全国部分省市高考模拟数学试题

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1.(本小题满分12分)

已知aeR,函数/(x)=g+lnx-l,g(x)=(lnx-1)，+x(其中e为自然对数的底数).

X

(1)判断函数/㈤在区间(0,e］上的单调性；

(2)是否存在实数修«00,使曲线)，=8(W在点."看处的切线与丫轴垂直？若存在，求

出与的值；若不存在，请说明理由.

解(1)：：/(x)=@+lnx—l,，_f(x)=—二+4=^^.

XXXX

令/'(x)=。，得X=Q.

①若a<0,贝iJ/'(x)>0,/(x)在区间(0,e］上单调递增.

②若0<a<e,当xe(O,a)时，/'(x)<0,函数/(x)在区间(0,a)上单调递减，

当xw(4,e］时，/(幻>0,函数/(x)在区间(a,e］上单调递增，

③若a“，贝iJ/'(x)<0,函数/(x)在区间(0,e］上单调递减....6分

(2)解：

Vg(x)=(lnx-l)e'+x,xe(0,e］,

g，(x)=(lnx-l)'e*+(lnx-l)(e*)+1=--■b(lnx-l)e"+1=(，+lnx-1卜+1由

(1)可知，当。=1时，f(x)=—+lnx-l.

x

此时/(x)在区间(0,e］上的最小值为In1=0,即L+InX-1N0.

x

I(］

Xn、J

当/€(0同，e>0,一+lnx0-l>0>：.g'(x0)=—+lnx0-1e°+1>1>0.

x()lX。，

曲线y=g(x)在点x=5处的切线与y轴垂直等价于方程g'(x0)=0有实数解.

而g'(Xo)>O,即方程g'(Xo)=O无实数解.

故不存在Xo€(0,e］,使曲线y=g(x)在

x=x0处的切线与y轴垂直……12分

2.(10年湖北省华师附中等六校第•次联考(理))(本小题满分13分)

设函数f,(6)=sin"e+(—l)"cos"6,0<0<^-,其中”为正整数.

(I)判断函数力(。)、人/)的单调性，并就力(。)的情形证明你的结论；

(II)证明：2/6(。)—/4(e)=(cos4。—Sin4e)(cos2〃-sin2。)；

(III)对于任意给定的正整数〃，求函数力,(。)的最大值和最小值.

■jr

1•【解析】：(1)力(夕)、八⑹在°，2上均为单调递增的函数.对于函数

力(6)=sin6—cos6，设仇<%，优、/工，则

fi(耳)一力(%)=(sin0{-sin)+(cos02-cosd)，

sin仇<sin%,cos%<cos4，.二力(用)<力(%),二•函数力⑻在0,?上单调递增.

(2)4/原式左边=2(sin6^+cos60)-(sin4^+cos40)

=2(sin20+cos20)(sin40-sin20-cos20+cos40)-(sin40+cos40)

=1-sin226=cos220.

又，•原式右边

222422

=(cos-sin0=cos20.2/6(0)-/4(^)=(cos6-sin，6)(cos^-sin0).

(3)当”=1时，函数力(6)在0,5上单调递增，力(。)的最大值为力(?)=0,最

小值为力(0)=7.

当〃=2时，/2®）=1，二函数办⑹的最大、最小值均为1.当〃=3时，函数力⑹在（），（

上为单调递增.力仁）的最大值为人7t0,最小值为/3（。）=一1・当〃=4时，函数

1

29。在上单调递减，£,（。）的最大值为最小值为

/4(^)=l--sin20,­/4（0）=l,

71

AI

下面讨论正整数〃25的情形:

TT

当n为奇数时，对任意仇、026o,"且a<%,

n

/(用)-/"(%)=(sin"仇-sin"02)+(cos%-cos"仇)，

<

以及0<sin<sin020<cos02<cos<1,sin"gvsin"%,cos"/<cos"仇，

TT

从而力（用）<£,（%）•£,矽）在0，彳上为单调递增，则£,矽）的最大值为/,0,最

小值

为/4（。）=-1.

