正弦稳态电路的分析

§6.1正弦量及其相量表示第6章正弦稳态电路的分析§6.2电路定律的相量表示§6.4正弦稳态电路的分析§6.5正弦稳态电路的功率§6.3阻抗和导纳§6.1正弦量及其相量表示一、正弦量的三要素

电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。对正弦量的数学描述，可以采用正弦函数，也可采用余弦函数。但在用相量法进行分析时，要注意采用的是哪一种形式，不要两者同时混用。本书采用余弦函数。设右图中正弦电流i的数学表达式为iu+_1.振幅Im

Im称为正弦量的振幅，即正弦量的最大值(maximum)imax。当时，正弦量有最小值imin=

-Im。imax-imin=2Im

称为正弦量的峰－峰值。2.角频率(angular

frequency)ω随时间变化的角度(ωt+ψi)为正弦量的相位(或相角)。ω为正弦量的角频率，是正弦量的相位随时间变化的角速度，即角频率的单位为rad/s。它与正弦量的周期T和频率f之间的关系为：

频率(cyclicfrequency)f的单位为1/s，称为Hz(赫兹)。我国工业用电的频率为50Hz。正弦量在t

=0时刻的相位(phase)，称为正弦量的初相位(initialphaseangle)，简称初相。即3.初相(位)ψi正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。初相的单位用弧度或度表示，通常取|ψi|≤1800。它与计时零点有关。对任一正弦量，初相是允许任意指定的，但对于一个电路中的许多相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计时零点确定各自的相位。正弦量随时间变化的图形称为正弦波。Im0Im0Im0Im4.正弦波形(waveform)二、两个同频率正弦量之间的相位差(phasedifference)

设两个同频率正弦量u和i分别为：两个同频率正弦量之间的相位差等于它们相位相减的结果，在主值范围内取值。设j

表示电压u和电流i之间的相位差。则上式表明，同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差，为一个与时间无关的常数。电路中常采用“超前”和“滞后”来说明两个同频率正弦量相位比较的结果。同频率正弦量的相位差可通过观察波形确定，在同一个周期内两个波形的极大值(或极小值)间的角度值(≤1800)，即为两者的相位差。超前者先达到极值点。相位差与计时零点的选取、变动无关。若

>0，称u超前i(uleadsiby)或称i滞后u；若

<0，称u滞后i(ulagsiby)或称i超前u；若

=0，称u和i同相(inphase)；若|

|

=

π，称u和i反相(oppositeinphase)；若|

|

=

π/2

，称u和i正交。00试分析图中各量的相位关系。三、正弦量的有效值(effectivevalue)

正弦量的有效值用来表示正弦交流电的大小。有效值定义：设两个相同的电阻，分别流过周期电流和直流电流。如果在周期信号的一个周期内，两个电阻消耗的能量相等，则该直流电流的数值为周期电流的有效值，表明两者在能量消耗方面具有相同的效果。周期电流i(t)在一个周期T时间内在电阻R上消耗的电能为直流电流I在一个周期T时间内在电阻R上消耗的电能为按照有效值的定义，若则即电流I称为电流i(t)的有效值。它是电流i(t)在一个周期内的均方根值。类似地，周期电压的有效值：当电流

i

有为正弦量时，有有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流。例如对于图(a)所示三角波形，将瞬时值表达式得：计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值是的倍，或者说其振幅值是有效值的倍。选讲对于图(b)所示半波整流波形，将其瞬时值表达式可以得到半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍，或者说其振幅值是有效值的2倍的结论，具体计算过程如下：选讲1)代数形式

在数学中虚单位常用i表示，如F=a+bi，但由于在电路中已用i表示电流，故虚单位改用j表示。实部(realpart)Re[F]=a虚部(imaginarypart)Im[F]=b复数可用复平面上的向量表示：FabO+j+1θ四、复数(complex)的运算1.复数的表示形式共轭复数Fab0+j+1θ2)三角形式

3)指数形式(exponentialform)

4)极坐标形式(polarform)

欧拉公式平行四边形法则：F10

+j

+1F2F1+F2F10

+j

+1F2F1－F22.复数的基本运算

1)加减运算

复数的加减运算采用代数形式较为简便，或在复平面中使用平行四边形法则。设2)乘法运算

(a)代数形式(b)指数形式即复数乘积的模等于各复数模的积；其辐角等于各复数辐角的和。(c)极坐标形式可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。3)除法运算

