2023年四川省富顺高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.关于圆周率乃，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通

过下面的随机模拟方法来估计乃的值：先用计算机产生20（）0个数对（x,y）,其中x,丁都是区间（0,1）上的均匀随机

数，再统计x,N能与1构成锐角三角形三边长的数对（x,y）的个数①；最后根据统计数，"来估计乃的值.若加=435,

则》的估计值为（）

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

2.已知抛物线'2=2。X（/?>0）经过点加（2,20）,焦点为F,则直线板的斜率为（）

A.272B.正C.—D.-272

42

3.已知复数4=cos230+isin23°和复数z?=cos370+isin37°,则z/z2为

A1V3.R石Jr1V3.nV31.

A•——“'io•，+-iC・—+----1D•-------—i

22222222

4.圆锥底面半径为石，高为2,SA是一条母线，「点是底面圆周上一点，则P点到SA所在直线的距离的最大值是

（）

A2也R4小».

A.------B.------C.5D.4

33

5.已知随机变量X服从正态分布N（4,9）,且P（XW2）=P（X2a）,贝!|。=（）

A.3B.5C.6D.7

-----1-----UUU1UUU1

6.已知AABC是边长为3的正三角形，若BD=§BC,则=

7.设函数/(无)%+恰有两个极值点，则实数/的取值范围是()

8,已知数列｛q｝中，％=1,々=2,且当〃为奇数时，勺+2一%=2；当〃为偶数时，4+2+1=3(4+1).则此数

列的前20项的和为()

3"-33"-33,2-3312-3

A.+90B.-~-+100C.-~~-+90D.-_-+100

2222

9.盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取*i=1,2)个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后

放回，此时盒中黑球的个数X,(i=l,2),贝!!()

A.P（Xi=3）>P（X2=3）,EX,>EX2B.。（蜀=3）<。”2=3）,EX,>EX2

C.P（XI=3）>P（X2=3）,EX,<EX2D.P（Xt=3）<P（X2=3）,EXi<EX2

10.若复数z满足iz—2=i,则忖=（）

A.0B.y/3C.2D.逐

V

11.已知正四面体的内切球体积为％外接球的体积为匕则一=（）

v

A.4B.8C.9D.27

12.设复数，满足|z-3|=2,二在复平面内对应的点为例3力)，则“不可能为()

A.(2,73)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量值=(1,1)，W=2,且向量〃与5的夹角为与，无,+5)=.

14.若函数/(x)=sin3x+gcos3Y(XCR,o>0)满足/(a)=0,f(/7)=2,且|。一夕|的最小值等于g,则

(0的值为.

15.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S.，且%+%=%+3,则Sg=.

16.如图，在矩形幺及。中，E为边Q的中点，AB=1,BC=2,分别以A、。为圆心，1为半径作圆弧EB、

EC(E在线段A£)上).由两圆弧£B、EC及边BC所围成的平面图形绕直线3旋转一周，则所形成的几何体的体

一—一♦_

AB

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2+2'fx=l+cos0

17.(12分)在平面直角坐标系x。)，中，已知直线/的参数方程为Y。为参数)和曲线C：.八(6

,[y=sm6

I2

为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线/和曲线C的极坐标方程；

nIONI

(2)在极坐标系中，已知点M是射线4：。=C(a€[0,-])与直线/的公共点，点N是4与曲线C的公共点，求石前

的最大值.

18.(12分)在如图所示的多面体中，平面，平面ABC。，四边形ABB|A是边长为2的菱形，四边形ABC。

为直角梯形，四边形BCQBI为平行四边形，且AB//CD,ABA.BC,8=1

(1)若E,尸分别为A。，BG的中点，求证：防，平面AB。”

(2)若NAAB=60°,4G与平面ABCD所成角的正弦值骼，求二面角A-AQ-。的余弦值.