当”为偶数时，一方面有了“（e）=sin"e+cos"〃4sin20+cos20=l=£,（0）.另一方

面，由于对任意正整数/N2,有

2/-22

2八项T科幽=cos)一之^-sin01cos6-siM。)20,

()弓，一⑹八⑻=士=

•••f„62N…z!f„.♦•函数/（。）的最大值为

2222

/„（0）=1,最小值为，

综上所述，当〃为奇数时，函数，（m的最大值为0,最小值为-1.

当〃为偶数时，函数力,（。）的最大值为1,最小值为2

3.（本小题满分12分）

函数/（x）=1L（0<x<l）的反函数为尸（x）,数列｛4｝和电｝满足：a,=-,

1—x2

4+i=/T（4,），函数y=L（x）的图象在点（“，尸（"））（”eN）处的切线在V轴上的截距为

b“・

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛V--｝的项中仅4--—最小或4的取值范围；

%%«5%

(3)令函数

1-v21

g(x)="一'M+/WJ--~T,0<XV1.数列｛x〃｝满足:X]」，0<Z<1且%+]=g区)，(其中

I+x2

“eN，).证明：(&―占)+(wxj-+...+(X,,“一X)<V2+1

为々匕匕x„xll+l8

解：(1)令y=_匚，解得x=_1一；由0<x<l,解得y>0.

1-%1+y

...函数/(x)的反函数fT(x)=^(x>0).

1+x

则%+1=/7（/）=卢，

得」——1=1.

%+1an

，｛」-｝是以2为首项，1为公差的等差数列，故—........3分

a..n+\

(2)vr'(x)=-(x>0),

1

(l+x)2

Z7I

；.y=广i（x）在点（”,/T（〃））处的切线方程为y------=------7a—〃），令x=0得

n+1（1+n）

21A01o2

bn=—..•.4—土="2一4(〃+1)=(〃-4)2—九一A....仅当〃=5时取得最小值,

(1+4a：an24

.,.4.5<—<5.5.

2

4的取值范围为(9,11).......6分

]_尤2

1+X

(3)

2

rxxn1-x2x

—I------1-----1-------=------,xe(O,l).

1+x1-x1+x21+x2

所以X,+I-X“=X“(1—X“>TU，

x.+l

又因0<x“<1,则x/i+l>xn.

显然1>X“+I>X„>---x2>-.........8分

z,1+x11

加f,=X“d).4----------2—

x»+l4x+1+------2

X.+l

11V2+1

<4272-2-8

••・(・%-%广=^^(加_当)

Z怎+1x.x“+|

/、/11、收+1/11、

=(X.+1-X"X------------)<——(------------)

x

„乙+18x„x„+1

.(X|-占)+-X3)+…+(X"+l—X")

中2X2XiX”X,+1V2+1

-------)=(2----)...10分

x0+i8%

(--—)]

x,“3X"

<1，1<—<2,

x,+i

+...+(X"+l-X")

X2X3X"X"+1

0<2--—<1

V2+1也里.……12分

%

(2-----)<

8Xn+\8

4.(本小题满分12分)已知/(x)=ax-lnx,xe(0,e],其中e是自然常数，awR.

(1)当。=1时，求/(x)的单调区间和极值；

(II)是否存在实数。，使/(x)的最小值是3,若存在，求出。的值；若不存在，说明理

由.

