理论力学第十二章压杆稳定

(a)(b)(a):木杆的横截面为矩形（12cm),

高为3cm，当荷载重量为6kN

时杆还不致破坏。(b):木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m(细长压杆），当压力为0.1KN时杆被压弯，导致破坏。

(a)和(b)竟相差60倍，为什么？细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。这种现象称为稳定性破坏。现在是1页\一共有72页\编辑于星期日

工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作.构件的承载能力①强度②刚度③稳定性现在是2页\一共有72页\编辑于星期日现在是3页\一共有72页\编辑于星期日二、工程实例翻斗车液压杆现在是4页\一共有72页\编辑于星期日内燃机、空气压缩机的连杆现在是5页\一共有72页\编辑于星期日高层建筑现在是6页\一共有72页\编辑于星期日高架铁路桥现在是7页\一共有72页\编辑于星期日案例1上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.三、失稳破坏案例现在是8页\一共有72页\编辑于星期日案例22000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.研究压杆稳定性问题尤为重要现在是9页\一共有72页\编辑于星期日四、平衡的稳定性平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）1、小球平衡的三种状态现在是10页\一共有72页\编辑于星期日稳定平衡现在是11页\一共有72页\编辑于星期日不稳定的平衡现在是12页\一共有72页\编辑于星期日临界状态现在是13页\一共有72页\编辑于星期日2、对于细长压杆：（1）当F小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡状态，压杆在直线状态下的平衡是稳定平衡。

现在是14页\一共有72页\编辑于星期日（2）当F增大到一定的临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持微弯的平衡状态，而不再恢复其原来的直线平衡状态，压杆在原来直线形态下的平衡是不稳定平衡。现在是15页\一共有72页\编辑于星期日压杆丧失其直线状态下的平衡而过度为曲线平衡，称为丧失稳定，简称失稳，也称屈曲。

（3）当轴向压力超过临界压力时，压杆将失稳破坏。现在是16页\一共有72页\编辑于星期日

稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）受压直杆平衡的三种形式现在是17页\一共有72页\编辑于星期日结论—稳定平衡状态

—临界平衡状态

—不稳定平衡状态

关键确定压杆的临界力

Fcr稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Fcr过度对应的压力现在是18页\一共有72页\编辑于星期日其它构件失稳现在是19页\一共有72页\编辑于星期日假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。①、弯矩：②、挠曲线近似微分方程：EIFkcr=2:令xwFcrFcrMwxwFcrFcrL1、两端铰支细长压杆的临界力§12–1压杆临界荷载的欧拉公式现在是20页\一共有72页\编辑于星期日③、微分方程的解：④、确定微分方程常数：临界力F

cr是微弯下的最小压力，故，只能取n=1；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。（n=0、1、2、3……）——两端铰支细长压杆的临界载荷的计算公式：欧拉公式现在是21页\一共有72页\编辑于星期日当时，挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线.现在是22页\一共有72页\编辑于星期日2其他支座条件下细长压杆的临界压力两端铰支一端自由，一端固定一端铰支，一端固定两端固定其他约束类型：现在是23页\一共有72页\编辑于星期日Fcrl两端铰支现在是24页\一共有72页\编辑于星期日一端自由，一端固定lFcr2l现在是25页\一共有72页\编辑于星期日两端固定lFcrl/4l/4l/2l现在是26页\一共有72页\编辑于星期日一端铰支，一端固定Fcrl0.3l0.7l现在是27页\一共有72页\编辑于星期日临界载荷欧拉公式的一般形式:一端自由，一端固定:＝2.0一端铰支，一端固定:

＝0.7两端固定:＝0.5两端铰支:＝1.0现在是28页\一共有72页\编辑于星期日两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表9-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度系数

=1=0.7=0.5=2现在是29页\一共有72页\编辑于星期日5.讨论为长度系数

l为相当长度（1）相当长度l的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l.

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.综上所述：其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力的一般形式:现在是30页\一共有72页\编辑于星期日zyx取Iy，Iz中小的一个计算临界力.若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.即分别用Iy，Iz

计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.现在是31页\一共有72页\编辑于星期日欧拉临界力公式中的Imin

如何确定？现在是32页\一共有72页\编辑于星期日现在是33页\一共有72页\编辑于星期日现在是34页\一共有72页\编辑于星期日例图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，哪一根的最小？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因为又可知（1）杆承受的压力最小，最先失稳；（3）杆承受的压力最大，最稳定。现在是35页\一共有72页\编辑于星期日例：图示细长圆截面连杆，长度，直径,材料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷Fcr

.解：1、细长压杆的临界载荷2、从强度分析现在是36页\一共有72页\编辑于星期日压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按=F/A计算.