(a)代数形式(b)指数形式(c)极坐标形式可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。两个复数的乘法也可以在复平面上进行计算，即复数的模相乘，辐角在θ1的基础上逆时针旋转θ2角度，即为复数乘积的辐角。两个复数的除法也可以在复平面上进行计算，即复数的模相除，辐角在θ1的基础上顺时针旋转θ2角度。0

+j

+1|F2|

F1F2F1F1F20

+j

+1F1F2|F2|F1F2F14)旋转因子根据欧拉公式可得e

jπ/2=j，e

-jπ/2=

-j，e

jπ=

-1。因此“±j

”和“－1”都可以看成旋转因子。若一个复数乘以j，等于在复平面上把该复数逆时针旋转π/2。若一个复数除以j

，等于把该复数乘以-j，则等于在复平面上把该复数顺时针旋转π/2。复数的乘、除运算表示为模的放大或缩小，辐角表示为逆时针旋转或顺时针旋转。复数ejθ

=1∠θ是一个模等于1，辐角为θ的复数。任意复数F1=∣F1∣ejθ1乘以ejθ等于把复数F1逆时针旋转一个角度θ

，而F1的模值不变，所以ejθ称为旋转因子。5)相等运算

在复数运算中常有两个复数相等的运算。两个复数相等必须满足两个条件：复数的实部、虚部分别对应相等；或者复数的模和辐角分别对应相等。即若则必须有：或必须有：在线性电路中，若电路中的所有电源均为同一频率的正弦量，则电路中各电压和电流的正弦稳态响应(sinusoidalsteady-stateresponse)也将是同频率的正弦量。处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路，又称正弦电流电路。相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。1.相量(phasor)的概念

五、正弦量的相量表示

如果复数中的辐角，则F就是一个复指数函数。利用欧拉公式可展开为从而，正弦交流电流

可以看出，是以正弦量的有效值为模，以初相为辐角的一个复数，定义其为正弦量

i

的相量，记为。正弦量的有效值相量正弦量的振幅相量、最大值相量注意：正弦量的相量和它时域内的函数表达式是一一对应的关系，不是相等的关系。若已知正弦量时域表达式，可直接写出与之对应的相量。若已知正弦量的相量，须再知道其角频率才可写出与之对应的函数表达式。相量是个复数，它在复平面上的图形称为相量图。O+j+12.旋转相量

与正弦量相对应的复指数函数在复平面上可以用旋转相量表示出来。其中复常数称为旋转相量的复振幅，ejωt是一个随时间变化而以角速度ω

不断逆时针旋转的因子。复振幅乘以旋转因子ejωt即表示复振幅在复平面上不断逆时针旋转，故称之为旋转相量。这就是复指数函数的几何意义。

对于，其几何意义为：正弦电流

i

的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影3.相量的运算正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分及同频率正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量。其相应的相量运算如下：1)同频率正弦量的代数和设它们的代数和为正弦量i，则设2)正弦量的微分上式表明：复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；正弦量的导数是一个同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以jω，即表示di/dt的相量为该相量的模为ωI，辐角则超前原相量π/2。对i的高阶导数

dni/dtn，其相量为。上式在任何时刻都成立，则有设3)正弦量的积分上式表明：复指数函数实部的积分等于复指数函数积分的实部；该相量的模为I/ω，辐角则滞后原相量π/2。对i的n重积分，其相量为。正弦量的积分结果为同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以jω，即表示的相量为设例1

：已知两个同频率的正弦电流分别为解：(1)由题意，设，其相量为(2)由题意，设，其相量为(3)由题意，设，其相量为§6.2电路定律的相量形式一、电阻元件中电压与电流的相量形式

则从而(电压与电流同相)根据欧姆定律，有+_即+_电阻元件的相量模型

O+j+1电阻元件的相量图二、电感元件中电压与电流的相量形式

+_则(电压超前于电流)电感相量模型+_电感的相量图O+j+1感抗XL=UL/IL=ωL=2πfL的量纲与电阻相同，为欧姆(Ω)。ω=

0时，ωL=0，此时电感相当于短路。三、电容元件中电压与电流的相量形式

+_则(电压滞后于电流)电容相量模型+_电容的相量图O+j+1容抗XC=

UC/IC=1/(ωC)