19.(12分)某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查.调查后，就顾客“购物体验”

的满意度统计如下：

满意不满意

男4040

女8040

(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？

(2)为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情

况如下:

购物卡支

支付方式现金支付APP支付

付

频率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾

优惠方式按8折支付

付客按8折支付

将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X,求X的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

附表及公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

诋./°)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.(12分)设函数/(x)=21n(x+l)+——.

x+1

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(II)如果对所有的XK),都有/(x)wax,求。的最小值；

<m)已知数列｛4,｝中，q=1,且(1一。,用)(1+%)=1,若数列｛为｝的前n项和为S“，求证:

S,,＞也一Ina

M+I•

2«„

21.(12分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通

过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,KX))

频数2515020025022510050

(1)已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(〃,210),〃近似为这1000人得分的平均值(同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求P(36<Z<79.5)；

(2)在(1)的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.

(i)得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费；

(ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.

赠送的随机话费/元2040

2]_

概率

44

现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.

附：V210«14,5.若X~N(〃,cr2),则P(〃一cr<XW〃+CT)=0.6827,P(/j—2a<X</z+2cr)=0.9545,

P(4—3b<X<〃+3b)=0.9973.

4+C

22.(10分)在zkABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin(A+B)=csin-----.

(1)求B；

(2)若AABC的面积为石，周长为8,求b.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出x,)‘能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到％,y

能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出万.

【详解】

因为x,y都是区间（o」）上的均匀随机数，所以有o<x<i,o<y<i,若x,>能与1构成锐角三角形三边长，

x+V>11x1--—

则422,，由几何概型的概率计算公式知p41万加435,

I'1X14n2000

435

所以万=4x（1—菰）=3.13.

故选：B.

【点睛】

本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.

2.A

【解析】

先求出〃，再求焦点/坐标，最后求"尸的斜率

【详解】

解：抛物线），2=2〃4〃>0）经过点加（2,2夜）

（2何2=2叱2,〃=2,

尸（1,0）,kMF=272,

故选：A

【点睛】

考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.

3.C

【解析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.

【详解】

ZiZi—（cos23o+isin23°）,（cos37°+isin37O）=cos60°+isin60°=—+i.

22

故答案为C.

【点睛】

熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系,

点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

4.C

【解析】

分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P的位置，推出结果即可.

详解：圆锥底面半径为石，高为2,SA是一条母线，P点是底面圆周上一点，P在底面的射影为0；SA=V5+4=3»

OA>SO,过田的轴截面如图：

ZASQ>90°,过。作QTLSA于T,则QT<QS,在底面圆周，选择P,使得N&4=90。，则P到S4的距离

的最大值为3,故选：C

点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题.

5.C

【解析】

根据在关于X=4对称的区间上概率相等的性质求解.

【详解】

,.•//=4,cr=3,

.•.P(XW2)=P(XW4-2)=P(X24+2)=P(XN6)=P(X2a),.・.a=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量X服从正态分布N(〃,b2),则

P(X<〃-/〃)=P(X>pi+in).

6.A

【解析】

由丽=：死可得A方=A^+8/5=AQ+1B3,因为△ABC是边长为3的正三角形，所以

33

ADBC=(AB+^BC)BC=ABBC+^BC2=3x3cosl20°+1x32=-|,故选A.

7.C

【解析】

/(X)恰有两个极值点，则/<x)=0恰有两个不同的解，求出/KX)可确定X=1是它的一个解，另一个解由方程

e*

f=0确定，令g(x)(x>0)通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时/应满足的条件.

x+2

【详解】

由题意知函数/(%)的定义域为(。,+?),由(打=(二;"—(—+1一;

_(xT)[e"-心+2)](x-l)(x+2)三厂

=2_1X+/)•

因为/(X)恰有两个极值点，所以/«耳二()恰有两个不同的解，显然X=1是它的一个解，另一个解由方程

'二°确定'且这个解不等于L

e',/、(x+l)e'

令g(x)=77I(x＞。)，则g(x)=E>。，所以函数g(x)在(0,+?)上单调递增，从而g(x)>g⑼=；，

p1P/(x)=f—4lnx+x+j1恰有两个极值点，即实数f的取值范围是

且g⑴=3•所以,当，>5且时,

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.

8.A

【解析】

根据分组求和法，利用等差数列的前〃项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前〃项和公式求出前20项

的偶数项的和，进而可求解.

【详解】

当"为奇数时，。“+2-4=2,

则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列,

当〃为偶数时，%+2+1=3(4+1)，

则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列.