1Y—1

解(1)。=1时，/(%)=x-lnx,fr(x)=1—=....1分

xx

由f'(x)<0得0<x<1,...f(X)的单调递减区间(0,1)

由r(x)>0得l<x<e,/(x)单调递增区间(1,e)……3分

/./(x)的极小值为/⑴=1……4分

(2)假设存在实数a,使f(x)=ax-\nx(xe(0,e])有最小值3,

f/(x)=a--=—__1..............5分

XX

4

①当时，/1)在(0,e]上单调递减，/(x)min=/(e)=tze-l=3,舍去)，

e

所以，此时了(天)无最小值....7分

②当0<，<e时，/(x)在(0,工)上单调递减，在(，,e]上单调递增

aaa

/(x)min=/(，)=1+Ina=3，a=e2,满足条件・……9分

a

14

③当一Ne时，/(x)在(O,eJ上单调递减，/(x)min=f(e)=ae-l=3,a=-(舍去)，

ae

所以，此时/(x)无最小值.……11分

综上所述，存在实数。=e2,使得当xe(O,e]时/(x)有最小值3。……12分

5.(本小题满分12分)

22

设g,K),B(.“，2)是椭圆5+T=l(a>b>0)上的两点，已知向量蔡=(土』)，[也，匹)，若

cTb~baba

蔡G=0且椭圆的离心率e=¥，短轴长为2,。为坐标原点.

(I)求椭圆的方程；

(II)试问：AAOB的面积是否为定值?如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

解：2b=2b=l,e=—=—~~^-=立=>4=23=8椭圆的方程为匕+x?=14分

aa24

(2)①当直线AB斜率不存在时，即玉=々，必=—%，由蔡S=。

v2

Xj2--^-=0=>y；=4xJ.......5分

乂A(X，M)在椭圆上，所以冗；+4-=1=民|=等,,]|二也

S=加恒-%|=铜2闻=1

所以三角形的面积为定值.……6分

②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+.b

y=kr+b

2332

v,=>(i+4)x+24fcc+&-4=0

14

得到*尸+b_

2

■v=优+4*+2妨x+/-4=0得到荀+.4=丁也

—+x2=1-K+4

[4

h2—4一一八

22

x,x2=—----，A=(2kb)-4(k+4)(b~-4)>0..................8分而加.〃=°,

12d+4

xtx2+学=0oX]X,+(铺+匕芈+b)=0代入整理得：

2b2-k2=4...................10分__________

01Ibl।,1M|/---------5---------Ibh/4k2-4b?+16

S=访京1ABfbMxi+X2)--4x|X242(34)扁=1

综上三角形的面积为定值1.……...........................12分

6.(本小题满分12分)

已知数列｛%｝的前n项和S“满足：5„=a(S„-a„+1)(a为常数，"0,"1

(I)求｛%｝的通项公式；

(II)设a=a；+S“-%,若数列｛"｝为等比数列，求。的值；

(in)在满足条件(n)的情形下，c=—L—-」一，数列匕,｝的前n项和为Tn..求

a+1

nan,|T

证：T>2n--.

n2

解：(1)5]=〃(S]—%+1)

ay=a,..........1分

当心2时，S〃=a(S〃-%+l)

S〃T-J+1)

两式相减得：an-a-an_x»乌-=〃

an-\

(aWO,n22)即｛4｝是等比数列.

=。•a"—=an；…4分

(II)由(I)知aWJ

n2a(a>，l)

bn^(a)+~a",

a-\

,(2a-l)a2n-aa"

bn=-------------；--------，

a-1

若出｝为等比数歹U,则有42=44,

3

而&=2〃2,b2=a(2a+1)

42

b3=a(2a+tz+1)......6分

故[a\2a+1)]2=2/・/(2〃+1),

解得。=工，................7分

2

再将a=；代入得久=(g)"成立，

所以"I

8分

2

（III）证明：由（II）知久

所以q=41

（》+1"+1_1

2"2〃+i

2n+1+2fl+1-1

2--------------1—-------…10分

2"+i2向一1

所以%>2--+

n2〃2〃+】

4=G+°2+…+4

>(2-1+1)+(2-±+±)

小11、

+••,+(2-----1-----)

2“2,,+,

c11cl八

—2n----1----->2”.........12分

22"+12

7.(本小题满分13分)

已知函数/(X)的导数/'(X)=3*2—3ax,/(0)=b.a,6为实数，1<a<2.