的量纲与电阻相同，为欧姆(Ω)。ω=

0

时，1/(ωC)→∞，此时电容相当于开路。四、受控源如果线性受控源的控制电压或电流是正弦量，则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。例如+_+_+_+_五、基尔霍夫定律的相量形式

正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频率正弦量。对电路中的任一结点(或闭合面)，在时域内有KCL方程：

KCL方程的相量形式对电路中任一回路(或闭合结点序列)，在时域内有KVL方程：

KVL方程的相量形式RjωLabcd+_+_+_RLabcd+_+_+_例2：正弦电流源iS的有效值为5A，ω=1000rad/s，R=3Ω，L=1H，C=1μF。求uad和ubd。解：画出相量形式的电路图。设电路的电流相量为参考相量(referencephasor)，即则RjωL+_A5A1A2A3A4例3已知右图中各电流表都是交流电流表，其读数为电流的有效值。电流表1、2、3的读数依次为5A、20A、25A。求电流表4、5的读数。解：选并联电压相量为参考相量。所以电流表4的读数为5A；电流表5的读数为7.07A。§6.3阻抗和导纳一、阻抗(impedance)与导纳(admittance)

1、阻抗ZN0+-

线性无源一端口N0在正弦激励下处于稳态时，端口电压相量与电流相量的比值定义为该一端口的复阻抗Z，即：Z+-单位为Ω其中阻抗三角形|Z|RXj复阻抗模–阻抗阻抗角电阻电抗(reactance)如果N0内部仅含单个元件R、L或C，或串联组合，则对应的复阻抗分别为：感抗容抗N0内部为RLC

串联电路时的等效阻抗(复阻抗)

Z

为：其中jLR+_+++___Z的电抗一般情况下，按上式定义的复阻抗又称为一端口N0的等效阻抗、输入阻抗或驱动点阻抗，它的实部和虚部都将是外施正弦激励的角频率ω的函数，即：电抗分量电阻分量导纳三角形

|Y|GBj其中复导纳模–导纳导纳角电导电纳(suspectance)如果N0内部仅含单个元件R、L或C，或并联组合，则对应的复导纳分别为：感纳容纳2、导纳YN0内部为

RLC并联电路时的复导纳

Y为：LRC+_其中Y的电纳一般情况下，按上式定义的复导纳又称为一端口N0的等效导纳、输入导纳或驱动点导纳，它的实部和虚部都将是外施正弦激励的角频率ω的函数，即：电纳分量电导分量二、阻抗与导纳的等效变换一般情况G1/R，B1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。ZRjXGjBY同样，若由

Y变为Z，则有：ZRjXGjBY同电阻的串联电路相似，对于n

个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗为：三、阻抗及导纳的串并联各个阻抗的电压分配为ZeqZ1Z2++--+-Zn+-1.阻抗的串联同电阻的并联电路相似，对于n

个导纳并联而成的电路，其等效导纳为：2.阻抗的并联各个导纳的电流分配为Yeq+-Y1Y2Yn例4

已知

Z1=(10+j6.28),Z2=(20-j31.9),Z3=(15+j15.7)。求Zab。Z1Z2Z3ab解：解：RjL+_+++___例5

已知图示RLC串联电路中

R=

15，L=

12mH，C=

5F，端电压，

试求等效阻抗

Zeq、电路中

的电流

i

及各元件的电压相量。例6

图示电路中

R1=10，

L=0.5mH，R2=1000，

C=10F，U=100V，

ω=314rad/s，求各支路电流和电压。解：ZR2与ZC的并联等效阻抗为Z10，有则

设R1jL+_++__+_R21总的输入阻抗

Zeq

为各支路电流和电压

计算如下：OR1jL+_++__+_R21根据各相量的相位相应地确定各相量在图上的位置。按比例画出各相量的模。以电路并联部分的电压相量为参考，确定各并联支路电流相量与电压相量之间的夹角；再根据KCL方程作出结点上各支路电流相量所组成的多边形。以电路串联部分的电流相量为参考，确定有关电压相量与电流相量之间的夹角；再根据回路KVL方程作出回路上各电压相量所组成的多边形。画相量图要点：电路的相量图由相关的电压和电流相量在复平面上组成。四、正弦稳态电路的相量图例7