§12-3临界应力与临界应力总图

一、临界应力欧拉公式临界应力按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为现在是37页\一共有72页\编辑于星期日i

为压杆横截面对中性轴的惯性半径.称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.越大，相应的cr越小，压杆越容易失稳.令令则则若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr。现在是38页\一共有72页\编辑于星期日（细长压杆临界柔度）例：Q235钢，二、欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围:，称大柔度杆（细长压杆）现在是39页\一共有72页\编辑于星期日1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。——直线型经验公式临界压力：临界压应力：材料a(MPa)b(MPa)硅钢5773.7410060铬钼钢9805.29550硬铝3722.14500铸铁331.91.453松木39.20.19959是与材料性能有关的常数。直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。现在是40页\一共有72页\编辑于星期日3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。slPl细长压杆。——直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆现在是41页\一共有72页\编辑于星期日细长杆—发生弹性屈曲(p)中长杆—发生弹塑性屈曲(s<p)粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(<s)粗短杆中长杆细长杆现在是42页\一共有72页\编辑于星期日中柔度杆——抛物线型经验公式是与材料性能有关的常数。抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔度压杆。四、注意问题：1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度计算时需按削弱后的尺寸计算。现在是43页\一共有72页\编辑于星期日例：如图所示圆截面压杆，E=210GPa，σp=200MPa，σs=235MPa,σcr=310-1.12λ(MPa)

1.分析哪一根压杆的临界载荷比较大；2.已知：d=160mm。求：二杆的临界载荷

=l/i,a=（1×5）/（d/4）=20/d,b=（0.5×9）/（d/4）=18/d.解：1、判断临界荷载大小a＞bFcra

＜Fcrb9m现在是44页\一共有72页\编辑于星期日a=20/d＝20/0.16=125＞λp,属于细长杆b=18/d＝18/0.16=112.5>λp，属于细长杆2、计算各杆临界力的大小现在是45页\一共有72页\编辑于星期日Fcr——压杆的临界压力nst——压杆的稳定安全系数压杆稳定条件：

§12-4压杆稳定计算与合理设计F——实际工作压力n—工作安全因数nst—规定安全因数1、安全系数法:压杆的稳定计算通常采用安全因数法和折减系数法。稳定性校核和确定许可荷载用安全因数法比较方便，截面设计用折减系数法比较方便

现在是46页\一共有72页\编辑于星期日稳定计算步骤（1）计算最大的柔度系数max；

（2）根据max选择公式计算临界应力；（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷.现在是47页\一共有72页\编辑于星期日例题9-4：空压机活塞杆由45＃制成。s＝350MPa，p＝280MPa，E＝210GPa。L＝703mm，d＝45mm，Fmax＝41.6kN，规定安全系数nst＝8～10。试校核其稳定性。※活塞杆两端为铰支，＝1。现在是48页\一共有72页\编辑于星期日中柔度杆，所以用直线公式，查表a＝461MPa，b＝2.568MPa。现在是49页\一共有72页\编辑于星期日现在是50页\一共有72页\编辑于星期日现在是51页\一共有72页\编辑于星期日现在是52页\一共有72页\编辑于星期日现在是53页\一共有72页\编辑于星期日2、折减系数法:－许用应力；－折减系数，与压杆的柔度和材料有关。此方法涉及规范较多，需查表。现在是54页\一共有72页\编辑于星期日例：一等直压杆长L=3.4m，A=14.72cm2，I=79.95cm4，E=210GPa，F=60kN，材料为A3钢，两端为铰支座。试进行稳定校核。1、nst=2；2、〔σ〕=140MPa解：1、安全系数法：现在是55页\一共有72页\编辑于星期日2、折减系数法查表——λ=140，φ=0.349；λ=150，φ=0.306。现在是56页\一共有72页\编辑于星期日例：图示起重机，AB杆为圆松木，长L=6m，[]=11MPa，直径为：d=0.3m，试求此杆的许用压力。（xy面两端视为铰支；xz

面一端视为固定，一端视为自由）解：折减系数法1、最大柔度xy面内，z=1.0AF1BWF2xyzozy面内，y

=2.0现在是57页\一共有72页\编辑于星期日2、求折减系数3、求许用压力现在是58页\一共有72页\编辑于星期日例一连杆尺寸如图，材料为A3钢，承受的轴向压力为P=120KN，取稳定安全系数nw=2，校核连杆的稳定性。在xy面内失稳连杆两端为绞支，长度l=940。在xz面内失稳近似两端固定，长度l1=880。zyxb=25h=60现在是59页\一共有72页\编辑于星期日在xy面内失稳连杆两端为绞支，长度l=940。zyxb=25h=60解：(1)求柔度现在是60页\一共有72页\编辑于星期日在xz面内失稳近似两端固定，长度l1=880。zyxb=25h=60杆在xz面内先失稳，应用y计算临界力。现在是61页\一共有72页\编辑于星期日zyxb=25h=60（2）求临界力，作稳定校核因为