所以$20=4+/+/+…+。20=4+.3+…+。19+&+04+…+〃20

1nxo

=10xld——--X2+（4+1）+（4+1）-1—（心+1）-10

3（1-310）3"-3

=100+-^------^-10=-~-+90-

1-32

故选：A

【点睛】

本题考查了数列分组求和、等差数列的前〃项和公式、等比数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

9.C

【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.

【详解】

r'2「（乂=2）*

X=3表示取出的为一个白球,所以P（X1=3）=才=..*=2表示取出一个黑球,所以

=3一+2/J

333

X?=3表示取出两个球，其中一黑一白，P（X2=3）=-^=—,X2=2表示取出两个球为黑球,

C22

尸匹）咯，乂2=4表示取出两个球为白球,吨/=4)=为C”以

.所以尸

E(X2)=3x§+2x-!-+4x9=W(X]=3)>P(X2=3),EXX<EX2.

1515153

故选:C

【点睛】

本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.

10.D

【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.

【详解】

解：由题意知，iz=2+i.

2+/(2+z)z-1+2/

=l-2z,

.,­|z|=|l-2i|=712+(-2)2=75.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.

11.D

【解析】

设正四面体的棱长为1,取8。的中点为。，连接AO,作正四面体的高为首先求出正四面体的体积，再利用

等体法求出内切球的半径，在RtAAMN中,根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为1，取的中点为D,连接A。，

作正四面体的高为

,v_1V3V6_V2

P~ABC34312

设内切球的半径为广，内切球的球心为。,

则VP-ABC=4%一ABC=4X；XVr,

解得：r=旦;

12

设外接球的半径为R,外接球的球心为N,

则|KV|=|P"-R|或|R-PM|,AN=R,

在RtMMN中,由勾股定理得：

AM2+MN2AN2,

」+（如-/?]=M,解得R=逅，

334

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式,

属于基础题.

12.D

【解析】

依题意，^z=a+bi,由|z—3|=2,得(a-3>+〃=4,再一一验证.

【详解】

设z—a+bi,

因为|z-3|=2,

所以(a—3)2+/=4,

经验证M(4,1)不满足，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

根据向量数量积的定义求解即可.

【详解】

解：・・,向量M=(1,1)，W=2,且向量万与万的夹角为手，

•Hi=Vi2+12=V2；

所以：a*(.a+b=a2+a-b=y/22+y/2x2xcos-^-=2-2=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题.

14.1

【解析】

利用辅助角公式化简可得/(x)=2sin[ox+，由题可分析Ia-，I的最小值等于三表示相邻的一个对称中心与一

7T

个对称轴的距离为二,进而求解即可.

2

【详解】

由题，/(x)=sin69X+A/3COS69X=2sin^69X+yJ,

因为/(。)=(),/(/?)=2,且|。-/?|的最小值等于^,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为^,

1兀

所以7T=U，即7=2乃，

42

,2乃2万，

所以0=--——=1,

T2%

故答案为：1

【点睛】

本题考查正弦型函数的对称性的应用，考查三角函数的化简.

15.27

【解析】

根据等差数列的性质求得“5，结合等差数列前〃项和公式求得Sg的值.

【详解】

因为｛““｝为等差数列，所以4+%=4+%=。6+3,解得%=3,

所以§9=%尹=史畀=9%=27.

故答案为：27

【点睛】

本小题考查等差数列的性质，前〃项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.

2乃

16.--

3

【解析】

由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1,母线长为2；体积为

“="2a=2几；两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为匕=3/3=修；则所求几何体的体积为

133

考点：旋转体的组合体.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)+V(陶.=2四+2

p=2cos。；(2)

【解析】

(1)先将直线/和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程;

....|ON|

(2)写出点”和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出|QV|和|OM|,利用三角函数的性质求出「肃的最大

值.

【详解】

解：(1)/:x+y=—,夕cosO+/7sinO=一,

即极坐标方程为°sin(e+?)=孝

C:(x-1)2+/=1,极坐标方程.=2cosO.

(2)由题可知八“2、，N(2cosa,a)

M(-----------,a)

sina+cosa

|ON\_PN_2cosa

两二六F

2

sina+cosa

=4cosa(sina+cosa)

=2sin2a+2(cos2a+1)

=2>/2sin(2a+—)+2,

4

‘当.弋时‘(捣)鹏=2近+2.