(1)若〃x)在区间［-1,1］上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、6的值；

(2)在(1)的条件下，求曲线在点尸(2,1)处的切线方程；

⑶设函数尸(x)="3+6x+l］试判断函数F(x)的极值点个数.

解：⑴由已知得，f(x)=x3--ax2+by由/'(x)=0,得再=0，=a-

xe［-1,1］,\<a<2,

当0)时，f\x)>0»/(x)递增；当xe(0,1］时，f'(x)<0>f(x)递减.

.../(x)在区间［一1,1］上的最大值为/(0)=b,，6=1.

33

X/(l)=l--a+l=2--o.

33

/(-1)=-1——a+l=——a，

22

•••/(-!)</(1).

由题意得/(一1)=一2,即一3a=-2,得“=3.故a=3，8=1为所求.

233

(2)由⑴得/(x)=d—2炉+1,f'(x)=3x2-4x,点P(2,1)在曲线/(x)上.

当切点为1(2,1)时,切线/的斜率k=/'(x)1产2=4，

•••/的方程为y—l=4(x—2),

即4x-y-7=0.

:：x

(3F(x)=(3x-3ax+6x+1)-e=[3__火。_2»+灯

F(x)=(3f_3以+6x+1).e2x=[3r-3(«-2x+)]-e2v

F\x)=[6x—3(6(—2)]1e~'+213厂—3(a—2)x+l]-e-"

=[6x2-6(a—3)x+8-3a]-e2'

二次函数y=6x2-6(a—3)x+8-3a的判别式为

A=36(即3>-24(8-3a)=12(3a2-12a+11)=120("2)?-1]令△W0,得：

(a—2>K」,2—且Ka《2+也.令△>(),得a<2—无，或a>2+".V<?2x>0,

33333

1<6Z<2,

・・・当2—14。<2时、尸⑴20,函数/(x)为单调递增，极值点个数为0；

当1<。<2-乎时，此时方程尸(x)=0有两个不相等的实数根，

根据极值点的定义，可知函数F(x)有两个极值点.

8(本小题满分12分)

)2

设尸是椭圆a「+4=1(〃>%>0)的左焦点，直线1为其左准线，直线1与x轴交于点P,

ab

线段册■为椭圆的长轴，已知1MNI=8,且IPMI=2IMFI.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点尸的直线与椭圆相交于不同两点45求证：/AFMMBFN：

(3)求三角形4酎面积的最大值.

解：⑴；IMNI=8a=4

又：|网|=2MFI得

—a=2(“一c)即+1=0=e=；e=1()

：.c=2ft2=a2-c2=2

22

椭圆的标准方程为2+二=1

1612

(2)当46的斜率为0时，显然NAFM=ZBFN=0.满足题意

当48的斜率不为。时,设{%,月),8。2，为)，48方程为x=/ny-8,

代入椭圆方程整理得(3w2+4)y2-48/M>'+144=0则

2

A=(48/n)-4x144(3〃/+4),)、+y2=-必=.中,

3%=人+上=q+-2^=2孙)-D=0

国+2x2+2myl-6my2-6(niy}-6)(my2-6)

=0,从而44尸用=4BFN.

综上可知：恒有ZAFM=NBFN

(3)=Sy"-PFI•Iy2-*1=?：:

23m-+4

二72金二二_______Z?_______<^3_=36

3(川-4)+16亦=412V3J6

\lm2—4

当日本当3:「_16.叩…―28(此时适合△>()的条件)取得等号.

•Jm2-43

二三角形ABF面积的最大值是3^3

9(本小题满分12分)

古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法

如下：如图，设有A(〃eN*)个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在/柱上，

现要将套在月柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘

套在小盘上面，假定有三根柱子AB、。可供使用.

