《勾股定理》教师讲义

23231231《勾股定理23231231

S

1

S

3S

2一、知要点：1勾股定理勾股定：直角三角两直角的平方和等斜边的方。也就是：如果直三角形的两角边为a、b，边为c那么a

2

+b

2

=c

2

。公式变形：

2

=c2

-b

2

，b2

=c

2

-a

2

。2勾股定理的定理如果三形ABC的三边长分是，且满a

2

+b

2

=c

2

，那么角形ABC是直角三形。这个定叫做勾股定的逆定.该定理应用时，同们要注处理好如下个要点①已的条件：某角形的条边的长度②满足条件：最大的平方最小边的平+中边的平③得到结论：这个角形是角三角形，且最大的对角是直.④如果满足条件，说明这三角形不是角三角。3勾股数满足

2

+b2

=c

2

的三个整数称为勾数。注意①勾股必须是正整不能是分数小数。②一组股数扩大相的正整倍后，仍是股数。见勾股数有，5?）(5，12，13?)(?6，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)?4最短距离问：主要用的依据是点之间段最短。二考剖考点一利用勾股定求面积1求阴影部分积（1）阴部分是方形）阴影分是长方形阴影部分是圆．2.图，以三边为直分别向作三个半圆试探索个半圆的面之间的系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别S、S，则它们之123间的关系是（）A.S-S=SB.S+S=SC.S+S<SD.S-S=S4、四边形ABCD中，∠B=90°，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD面积。5在直线l上依次摆放着七个正方（如图4所示知斜放置的三个正方形的面积分别是23，正放置四个正形的面依是、、12S、S，则=_____________。334

2考点二在直角三角中，已两边求第三21．在直角三角形中,若两直角边的长分别为，2cm，则斜边长为．2易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的倍，则斜边扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍5△ABC中∠C=90°若a=5b=12c=___________若a=15c=25b=___________③若c=61，b=60，则a=__________④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是________。6、如果直角三角形的两直角边长分别n

2

，2n（n>1那么它的斜边长是（）ABC－1Dn7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）

C.c

a

D.以上都有可能8已知Rt△ABC中，，若

，Rt△ABC面积是（）A

B、36m

Cm

D、60

9、已知x、y正数，且x2

-32=0

，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（、5B、25C、7D考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰

中，，

是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.4，12，15，172若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A∶3∶4∶6C∶13D3下面的三角形中：①△ABC中，∠A－∠B；②△ABC中，：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为，15，17．其中是直角三角形的个数有（

A．1个B．2个C．3个D．4个214若三角形的三边之比为:，则这个三角形一定是（）2A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5已知a，b，c为△ABC边，且满足

(a22

2+b22)＝0，

则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数得到的三角形是()A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7若△ABC的三边长a,b,c2200断△ABC的形状。8的两边分别为5,12，另一边为奇数，且

a+b+c

是3的倍数，则c应为，此三角形为。例3：求）三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。）知三角形三边的比为，其最小角为。?点五应用勾定理解决楼上铺地问题某楼梯的侧面视图如图3所示，其中

米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为???????考点六利用列方程线段的（方程思想１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多开5后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？2、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端

1

米，当他把绳子的下端拉ACB距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑米，那么，梯子底端的滑动距离1米填“大于于或“小于4、在一棵树10m高的处，有两只猴子，一只爬下树走到离树的池塘A处；•另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外距离以直线计算如果两只猴子所经过的距离相等试问这棵树有多高？

5如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距

离为.