【点睛】

本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.

7

18.⑴见解析(2)--

8

【解析】

试题分析：(1)第(1)问，转化成证明48,平面A4G,再转化成证明46LAA和48，与£.(2)第(2)问，先

利用几何法找到AG与平面A3CD所成角，再根据AG与平面ABC。所成角的正弦值为自求出61G=出再建立空

间直角坐标系，求出二面角的余弦值.

试题解析：

(1)连接A1,因为四边形48与A为菱形，所以ABLA片.

因为平面，平面ABC。，平面AB4841c平面ABC£>=AB,BCu平面ABC。，所以BC_L

平面AB用4.

又ABu平面AB旦4,所以AB_LBC.

因为8C//4G，所以

因为qGcAB1=4,所以A3_L平面AB|G.

因为E,尸分别为AG，8G的中点，所以EF//AB,所以防，平面ABCi

(2)设5G=a，由(1)得用G，平面AB⑸4.

由N4AB=60。，BA=2,得A4=2g,A0=J12+4.

过点G作GM，。。，与的延长线交于点M，取AB的中点H,连接A"，AM,如图所示,

又N4AB=60。，所以A484,为等边三角形，所以又平面ABBI劣平面ABC。，平面AB耳平

面AB8=A8,4"u平面AB用A，故4"，平面A5CD.

因为BCG用为平行四边形，所以CCJ/BB],所以CCJ/平面4&B瓦.

又因为CD//AB,所以C。//平面

因为CC|CCD=C,所以平面44乃旦//平面。GM.

由（1）,得BCL平面A4田耳，所以BC_L平面。,所以BC_LGM.

因为8CcOC=C,所以GM，平面ABC。，所以/GAM是AG与平面ABC。所成角.

因为4片//AB,C.BJ/CB,所以4片//平面A8CO,用CJ/平面A8CO,因为4旦小。4=与，所以平面

ABCD//平面44cl.

所以AH=GM=g，sinZC,AM—1=,---^-―,解得。=百.

AC；y/n+a25

在梯形ABC。中，易证OE_LAB,分别以反A，而，砒的正方向为x轴，）'轴，二轴的正方向建立空间直角坐

标系.

则4（1,0,0）,0（0,G,0）,A（0，。，百），瓦卜2,0,白），B（-1,0,0）,C（-l,^,0）,

由瓯=（—1,0,百），及函=因\得Gp,6,百），所以相=（—3,百,6），而=（-1,6,0）,

硒=（-1,0,6）.

zxm-AC.—0,-3%+y/3y<+\/3z.=0,

设平面AOG的一个法向量为加=（%，y，zj,由—<得<r令X=1,得m=（3,l,2）

[m-AD=Q,—玉+百y=o,

/、n-AC,=0,—3x,+\/3y2+>/3z2=0,

设平面AAG的一个法向量为〃=（%,%,Z2）,由J八得-J-令Z2=l,得

n-AA^^O,[-x2+V3Z2=0,

〃=（疯2,1）.

m-n3+2+277

所以s，〃=丽、3+1+443+4+1=；^^

7

又因为二面角\-AC-D是钝角，所以二面角4一AG-。的余弦值是-

}8

19.(1)有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；(2)67元，见解析.

【解析】

(1)根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；

(2)X的可能取值为40,60,80,1,根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.

【详解】

(1)由题得

200(40x40-80x40)250

K2»5.556>5.024,

120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.

(2)由题意可知X的可能取值为40,60,80,1.

1113

P(X=40)=-x60%=-,P(X=60)=5x60%=力

121

P(X=80)=30%+—x60%=l，P(X=90)=10%=历.

则X的分布列为

X4060801

]_321

P

5105lo

1321

所以，=40x-+60x—+80x-+90x—=67(元).

510510

【点睛】

本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合分

析，数学运算的能力，属于中档题.

20.(I)函数/(x)在(一1,-2+0)上单调递减，在(-2+0,+8)单调递增；(II)2;(ID)证明见解析.

