数学八年级下册18.2.3 正方形

平行四边形菱形特殊的平行四边形平行四边形平行四边形的性质平行四边形的判定矩形正方形新知一览平行四边形第十八章平行四边形18.2.3正方形矩形复习导入

前面我们已经学过了，平行四边形，矩形，菱形，想一想，矩形是由什么图形怎样变化而来？平行四边形菱形邻边相等

菱形是由什么图形怎样变化而来？知识点1：正方形的性质探究新知

矩形〃〃问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?

你有什么发现？正方形问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢?

你有什么发现？正方形一组邻边相等一个角是直角一组邻边相等一个角是直角正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.归纳总结归纳总结平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.总结四边形平行四边形菱形矩形正方形韦恩图：角：对角线：对边平行相等；对角相等；对角线相互平分正方形的性质正方形的四个角都是直角正方形的对角线垂直且相等边：归纳总结正方形的四个边都是相等根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.判一判性质\图形平行四边形矩形菱形正方形边对边平行且相等四边相等角四个角都是直角对角线对角线相互平分对角线相互垂直对角线相等每条对角线平分一组对角√√√√√√√√√√√√√√√√√√思考请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？对称性：

.对称轴：

.轴对称图形4条ABCD典例精析

例1求证：正方形的两条对角线把这个正方

形分成四个全等的等腰直角三角形.同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图正方形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？ABCDOADCBO已知：如图，四边形

ABCD是正方形，对角线

AC、BD相交于点

O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形

ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.分析：要判断一个三角形是等腰直角三角形的条件是什么？判定两个三角形全等的条件又是什么？

练一练1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分

C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD知识点2：正方形的判定问题

你是如何判定矩形、菱形的？思考

怎样判定一个四边形是正方形呢？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义四个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直正方形判定的几条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件(二选一)菱形条件(二选一)一个直角/一组邻边相等/对角线相等对角线垂直

平行四边形正方形一组邻边相等，且一内角是直角想一想已知：如图,在矩形

ABCD中，AC，DB是它的两条对角

线，AC⊥DB.求证：四边形

ABCD是正方形.证明：∵

四边形

ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=

DO，∠ADC=90°.∵

AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD.∴

四边形

ABCD是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.ABCDO猜想：

已知：如图，在菱形

ABCD中，对角线

AC=DB.求证：四边形

ABCD是正方形.证明：∵

四边形

ABCD是菱形,∴

AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵

AC=DB，∴AO=BO=CO=DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.∴

四边形

ABCD是正方形.对角线相等的菱形是正方形.ABCDO猜想：

剩余猜想，同学们自己动手证明一下吧！常用的正方形判定方法：归纳总结定义法矩形法菱形法有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线相互垂直的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.例2在正方形

ABCD中，点

E、F、M、N分别在各边上，且

AE=BF=CM=DN．求证：四边形

EFMN是正方形．证明：∵

四边形

ABCD是正方形，∴

AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴

AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形

EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.典例精析在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN，∠A=∠B=∠C=∠D，

AN=BE=CF=DM，∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF.∴四边形

EFMN是菱形.又∵∠NEF=180°-

(∠AEN+∠BEF)=180°

-

(∠AEN+∠ANE)

=180°

-

90°=90°.∴四边形

EFMN是正方形.练一练3.如图，已知四边形

ABCD

是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当

AB

=

BC

时，四边形

ABCD

是菱形B．当

AC⊥BD

时，四边形

ABCD

是菱形C．当

∠ABC

=

90°

时，四边形

ABCD

是矩形D．当

AC

=

BD

时，

四边形

ABCD

是正方形D当堂小结5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结或对角线垂直且相等当堂练习2.一个正方形的对角线长为

2

cm，则它的面积是（）

A.2

cm2

B.4

cm2C.6

cm2D.8

cm2A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等A3.在正方形

ABCD中，∠ADB=

°，∠DAC=

°，∠BOC

=

°.4.在正方形

ABCD中，E是对角线

AC上一点，且

AE=AB，则∠EBC的度数是

.ADBCOADBCOE459022.5°第3题图第4题图455.如图，正方形

ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求

BE的长．解：∵四边形

ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形