画出例5电路的相量图。

O例8

画出例6电路的相量图。

要点回顾：对于电路中的并联部分，可以选取并联电压作为参考相量；对于电路中的串联部分，可以选取串联电流作为参考相量。解：以为参考相量，根据画出相量图。电阻电路与正弦稳态电路相量法分析比较：可见二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广到正弦稳态电路的相量分析中。在用相量法分析时，电路方程是以相量形式表示的代数方程，计算为复数运算。§6.4正弦稳态电路的分析ïïîïïíì====ååGuiRiuuKVLiKCL

：

0

：

0

：

：

或元件约束关系电阻电路

：

0

：

0

：

：

ïïîïïíì====ååUYIIZUUKVLI

KCL&&&&&&或元件约束关系正弦电路相量分析列写电路的回路电流方程。例9

解：+_R1R2R3R4例10列写电路的结点电压方程。解：+_+_21Y1Y2Y3Y4Y5结点1：结点2：方法(1)电源变换解：例11Z2Z1Z3Z+-Z2Z1ZZ3方法(2)戴维宁等效变换ZeqZ+-Z2Z1Z3+-例12用叠加定理计算电流。解：Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3(1)单独作用时（短路）(2)单独作用时（开路）已知平衡电桥

Z1=R1，Z2=R2，Z3=R3+jwL3。

求

Z4=R4+jwL4。由平衡条件：Z1Z3=

Z2Z4得R1(R3+jwL3)=R2(R4+jwL4)∴R4=R1R3/R2，L4=L3R1/R2例13解：Z1Z2Z4Z3|Z1|1

×|Z3|3

=

|Z2|2

×|Z4|4

|Z1||Z3|

=

|Z2||Z4|

1

+3

=

2

+4

例14解：ZZ1+_?90

1000400

5010

o11

相位差和等于多少时，问

，已知：SUIjZjZ&&bW+=W+=分析：若设，则Z转实部为零，相位差为90o。故电流超前电压90o。

已知：U=115V，U1=55.4V，

U2=80V，f=50Hz，

R1=32W。

求线圈的电阻

R2和电感

L2。方法(1)已知的都是有效值，画相量图进行定性分析。

例15解：R1R2L2+_+_+_q2q将上述方程联立求解，可得：R1R2L2+_+_+_方法(2)例16求当R任意改变时，通过R的电流i不变时的条件。解一：+_R①②解得

由结点电压法，可得

当时，得，而解二：由题意，电阻R左侧的诺顿等效导纳为零，即则+_R①②N为任意线性网络（u，i取关联参考方向）。

一、瞬时功率(instantaneouspower)：N+ui_第一种分解方法§6.5正弦稳态电路的功率第二种分解方法之间的相位差。和电流为电压即令

iuiujyyj-=第一种分解方法：

p有时为正，有时为负；

p>0，电路吸收功率；p<0，电路发出功率。恒定量正弦量tp0u

i第二种分解方法：不可逆部分可逆部分为不可逆分量，相当于无源网络电阻元件消耗的功率。为可逆分量，周期性交变，相当于无源网络电抗吸收的瞬时功率，与外电路周期性交换。t0二、有功功率(平均功率：averagepower)P：有功功率(activepower)的单位：W(瓦)，kW(千瓦)对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。即=u-i功率因数角。cos