【解析】

(I)先求出函数/(x)的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；

(H)设g(x)=/(x)-ax,先求出函数g(x)的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最

小值；

(Ill)先求出数列I'-是以一=1为首项，1为公差的等差数列，4+1=」一，问题转化为证明:

aqnn+]

ln(n+l］+--^-~-<1+-+-+•••+—

\'2(〃+l)23n,通过换元法或数学归纳法进行证明即可.

【详解】

+4x+2

解：(I)/(x)的定义域为(-1,+8),/'(x)=

(X+If

当—IVxV—2+0时，f(x)<2,当x>—2+&时，f(x)>2,

所以函数/(x)在(一1，-2+&)上单调递减，在卜2+JI+8)单调递增.

V-0-

(II)设g(x)=2/〃(x+l)d------ax9

2

nI,/\x+4x+2(x+l)-+2(x+l)-l12n

则g(x)=-/—_Q=-―~——"一(---l)-+2-af

(x+l)_(x+1)-x+1

因为电2,故—IV—(」--1)?40,

x+1

(i)当介1时，1-a<2,g'(x)<2,所以g(x)在［2,+oo)单调递减，

而g(2)=2,所以对所有的xN2,g(x)<2,即/(x)<axi

2—ci+A/2—ci

(ii)当l〈a<l时，2Vl-aVL若xe0,------------,则g，(x)>2,g(x)单调递增,

l)

(2—

而g(2)=2,所以当xw0,-----------—时，g(x)>2,即/(x)>ax；

I"TJ

(iii)当好1时，l-a>l,g'(x)>2,所以g(x)在［2,+oo)单调递增，

而g(2)=2,所以对所有的x>2,g(x)>2,即/(x)>ax；

综上，”的最小值为1.

(III)由(l+an)=1得，an-an+\—an*an+\,由ai=l得，a#2,

11.11.

所以--------=1,数列一是以一=1为首项，1为公差的等差数列，

%4a“.%

5111

故"7n+1

S>—//16fz,+,.<=>//!(VA?+1)7H--------<1H---1---1--

〃2att2(〃+1)23n

/x2

由(II)知。=1时，2勿(%+1)+----<2x,x>2,

l)x+\

即勿(x+l)+不7---r<x,x>2.

2(x+l)

1,n+11—I

法一：令x=7得/〃丁+而而<3

即/〃(〃+1)一/〃〃+：]!11<1

n〃+1n

因为£/〃0+1)—山后+；(1—士■]=/H(H+1)+—

&=1乙、KKYJZ[〃十1J

所以/+--------<ld---1---1---1--

万以1)2(〃+1)23n

故S“>M±-/〃a“+i.

2a,

法二：$“>件一历L+J+|+…+1>方(“+1)+”J、

2an23n2(〃+1)

下面用数学归纳法证明.

f1

(1)当〃=1时，令X=1代入/〃(x+l)+七一n〈x,即得1>打2+—,不等式成立

2(x+l)4

(1)假设〃=«(MGN*,Jt>l)时，不等式成立，

即1H---1--F•••-1>/〃(左+1)-1-----

即23k')2(Z+1)'

,1111、，/一、k1

niljn=k+l时，---1--H•--H---1----->/“(女+1)-I-----H-----

川J，23kk+\V72(A+1)k+1'

1x?

令》=丁【代入方(x+l)+；77~~E〈x,

k+\2(x+l)

,1k+21./.k1、，/?k.k+21

>In------1—------rr-------ln(k+\)-\—------4>/〃(左+])4—------+In-----+------------

母女+1-----Z+12(女+1)(攵+2)')2仕+1)攵+1-----'72(%+1)攵+12伏+1)(攵+2)

川八斗2窝舞2)=/〃")+吊,

,1111、，/,2

即.1H---1---F…4---1---->/〃(左+2)-1--；----r

即.23k攵+1I)2(%+2)'

,111、，/八〃

由(1)(1)可知不等式1+5+广-+//〃(〃+1)+而旬对任何〃句都成立.

故s”>件一山%.

考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值；3、数列的通项公式：4、数列的前〃项和；5、

不等式的证明.

21.(1)0.8186；(2)见解析.

【解析】

(D根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数〃的值，再利用数据之间的