1

B1

ABC6第

米

题

米

A

8

5

3

2

考点七1题图6题图图6、如图：有两棵树，一棵8，另一棵高2，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A登陆后，往东

C

走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km往东一拐，仅1km•就找到了宝藏，问：登陆点（处）到宝藏埋藏点

D

处（B处）的直线距离是多少？

A

E

B考点七折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，BC=8，将△ABC折叠，使点与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）25227A.B.C.D.42、如图所示已知△ABC中∠C=90°的垂直平分线交•于M交AB于N若MB=2MC，求AB的长．3折叠矩形ABCD的一边AD,点落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,CF和EC。4如图，在长形ABCD中DC=5在DC上存在点E，沿直把△ABC叠，使D恰好在上，设点为F，若面积为30求折叠△AED的面积5如图，矩形片长AD=9，宽，将折叠，点与B合，那么叠后DE长是多？ADE

6如图，在长形ABCD中，将ABC沿AC折至置，CEAD于点。）试说明：）如，BC=4，求长B

F

C7如图示，将长形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落上F点处，已CE=3cm，AB=8cm，图中阴影部面积为______．8如图，把矩形沿直线BD向上折叠，使在C的位置，已知•3，BC=7重合部△EBD的面为________9如图，将正方形ABCD折叠，使顶点ACD边上的M重合，折痕，交BCF边AB叠后与BC边交于点G。如M为CD边的中点求证：DE：DM：EM=3。10如图2-5长方形ABCD，，BC=4，将该矩形

折叠使

C与点重合•则折叠痕迹EF的为（）A．3.74B．3.75C．3.76D2-511如图1-3-11，一块料矩形板ABCD，为10cm，宽为4cm将你手中足够大直角三板直角顶P落在上（不A、D重合，AD上适当动三角顶点P：①能否你的三角板直角边别通过点B与点？若能，你求出时长；若能，请说明由.②再次动三角板位，三角板点在上移动，角边终通过点另一直角边PFDC的延线交于点Q与BC交点E，能否使CE=2cm若能，你求出这时AP的长若不能，请说明理由.、如图示，等腰直角角形，AB=AC，D斜边BC中点，分别是边上的点，且，若，CF=5求线段EF长。13如图，公公路PQ点P交汇，∠，点A处有一中学，AP＝160m。假设拖拉机驶时，周围100m内会受噪音影响，么拖拉在公路MN上沿方向行驶时，学是否会受到声影响请说明理由，果受影响，知拖拉的速度为18km/h那么学受影的时间多少秒？12

C

3

BD13

4A考点八应用勾股定

理解决股树问题1如所示，有的四边形是正方，所有的三形都是角三角形，中最大的方形的边长，正方形A，C，D的面积和为2已知△ABC是边长为的等腰角三角，以△的斜边直角边画第二等腰△，再以的斜边AD直角边，第三个腰ADE，，依此推，第n个等腰角三角的斜边长是考点九1题2题图3题考点九图形问题

1如图，求该边形面积2如图，已知在△中，∠A，=，AB=+1，边长为．3某公司的大如图所,中四形ＡＢＤ是长方形,部是以Ｄ为径的半,其中Ｂ=2.3，Ｃ=2现有一辆装货物的车,为为问这辆车能否过公司的大门说明你理由4将一根长㎝的子置地面直为5㎝，高㎝的圆形水杯，设筷子露杯子外的长为h㎝则h的取值范围。5如图，铁路A点相距、D两村庄•垂直AB于A，CB垂直AB于，已知AD=15km，BC=10km，现要在路建一个土特品收购E，使得C、D村到的距离相等，则E站在距A站少千米？考点十其他图形与角三角如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，BC=24m，这块地的面积。考点十：与展开图关的计1、如图，在棱长1的正方体—A’B’D’的表面上，求从顶A到顶点C’的最短距离．2、如图一个圆柱，底圆周6cm，4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要A点爬到B点，则最少要爬行cm3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．考点十、航海问题1一轮船以16海里时的速度从A港向东北方向航行另一艘船同时以12海里时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5时后，它们相距________海里．2、如图某货船以24里／时的速度将一批重要物资从处运往正东方向的M处在点A处测得某岛在北偏东60°的方向上。该货船航行30钟到达B，此时又测得该岛在北偏东的方向上已知在C岛周围9里区域内有暗礁若继续向正东方向航行该货船有无暗礁危险？试说明理由。

3、如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B有一台风中心，沿BC方向以速度向D移动，已知城市ABC的距离，那么台风中心经过多长时间