现用&表示将A个圆盘全部从/柱上移到。柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题:

(1)写出Hl,S2,并求出为；

(2)记a=〃“+i,

求和S〃=Z血(i,jeN*)；(其中Z他表示所有的积㈣的和)

l<i<j<nl<i<j<n

⑵证明：

⑶1/SS］邑

7S?S2S4

解:(1)ax—b&2=3a3=7

事实上，要将〃个圆盘全部转移到c柱上,只需先将上面n-l个圆盘转移到8柱上,需要

次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将8柱上的〃-1个圆盘

转移到作柱上,需要an_x次转移,所以有an=2an_,+1则%+1=2*+1)=《,+1=2",

所以《=2"-1

(2)"=册+1=2"贝1」

$,=Z她广，他+打+…+娟2+(6+记+…+嫡1

1</<j<n乙

-[(2+22+…+2*y+(22+24+26+---+22")]

2

(3)令c“=鸟_2二5?日,则当〃z2时

i4452s4…S2n

=-[(2"+l-2)2+y(4"-1)]=-(2"-l)(2"+1-l)

c_S|S?…S?,一(2一)(2—)(23-l)(24-l)(22"-'-1)(221'-1)

，，-2345

52S4-S2„(2-l)(2-l)(2-1)(2-1)(2?”-1)(2--1)

21-111]

2n+1

-2-1-22n+1-1492/,-1--1i4

4又—=L<2,所以对一切〃wN*

123-l721

1

*<

422n-'-14q

有：

5,5,5,

----1--------+…+

s2s2s4

=ct+c2+c3+■■■+ctl

另方面c“〉0恒成立，所以对一切〃eN*有

=c,+c2+c3+---+cn>cl=-

综上所述有:

1/E,S]S3S]S3…$2"-14

-S--------1---------+----…--+<—(nGN*)

S

7S2S2S42S4…S2n21

10.(本小题满分12分)已知函数——+lnxe/?,2Jj⑴当QW|-2,；)时,

求f(x)的最大值;(2)设g(x)="(x)-Inx].一,左是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,

否存在实数。，使得攵＜1恒成立?若存在，求。的取值范围;若不存在,请说明理由.

19.由/"Zlh产匕叵叵・2分.

422

口必，I1-[1J口；

.V型-,2，

又询-上咛a，

当卜为时，/WsO.用朝居…

当为＜xs2时，/(x)野腱流

.z/X.2a

“Cf{时/工一-亚丁，

.际10巫

.....6%

(2)存在ae(-00,]符合条件

4

解：因为g(x)=[f(X)-\nx]-x2=ax-x3

不妨设任意不同两点Pi(再，丁]),〃2(%2，%)，其中x\<X2

卜：二必一乃.。(4>2)+(1一父)

贝ijx}-x2玉一x2

=a-(x；+x]x2+x；)

由上<1知：〃<1+(〃；+再02+(；)

i7

又一评《4故4《一

4~4

7

故存在aG(-co,—)符合条件.…12分

解法二:据题意在y=g(x)图象上总可以在找一点P(%,%)使以P为切点的切线平行图象上

任意两点的连线,即存在k=-&㈤二也2=g50)=a-3x；<1

x}-x2

77

/.tz<1+3XQ<—故存在ae(-oo,—)符合条件.

11.小题满分13分)在平面直角坐标系X。)，中，线段A5与y轴交于点尸(0,g),直线A5

的斜率为匕且满足IA尸1+k2.

(1)证明：对任意的实数攵，一定存在以y轴为对称轴且经过4、B、。三点的抛物线C,

并求出抛物线C的方程；

(2)对(1)中的抛物线C,若直线上y=x+〃?(〃z>0)与其交于"、N两点，求NMON

的取值范围.