称为功率因数(powerfactor)。常记做λ

=cos。瞬时功率中的恒定分量

瞬时功率实用意义不大，不便于测量。一般所说的功率指瞬时功率在一个周期内的平均值，即平均功率。1,纯电阻0，纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率，即有功功率。它代表电路实际消耗的功率，它不仅与电压和电流的有效值的乘积有关，而且与它们之间的相位差有关。这是交流电路和直流电路的区别，其原因在于储能元件在交流电路中产生了阻抗角。电阻总是消耗功率的，电感、电容则不消耗有功功率。有功功率满足功率守恒定律，即任一正弦稳态电路各元件（或支路）吸收的有功功率之和恒为零，即。三、无功功率(reactive

power)Q：

无功功率的单位：var(乏)，kvar(千乏)。瞬时功率中可逆分量的幅值工程中，引用无功功率的概念来反映电路中电感、电容等储能元件与外电路或电源之间能量交换的情况。感性负载：>0，Q>0，表示网络吸收无功功率；容性负载：<0，Q<0，表示网络发出无功功率。这里“无功”的意思是指这部分能量在往复交换的过程中，没有“消耗”掉。四、视在功率(apparent

power)S它反映电气设备的容量（额定电压和额定电流的乘积）。视在功率的单位：VA(伏安)，kVA(千伏安)。视在功率一般不满足功率守恒定律。前面所述的功率因数

λ

是衡量传输电能效果的一个非常重要的指标(是指不含独立源的网络)，表示传输系统有功功率所占的比率，即λ

=P/S。实际电网非常庞大，延伸数千公里，人们当然不希望电能的往复传输，这样会增加系统电能的消耗和增大系统设备的容量。所以理想状态为λ

=1，Q=0。五、RLC串联电路的功率问题：jL

R+_+++___功率三角形

(powertriangle)PQS有功功率、无功功率、视在功率的关系：有功功率：P=

UIcosj单位：W

无功功率：Q=

UIsinj单位：var

视在功率：S=

UI

单位：VA

功率三角形阻抗三角形导纳三角形jSPQj|Z|RX－j|Y|GB电压、电流的有功分量和无功分量：RX+_+_+_GB+_(以感性负载为例，)六、交流电路功率的测量：uiZ+-W**使用功率表应注意：(1)同名端：在负载的u、i为关联参考方向下，电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率。(2)量程：P的量程=

U的量程I的量程cosN测量时，P、U、I均不能超量程。i1电流线圈*电压线圈i2R*+-u例17三表法测线圈参数。解：RL+_ZWAV**已知

f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。求电感线圈的参数R及L。方法(1)功率表的读数表示电阻吸收的有功功率。方法(2)功率表的读数表示线圈吸收的有功功率。七、功率因数的提高设备容量S（额定）向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角决定。P=Scosj

S75kVA负载cosj

=1，P=S=75kWcosj

=0.7，P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机

空载cosj=0.2~0.3

满载cosj=0.7~0.85日光灯cosj=0.45~0.6(1)设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；(2)当输出相同的有功功率时，线路上电流大I=P/(Ucosj

)，线路压降损耗大；线路的有色金属消耗量也增加。功率因数低带来的问题：解决办法：对于感性负载并联电容，提高功率因数（改进自身设备）。分析：LRC+_j1j2并联电容后，原感性负载流过的电流不变，吸收的有功功率和无功功率都不变，即负载工作状态没有发生任何变化。由于并联电容的电流超前90o，端口总电流减少了。从相量图上看，和的夹角减小了（变

），从而提高了功率因数。补偿电容量的确定：因为电容不消耗有功功率，所以并联电容前后电路所消耗的总有功功率没有发生变化。

j1j2（吸收负的无功功率）j1j2无功补偿的3种不同情况：全补偿电容设备投资增加，经济效果不明显欠补偿过补偿使功率因数又由高变低(电路性质由感性变为容性)综合考虑，以提高到适当值为宜(0.9左右)。

功率因数提高后，减少了电源的无功“输出”，从而减小了电流的输出，这提高了电源设备的利用率，使其可以带更多的负载，充分利用设备的能力。同时线路上电流的减少，使得传输线上的损耗也相应的减少了；线路的有色金属消耗量也减少。再从功率这个角度来看功率因数的提高：并联电容后，电源向负载输送的有功功率不变，但是电源向负载输送的无功功率减少了，减少的这部分无功功率就由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功功率不变，而电路的功率因数得到改善。LRC+_例18已知f=50Hz，U=380V，P=20kW，cosj1=0.6(感性)。要使功率因数提高到0.9,求并联电容C。解：LRC+_P=20kWcosj1=0.6+_Cj2j1八、复功率(complexpower)：_负载+为了用相量和来计算功率，引入“复功率”。－电流相量的共轭复功率守恒定理在正弦