长最小；（Ⅲ）当长最小时，求面与面所成的二面角的余弦值.【本课总结】1.求空间中两点的距离就是利用距离公式.2.求点到直线、点到平面的距离，可以利用本节课所学的公式来解决.3.在对公式记忆不清时，求点到直线的距离、点到平面的距离时，可以通过作出图形，借助空间向量与勾股定理来解决.4.在求空间距离时，可以利用等体积法等方法，有时会非常简便.【活学活用】1.[难度]中已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点.设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为.求证：；若点到平面的距离为，求正四棱柱的高.2.[难度]难如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，，且.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱的中点，点在平面内

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