解：(I)由已知设/他：y=Ax+g①

又设抛物线C:/=ay(a>0)②

由①②得，一。匕一色=0

2

设A(x.,yA),B{XB,yBY>

贝iJx,

由弦长公式得

2

1AF1=Jl+k\xA-01=Jl+12|4I

2

IBFI=Jl+12|xs-Ohy/l+kIxgI

22

\AF\-\BF\=(1+二)|4.4|=(i+k)\-\=(l+k)-

而IAFIJ8Ql=l+%2,所以。=2,即抛物线方程为C:Y=2y....6分

y=x+tn_

⑵设加。“，加)川(5，打)由<2c=x--2x—2/”=0

，[x=2y

而△=4+8m〉0(in>0)

则xM+xN^2,xM-xN=-2m,

..mm

k()M=1+---，^=1+—..............7分

XMXN

不妨设xM<xN,由于m>0,则xM<0<xN

7T

令NMON=e土一，则ON到OM的角为e,且满足

2

tan。=女―卜工=2Jl+2〃？（m力2）令f=Jl+2m,则加=Lil,"1且"新

4t4

/.tan0=

t2-5-M

f+一

・函数y=x与y=—在(0,+8)上皆为增函数

x

**•t---w(—4,0)u(0,4-oo)

t

4

--------G(-00,-1)U(0,+O0)

-J

/+一

ml八/八万、,137r.

则0G(0,—)u(—,—)

224,

TT

又〃7=2时，NMON=6=—

2

3万分

AMONe(0,—)13

12.小题满分14分)

设数列｛勺｝的前n项和为S„,已知Sn=2怎-2.(〃eN*).

(1)求数列｛q“｝的通项公式；

⑵设"=log〃2,数列也｝的前“项和为用，若存在整数m,使对任意〃GN*且n

22,都有以“-8”>"■成立，求加的最大值；

3“〃20

3)令q,=(-1严lQg““2,数列｛%｝的前八项和为7；,求E:当"CN*且心2时，耳<

rt+1

解(1)由S“=2a-2"M,得S”|=2a„2"(〃N2).

两式相减，得an—2%—2a“_]一2",即an-2an_[=2〃(〃22).

于是2—②=1，所以数列｛々H是公差为i的等差数列

又5=24-22,所以q=4.

所以3=2+(〃-1)=〃+1,故a“=(〃+l>2"..........4分

⑵因为4=log〃2=log,“2=L则％-纥=-^+」+…+].

令/(〃)=—L+—l~+...+_L,贝ij

n+1n+23n

”11I111

〃+2〃+33〃3/i+i3〃+23〃+3

112

=----1-----------

所以/(〃+1)—/(〃)=—!—+—!—+」13〃+13〃+23〃+3

71+1112

>-----1-----------=0

3〃+33n+33〃+3

即/(〃+i)>/(〃)，所以数列｛/(〃)｝为递增数列.

所以当〃22时，/(〃)的最小值为/(2)=-+-+-+-=—.

据题意，,即加<19.又m为整数，故加的最大值为18........8分

2020

(3)因为%=(—1严则当"22时,

n

11±=(114

—F…H-----------++

42〃一12〃23

n+1〃+22〃

n+1n+22n2

方法一：先证一个不等式，当x>0时，ln(x+l)>——

x+1

X11x

令g(x)=ln(x+l)一一—(x>0),则g，(x)=----~-T=--7>0,

元+1x+1(x+1)(x+1)

g(x)在(0,+8)时单调递增，g(x)>g(O)=O,

即当x>()时，ln(x+l)>——

x+1

人11几+11、/.、•》11/1

令x=—,In--->----=>ln(n+1)—In〃>----,ln(n+2)—\n(n+1)>-----

nnn+1n+1"+2

ln(n+3)-ln(n+2)>---,...,ln(2〃)-ln(2n-1)>—

〃+32n

以上〃个式相加，即有ln(2〃)一>」一+」一+3+」—

n+1"+22n

.n+1n+22n八

/.l……14分

<2

<ln(2n)-Inn=In2<

方法二：先用数学归纳法证明一个加强不等式—+—L+■•■+—<—-——

71+1〃+22n24〃+1

①“=2时，!+,<立—工成立，故〃=2时不等式成立。

3429

1

②假设〃=%时成立，即」_+_…+<、

一

一2+

兼4/:

k+lk+21

近1

1I11一+

一

则当〃=攵+1时,---1-…+--1-----F----2一4L+2+

k+22k2*12*2K+1

V2111

---------------------1--------------------------

24Z+12k+\2k+2

V2111V21

下面用分析法证1------------

24女+12k+12k+2~T4k+5

1111

2k+\~2k+24k+l~4k+5

即证—4_1

(4A+l)(4A+5)(2jt+l)(2jt+-)

22

即证--------------<------」------,

(24+1)(24+2)(2k+J(2k+j)

故即证Qk+l)(2k+2)>(2k+；)(2Z+j)

即证4左？+6k+2>4左2+6k+?

4

上式显然成立。

(可以从〃=攵到"=攵+1时引导学生发现一!一+」一+…+'〈立—一匚中的

k+1k+22k2g(〃)

g(〃)的值，此种方法对于常数型的关于正整数的不等式的证明很凑效)

方法三：又据柯西不等式，有

111L~iii~

----+----+…+—<j(r2+F12+---+r)f-----+------7+…+-]

n+\n+22n\(〃+D7(w+2)2(2n)2

n_i_i_后

<ln[-----1---------1--1--------]—----)---.

7〃(九+1)(〃+l)(〃+2)(2〃一1)(2〃)vn2n2

13.(本题满分12分)

各项都为正数的数列{4},满足q=1,“3-a；=2

（I）求数列｛4｝的通项公式;

(H)证明L+-L+...+-L4疝=T对一切恒成立.

qa2an

解：（1）•••明+:—%2=2,...伍：｝为首项为1,公差为2的等差数列，.....2分

:.a；=l+5-l)x2=2〃—l,又a“>0,则=,2〃-1............5分

(II)只需证：

1H—产+…4—]W飞2H—1

V3，2〃一1

①当”=1时，左边=1,右边=1,所以命题

成立.

当“=2时，左边〈右边，所以命题成立..............7分

即1+上+…+-厂1一<,21,

②假设时命题成立,

V3J2A—1

当n=k+l时,

1

左边=1+

12女+1

<72^-1+-^——.......8分

J21+1

<y!lk—\H--/---.

J2：+1+飞2k-1

+2G/27TK727TT)

2

=12k+1=72(^+1)-1

.命题成立.........11分

由①②可知，对一切〃eN*都有

IH—产+…H—]WJ2"-1成立.

V3J2”-1

方法二：当〃=1时，左边=1,右边=1,则命题成立.........7分

当“22时，

..]_2<2

.y/2n-12<2n-1J2A-1+12n-3贝U

=J2〃-1—N2n—3.

111

--1---+…4---

4a2an

<1+(g-1)+(6-瓜)+…+72n-1-也n-3)；.原不等式成立........12分

=\j2n_1.

14.已知M经过点G(O,-1),且与圆Q:f+(y—1)2=8内切.

(I)求动圆M的圆心的轨迹E的方程.

(II)以m=(1,、汇)为方向向量的直线/交曲线E于不同的两点A、8,在麒E上是否存

在点P使四边形。AP8为平行四边形(。为坐标原点).若存在，求出所有的尸点的坐标与

直线/的方程；若不存在，请说明理由.

解：(I)依题意，动圆与定圆相内切，得IMGI+IMQI=2&,可知M到两个定点G、

。的距离和为常数，并且常数大于IGQI,所以尸点的轨迹为椭圆，.可以求得a=J5,

C=1,/?=1,

所以曲线E的方程为/+1==1................5分

2

(II)假设E上存在点P,使四边形0AP8为平行四边形.

由(I)可知曲线E的方程为/+2一=1.

2

设直线/的方程为y=正工+团，A(xP必)，B(X2,y2).

y=+m;

由，v2，得

/+匕=1.

2

4x2+242/nx+〃?*-2=0,

2

,A八,曰2口后〃？m-2

由△>()得机-<4,且项+12=-----，XjX2=——-——.....